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2017届北京市东城区高三上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

2016-2017 学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷(理科) 一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. ) 1.已知集合 A={x|(x﹣1) (x﹣3)<0},B={x|2<x<4},则 A∩B=( A.{x|1<x<3} B.{x|1<x<4} C.{x|2<x<3} D.{x|2<x<4} 2.抛物线 y2=2x 的准线方程是( A.y=﹣1 B. C.x=﹣1 ) D. ) ) 3.“k=1”是“直线 与圆 x2+y2=9 相切”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ) 4.执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为( A.6 B.8 C.10 D.12 ) 5.已知 x,y∈R,且 x>y>0,则( A.tanx﹣tany>0 C.lnx+lny>0 B.xsinx﹣ysiny>0 D.2x﹣2y>0 6.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,则 f(x+1)≥0 的解集 为( ) B. (﹣∞,1] C.[﹣1,+∞) D.[1,+∞) ) A. (﹣∞,﹣1] 7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( A. B. C.2 D. 8.数列{an}表示第 n 天午时某种细菌的数量.细菌在理想条件下第 n 天的日增长率 rn=0.6 (rn= ,n∈N*) .当这种细菌在实际条件下生长时,其日增长率 rn 会发生变化.如图 描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量 Q 随时间的变化规律.那么,对这种细菌在实 际 条 件 下 日 增 长 率 rn 的 规 律 描 述 正 确 的 是 ( ) A . B . C . D. 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.若复数(2﹣i) (a+2i)是纯虚数,则实数 a= 10.若 x,y 满足 ,则 x+2y 的最大值为 . . 11.若点 P(2,0)到双曲线 的一条渐近线的距离为 1,则 a= ; 若 AD⊥BC,则 AD= ,延长 BP 交 AC 于点 D,若 . . , 12.在△ABC 中,若 AB=2,AC=3,∠A=60°,则 BC= 13.在△ABC 所在平面内一点 P,满足 则 λ= . 14.关于 x 的方程 g(x)=t(t∈R)的实根个数记为 f(t) .若 g(x)=lnx,则 f(t)= 若 g(x)= ; (a∈R) ,存在 t 使得 f(t+2)>f(t)成立,则 a 的取值范围 是 . 三、解答题(共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. ) 15.已知{an}是等比数列,满足 a1=3,a4=24,数列{an+bn}是首项为 4,公差为 1 的等差数列. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和. 16.已知函数 部分图象如图所示. (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期及图中 x0 的值; (Ⅱ)求 f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值. 17.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,平面 PCD⊥平面 ABCD,BC=1,AB=2, ,E 为 PA 中点. (Ⅰ)求证:PC∥平面 BED; (Ⅱ)求二面角 A﹣PC﹣D 的余弦值; (Ⅲ)在棱 PC 上是否存在点 M,使得 BM⊥AC?若存在,求 的值;若不存在,说明理由. 18.设函数 . (Ⅰ)若 f(0)为 f(x)的极小值,求 a 的值; (Ⅱ)若 f(x)>0 对 x∈(0,+∞)恒成立,求 a 的最大值. 19.已知椭圆 C: =1(a>b>0)经过点 M(2,0) ,离心率为 .A,B 是椭圆 C 上 两点,且直线 OA,OB 的斜率之积为﹣ ,O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若射线 OA 上的点 P 满足|PO|=3|OA|,且 PB 与椭圆交于点 Q,求 的值. 20.已知集合 An={(x1,x2,…,xn)|xi∈{﹣1,1}(i=1,2,…,n)}.x,y∈An,x=(x1, x2, …, xn) y= y2, …, yn) yi∈{﹣1, 1} 2, …, n) , (y1, , 其中 xi, (i=1, . 定义 x⊙y=x1y1+x2y2+…+xnyn. 若 x⊙y=0,则称 x 与 y 正交. (Ⅰ)若 x=(1,1,1,1) ,写出 A4 中与 x 正交的所有元素; (Ⅱ)令 B={x⊙y|x,y∈An}.若 m∈B,证明:m+n 为偶数; (Ⅲ)若 A? An,且 A 中任意两个元素均正交,分别求出 n=8,14 时,A 中最多可以有多少个 元素. 2016-2017 学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. ) 1.已知集合 A={x|(x﹣1) (x﹣3)<0},B={x|2<x<4},则 A∩B=( A.{x|1<x<3} B.{x|1<x<4} C.{x|2<x<3} D.{x|2<x<4} 【考点】交集及其运算. 【分析】化简集合 A,由集合交集的定义,即可得到所求. 【解答】解:集合 A={x|(x﹣1) (x﹣3)<0}={x|1<x<3},B={x|2<x<4}, 则 A∩B={x|2<x<3}. 故选:C. ) 2.抛物线 y2=2x 的准线方程是( A.y=﹣1 B. C.x=﹣1 ) D. 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】直接利用抛物线方程写出准线方程即可. 【解答】解:抛物线 y2=2x 的准线方程是:x=﹣ . 故选:D. 3.“k=1”是“直线 与圆 x2+y2=9 相切”

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