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几何概型[高考数学总复习][高中数学课时训]


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几何概型

基础自测
1.质点在数轴上的区间[0,2]上运动,假定质点出现在该区间各点处的概率相等,那么质点落在区间 [0,1]上的概率为 答案
1 2

.

2.某人向圆内投镖,如果他每次都投入圆内,那么他投中正方形区域的概率为

.

答案

2 ?

3.某路公共汽车每 5 分钟发车一次,某乘客到乘车点的时刻是随机的,则他候车时间不超过 3 分钟的概率 是 答案
3 5

.

4.设 D 是半径为 R 的圆周上的一定点,在圆周上随机取一点 C,连接 CD 得一弦,若 A 表示“所得弦的长大 于圆内接等边三角形的边长” ,则 P(A)= 答案
1 3

.

5.如图所示,在直角坐标系内,射线 OT 落在 30°角的终边上,任作一条射线 OA, 则射线 OA 落在∠yOT 内的概率为 答案
1 6

.

例1 解

有一段长为 10 米的木棍,现要截成两段,每段不小于 3 米的概率有多大? 记 “剪得两段都不小于 3 米” 为事件 A, 从木棍的两端各度量出 3 米, 这样中间就有 10-3-3=4 (米) .
10 ? 3 ? 3 4 = =0.4. 10 10

在中间的 4 米长的木棍处剪都能满足条件, 所以 P(A)= 例2

街道旁边有一游戏:在铺满边长为 9 cm 的正方形塑料板的宽广地面上,掷一枚半径为 1 cm 的小圆

板,规则如下:每掷一次交 5 角钱,若小圆板压在正方形的边,可重掷一次;若掷在正方形内,须再交 5 角钱可玩一次;若掷在或压在塑料板的顶点上,可获 1 元钱.试问: (1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少? (2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少? 希望大家高考顺利

高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载 解 (1)考虑圆心位置在中心相同且边长分别为 7 cm 和 9 cm 的正方形围成的区域内,所以概率为

92 ? 7 2 92

=

32 . 81
1 ? ? 圆内,因正方形有四个顶点,所以概率为 2 ? . 4 81 9

(2)考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的 例3 解

(14 分)在 1 升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子,从中随机取出 10 毫升,含有麦锈病 1 升=1 000 毫升, 1分 3分 7分 9分 14

种子的概率是多少?从中随机取出 30 毫升,含有麦锈病种子的概率是多少? 记事件 A: “取出 10 毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”. 则 P(A)=

10 =0.01,即取出 10 毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为 0.01. 1 000

记事件 B: “取 30 毫升种子含有带麦锈病的种子”. 则 P(B)= 分 例4 解

30 =0.03,即取 30 毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为 0.03. 1 000

在 Rt△ABC 中,∠A=30°,过直角顶点 C 作射线 CM 交线段 AB 于 M,求使|AM|>|AC|的概率. 设事件 D“作射线 CM,使|AM|>|AC|”.

在 AB 上取点 C′使|AC′|=|AC|,因为△ACC′是等腰三角形, 所以∠ACC′=

180? ? 30? =75°, 2
15 1 = . 90 6

? A =90-75=15, ? Ω =90,所以,P(D)=
例5 解

甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离 以 x 轴和 y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.

去.求两人能会面的概率. 在如图所示平面直角坐标系下, (x,y)的所有可能结果是边长为 60 的正方形区域,而事件 A“两人能够 会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得: P(A)=
S A 60 2 ? 452 3 600 ? 2 025 7 = = = . S 16 3 600 60 2

所以,两人能会面的概率是

7 . 16

1.如图所示,A、B 两盏路灯之间长度是 30 米,由于光线较暗,想在其间再随意安装两盏路灯 C、D,问 A 与 C,B 与 D 之间的距离都不小于 10 米的概率是多少?



记 E: 与 C,B 与 D 之间的距离都不小于 10 米” “A ,把 AB 三等分,由于中间长度为 30×
10 1 = . 30 3

1 =10(米) , 3

∴P(E)=

2.(2008·江苏,6)在平面直角坐标系 xOy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区

希望大家高考顺利

高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载 域,E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随机投一点,则落入 E 中的概率为 答案 .

? 16

3.如图所示,有一杯 2 升的水,其中含有 1 个细菌,用一个小杯从这杯水中取出 0.1 升水,求小杯水中含 有这个细菌的概率.



记“小杯水中含有这个细菌”为事件 A,则事件 A 的概率只与取出的水的体积有关,符合几何概型

的条件. ∵ ? A =0.1 升, ? Ω =2 升, ∴由几何概型求概率的公式, 得 P(A)=

? A 0 .1 1 = = =0.05. 2 20 ?Ω
三等分,则∠AOF=∠BOE=30°,记 A 为“在扇形 AOB 内作一射线 OC,使

4.在圆心角为 90°的扇形 AOB 中, 以圆心 O 为起点作射线 OC, 求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于 30°的概率. 解 如图所示,把圆弧 ∠AOC 和∠BOC 都不小于 30°” ,要使∠AOC 和∠BOC 都不小于 30°,则 OC 就落在∠EOF 内, ∴P(A)=

30 ? 90
?

