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高三摸底六考试数学试题(文)


高三摸底考试





第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设全集 U=R, A ? {x | x2 ? 5x ? 4 ? 0, x ? N}, B ? {3, 4,5} , 则图中阴影表示的集合为(D ) A.{1,2,3,4} 2.若 f ( x) ? B.{1, 2, 5} C.{2,3} D.{ 1,2}

? ,则 f ( x ) 的定义域为( B ) log ? (? x ??)
?

? ? C. ( ? , ??) ? ? ? ? ? ? ? 3. 已知平面向量 a ? ?1, 2? , b ? ? ?2, m? , 且 a // b , 则 b ? ( A )
B. ( ? , ?) A. 2 5 B.

? A. (? , ?] ?

D. (?, ??)

3

C.

5

D. 2 2

4. 已知 a, b 为非零向量,则“ a ? b ” 是“函数 f ( x) ? ( ax ? b) 2 为偶函数”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 5.已知 ? , ? ? ( B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? ?

?

?

?

?

C )

? 3?
4 ,

? 1 ? 6 ) ,sin(? ? ) ? ) 的值是(B ) ,cos( ? ? ) ? ,则 sin( ? ? ? 4 4 3 4 3
B. ?

A.

6 3

6 9

C.

6 9

D. ?

6 3

6.已知数列 ?an ? 为等差数列, a1 ? 1, 公差 d ? 0 , a1 、 a2 、 a5 成等比,则 a2014 的值为 ( C ) A.4023 B.4025 7.函数 y=xsinx 在[﹣π,π]上的图象是(A A. B. C.4027 ) C. D. D.4029

8. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (? x) ? ? f ( x), f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 且 x ? (?1,0) 时,

1 f ( x ) ? 2 x ? , 则 f (log2 20) ? ( D ) 5 4 A. 1 B. 5

C. ?

4 5

D.?1

9. 在 ?ABC 中,点 M 是 BC 的中点,若 ?A ? 120 ? , AB ? AC ? ? 是 ( D) A.1 B.

??? ? ????

???? ? 1 ,则 AM 的最小值 2

2 2

C.

1 4

D.

1 2

10. 若函数 f ( x) 满足:存在 T ? R, T ? 0 ,对定义域内的任意 x, f ( x ? T ) ? f ( x) ? f (T ) 恒 成立,则称 f ( x) 为 T 函数 . 现给出下列函数:① y ?

1 ; ② y ? 2 x ;③ y ? 1nx ;④ x

y ? sin x ;⑤ y ? x 2 其中为 T 函数的个数是(
A.1 B.2 C.3

B ) D.4

第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.将答案填在答题卷相应位置上) 11.已知 i 是虚数单位,复数

?5?i 的模为 2 ? 3i

2

.

12. 已知 sin 76? ? m, 用含 m 的式子表示 cos 7 = 13. 函数 f ( x ) ?

?

2m ? 2 2

sin x ? 1? ? ( x ? 0) 的一个极值点是 ? ,则 tan(? ? ) ? =___0______. x 4 1??

14.函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? 一条对称轴是 x ?

?

?
6

2

) 的周期为 ? ,

,则 f ( x ) 表达式为__ f ( x ) ? sin(2 x ?

?
6

) ______________.

15. 已知函数 f ( x) ? ?

?kx ? 2, x ? 0 ,若 k ? 0 ,则方程 | f ( x) | ?e x ? 0 的解的个数有_3_个 ?1nx, x ? 0

16.已知定义在实数集 R 上的函数 f ( x) 满足 f (1) ? 2 ,且 f ( x) 的导函数 f ( x) 在 R 上恒 有 f ( x) ? 1 ,则不等式 f ( x) ? x ? 1 的解集为

?

?

( 1 ?? , )

17. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究 过如图所示的三角形数: · · · 1 3 6 第 17 题图 将三角形数 1,3,6,10, ? 记为数列 {an } ,将可被 3 整除的三角形数按从小到大的 顺序组成一个新数列 {bn } . 可以推测: (1) b2014 是数列 {an } 中的第_3021_______项; 10

(2) b2 k ?1 ? _

3k(3k-1) _______.(用 k 表示) 2

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 65 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 18. (本小题满分 12 分)已知命题 p:函数 命题 q:函数 f ( x) ? ? 2 ? a ?
x

1 f ( x) ? x 2 ? ax ? 在区间 ( 1 ,1) 上不单调, 3 2

在 R 上单调递增(其中 a ? 2且a ? 1 ) ,若“ ? p 且 q ”

是真命题,求实数 a 的取值范围。

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2cos x ? m 在区间 [0,
2

?
3

] 上的最大值为 2.

(Ⅰ)求常数 m 的值; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边是 a , b , c ,若 f ( A) ? 1, sin B ? 3sin C ,

?ABC 面积为

3 3 4

.

求边长 a .

20.(本小题满分 13 分)某工厂年固定成本为 10 万元,每生产千件产品需另投入 2.7 万元, 设工厂年产量为 x 千件,每千件的销售收入为 R ( x) 万元,且

? x2 10.8 ? (0 ? x ? 10) ? ? 30 , (假设产销平衡,年利润=销售总收入 ? 总成本) R( x) ? ? 76 ? lg x ? ( x ? 10) ? x ?
(I)求年利润 W(万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; (II)年产量为多少千件时,该工厂所获年利润最大?

21.(本小题满分 14 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2Sn=9﹣an, bn ? 3 ? 2log3 (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)令 cn ?
an

bn ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn; an

(3)证明:当 n≥2 时,a2nbn<1. 解: (1)∵数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2Sn=9﹣an①,∴n≥2 时,2Sn﹣1=9﹣an﹣1②, ①﹣②得 2an=﹣an+an﹣1(n≥2) ,∴ 又∵n=1 时 2S1=2a1=9﹣a1,∴a1=3 ∴数列{an}是以 3 为首项, 为公比的等比数列, ∴ ;bn=3﹣2log3an=2n﹣1, ???4 分 ???2 分

∴{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列.∴ (2)∵ cn ? ∴

bn = an


n

+(2n﹣1)×3 ]③ +(2n﹣1)×3
n+1

]④
n+1

③﹣④得

﹣(2n﹣1)×3

]

= ∴ (3)证明:由(Ⅰ)知 a2nbn= ∵a2(n+1)bn+1﹣a2nbn= ???9 分

=

= ∴数列{a2nbn}为单调递减数列;∴当 n≥2 时,a2nbn<a2b1=1 即当 n≥2 时,a2nbn<1.

???14 分 22.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? x2 ? ax. (1)若 x ?

1 时, f ( x) 取得极值,求 a 的值; 2

(2)若 f ( x) 在其定义域内为增函数,求 a 的取值范围; 22.(1)因为 x ? 即 2 ? 1 ? a ? 0,

1 1 时, f ( x) 取得极值,所以 f ?( ) ? 0 , 2 2
故 a ? ?3 . ...... 3 分

? ?? , (2) f ( x) 的定义域为 ? 0, ? ? ? 内为增函数, 要使 f ( x) 在定义域 ? 0, ? ? ? 内有 2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立, 只需在 ? 0,

? ? ? 恒成立, 即 a ? ?(2 x ? ) 在 ? 0,
又? 2 x ?

1 x

........5 分 .........7 分

1 1 ? 2 2,??(2 x ? ) ? ?2 2 x x

? a ? ?2 2 ,
因此,若 f ( x) 在其定义域内为增函数,则 a 的取值范围是 [?2 2, ??) . ....8 分


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