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高一数学三角函数和与差公式 - 副本


高一数学三角函数两角和与差
1、两角和与差的余弦公式:cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ (C(α +β )) cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ (C(α -β )) [点拨](1)上述公式对 α 、β 取任意角都成立. (2)公式特点:公式中右边有两项,中间符号与左边角间符号相反,两项排列顺 序是:cosα cosβ 、sinα sinβ . (3)牢记公式并能熟练进行左、右互化. 如化简:cos(α +β )cosβ +sin(α +β )sinβ 时,不要将 cos(α +β )、sin(α +β )展开,而应就整个式子直接用公式化为 cos[(α +β )-β ]=cosα . (4)和(差)角公式可看成诱导公式的推广,诱导公式可看成和(差)角公式的

特例.当 α 、β 中有一个角为

的整数倍时,以利用诱导公式较为简捷.

2、两角和与差的正弦公式:sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ (S(α +β )) sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ (S(α -β )) [点拨](1)上述公式对 α 、β 取任意角都成立. ( 2 )公式特点:右边有两项,中间的符号与左边角间符号一致,两项顺序为: sinα cosβ 、cosα sinβ . ( 3 )牢记公式并能熟练进行左、右互化 . 如化简 sin(α + β )cosβ + cos(α + β )sinβ =?可直接用公式化简为 sin[(α +β )+β ]=sin(α +2β ). (4)两角和与差的三角函数是诱导公式的推广,诱导公式是它的特例,当 α 、β 中有一个角为90°的整数倍时,用诱导公式较为简便. 3、两角和与差的正切公式

[点拨](1)Tα +β 中:α 、β 、α +β 都不取

(k∈Z)时,公式才适用;Tα -β 中:

α 、β 、α -β 都不取

(k∈Z)时,公式才适用.

(2)如 α 、β 、α ±β 有一个角取

(k∈Z)时,可用诱导公式,

(3)公式特征:右边分子为两项:tanα 、tanβ ,中间符号与右边角间符号一致; 右边分母为两项:1,tanα tanβ ,中间符号与左边角间符号相反.

(4)注意左、右互化,如求值:

,可将式子化为:

4、和(差)角的正、余弦公式的“加”、“减”、“乘”规律 (1)sin(α +β )+sin(α -β )=2sinα cosβ (2)sin(α +β )-sin(α -β )=2cosα sinβ (3)sin(α +β )?sin(α -β )=sin2α -sin2β (4)cos(α +β )+cos(α -β )=2cosα cosβ (5)cos(α +β )-cos(α -β )=-2sinα sinβ (6)cos(α +β )?cos(α -β )=cos2α -sin2β 5、和(差)角的正切公式的变形形式

由 tan(α + β )=

变 形 得 : tanα + tanβ + tanα tanβ tan(α +

β )=tan(α +β ):由 tan(α -β )=

变形, 得

.

6、形如 asinθ +bcosθ 的三角函数式可化成一个角的一个三角函数

即 asinθ +bcosθ =

令 故 asinθ +bcosθ =

. ,

此即为化一公式,其中

.

7、正弦、余弦、正切的和(差)角公式的联系

例1、已知

,求 sin(α +β ).

例2、已知

例3、化简

.

例5、求证:

.

1、sin14°cos16°+sin76°cos74°的值是( )

A.

B.

C.-

D.-

2、化简

的结果是(



A.1

B.

C.-

D.±

3、cosx+sinx 等于( )

A.

B.

C.

D. )

5、在△ABC 中,若 sinA?sinB<cosA?cosB,则此三角形的外心位于它的( A.内部 B.外部 C.一边上 D.以上都不对

6、tan15°+tan45°+

tan15°的值为( )

A.

B.

C.

D.

(17) (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c = (1) 求 A ( 2) 若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c. 16、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3asinC-ccosA

2 cos( x ?

?
12

), x?R

(1) 求 f ( ) 的值;

?

3 3? ? , 2? ) ,求 f (? ? ) 。 ,? ? ( 5 2 6 ? 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 cos( x ? ), x ? R . 12 ? (1)求 f (? ) 的值; 6 3 3? ? (2)若 cos ? ? , ? ? ( ,2? ) ,求 f ( 2? ? ) . 3 5 2
(2)

3

cos ? ?


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