=

1 . 3

5.将长为 l 的棒随机折成 3 段,求 3 段构成三角形的概率. 解 设 A=“3 段构成三角形” ,x,y 分别表示其中两段的长度,则第 3 段的长度为 l-x-y. 则试验的全部结果可构成集合

Ω ={(x,y)|0<x<l,0<y<l,0<x+y<l},
要使 3 段构成三角形,当且仅当任意两段之和大于第 3 段,即 x+y>l-x-y ? x+y>

l ,x+l-x-y>y 2

? y<

l l ,y+l-x-y>x ? x< . 2 2

故所求结果构成集合

l l l? ? A= ?( x, y) | x ? y ? , y ? , x ? ? . 2 2 2? ?
由图可知,所求概率为

P(A)=

A的面积 = Ω 的面积

1 ?l? ?? ? 2 ?2? l2 2

2

=

1 . 4

一、填空题 1.在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数 a,则这个实数满足 17<a<20 的概率是 .

希望大家高考顺利

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答案

3 10

2.在长为 10 厘米的线段 AB 上任取一点 G,用 AG 为半径作圆,则圆的面积介于 36 ? 平方厘米到 64 ? 平方 厘米的概率是 .

答案

1 5

3.当你到一个红绿灯路口时,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间为 45 秒,那么你看到 黄灯的概率是 答案 .

1 16

4.如图为一半径为 2 的扇形(其中扇形中心角为 90°) ,在其内部随机地撒一粒黄豆,则它落在阴影部分 的概率为 .

答案

1-

2 ?
S 的概率是 4

5.在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△PBC 的面积大于 答案
3 4

.

6.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 内有一个内切球 O,则在正方体 ABCD—A1B1C1D1 内任取点 M,点 M 在球 O 内的概 率是 答案 .

? 6
.

7.已知下图所示的矩形,其长为 12,宽为 5.在矩形内随机地撒 1 000 颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数 为 550 颗,则可以估计出阴影部分的面积约为

答案

33

8.在区间(0,1)中随机地取两个数,则事件“两数之和小于 答案
17 25

6 ”的概率为 5

.

二、解答题 9.射箭比赛的箭靶涂有 5 个彩色的分环,从外向内白色、黑色、蓝色、红色,靶心为金色,金色靶心叫“黄 心” ,奥运会的比赛靶面直径是 122 cm,靶心直径 12.2 cm,运动员在 70 米外射箭,假设都能中靶,且射 中靶面内任一点是等可能的,求射中“黄心”的概率.

希望大家高考顺利

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记“射中黄心”为事件 A,由于中靶点随机的落在面积为

1 ? ×1222 cm2 的大圆 4

内,而当中靶点在面积为 的概率
1 ? ? 12.2 2 P(A)= 4 =0.01, 1 ? ? 122 2 4

1 ? ×12.22 cm2 的黄心时,事件 A 发生,于是事件 A 发生 4

所以射中“黄心”的概率为 0.01. 10.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6∶30 至 7∶30 之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的 时间在早上 7∶00 至 8∶00 之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件 A)的概率是多少? 解 设事件 A“父亲离开家前能得到报纸”.在平面直角坐标系内,以 x 和 y 分别表示报纸送到和父亲离开 家的时间,则父亲能得到报纸的充要条件是 x≤y,而(x,y)的所有可能结果是边长为 1 的正方形,而能得 到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示,这是一个几何概型问题, ? A =1 2

1 1 1 7 × × = , ?Ω 2 2 2 8

=1,

所以 P(A)=

?A 7 = . ?Ω 8

11.已知等腰 Rt△ABC 中,∠C=90°. (1)在线段 BC 上任取一点 M,求使∠CAM<30°的概率; (2)在∠CAB 内任作射线 AM,求使∠CAM<30°的概率. 解 (1)设 CM=x,则 0<x<a.(不妨设 BC=a).

若∠CAM<30°,则 0<x< 故∠CAM<30°的概率为

3 a, 3

? 3 ? 区间? 0, a ?的长度 ? 3 ? 3 ? ? P(A)= = . 3 区间(0, a)的长度
(2)设∠CAM= ? ,则 0°< ? <45°. 若∠CAM<30°,则 0°< ? <30°, 故∠CAM<30°的概率为 P(B)=
(0 ? ,30 ? )的长度 (0, ? )的长度 45

=

2 . 3
2 2

12.设关于 x 的一元二次方程 x +2ax+b =0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上述方 程有实根的概率. (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概 率. 解 设事件 A 为“方程 x +2ax+b =0 有实根”.
2 2 2 2

当 a≥0,b≥0 时,方程 x +2ax+b =0 有实根的充要条件为 a≥b. (1)基本事件共有 12 个: (0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(1,2)(2,0)(2,1)(2,2)(3,0)(3,1) , , , , , , , , , , , (3,2). 其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值.

希望大家高考顺利

高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载 事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率为 P(A)=

9 3 = . 12 4

(2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}. 构成事件 A 的区域为 {(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}. 所以所求的概率为

3? 2 ?
P(A)=

1 ? 22 2 2 = . 3 3? 2

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