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第二章 点、直线、平面之间的位置关系 章末检测(人教A版必修2)

第二章 点、直线、平面之间的位置关系 章末检测(人教 A 版必修 2) 一、选择题(本大题共 10 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 1.若直线 a 与平面 α 不垂直,那么平面 α 内与直线 a 垂直的直线有( A.0 条 B .1 条 C.无数条 D.不确定 解析:选 C.平面 α 内与 a 垂直的有无数条直线. 2. )

如图,α∩β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C?l,则平面 ABC 与平面 β 的交线是 ) A.直线 AC B.直线 AB C.直线 CD D.直线 BC 解析:选 C.D∈l,l?β,∴D∈β, 又 C∈β,∴CD?β; 同理,CD?平面 ABC, ∴平面 ABC∩平面 β=CD.故选 C. 3.设 m,n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,则下列命题不正确的是( ) A.若 m⊥n,m⊥α,n?α,则 n∥α B.若 m⊥β,α⊥β,则 m∥α 或 m?α C.若 m⊥n,m⊥α,n⊥β,则 α⊥β D.若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β 解析:选 D.对于选项 D,当直线 m 位于平面 β 内且与平面 α、β 的交线平行时,直线 m ∥α,显然 m 与平面 β 不垂直.因此选项 D 不正确. 4.已知空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AC,BD 的中点,若 AB=2,CD=4,EF ⊥AB,则 EF 与 CD 所成的角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:选 A.取 BC 的中点 G,则 EG=1,FG=2,EF⊥EG,则 EF 与 CD 所成的角∠ EFG=30° ,故选 A. 5.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂 直. 其中为真命题的是( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ 解析:选 D.①错,只有一个平面内有两条相交直线与另一个面平行时,才能得出这两 个面互相平行. ③错, 比如 a⊥α, b?α, c?α, 显然有 a⊥b, a⊥c, 但 b 与 c 也可能相交. 故 ②④正确. (

6.设平面 α∩平面 β=l,点 A,B∈α,点 C∈β,且 A,B,C 均不在直线 l 上,给出四 个命题: l⊥AB ? ? ??α⊥β; ① ? l⊥AC? ② ③
? l⊥AC? ??α⊥平面 ABC; l⊥BC? ? ? ? ??l⊥平面 ABC; ? AB⊥BC?

α⊥β

④AB∥l?l∥平面 ABC. 其中正确的命题是( ) A.①与② B.②与③ C.①与③ D.②与④ 解析:选 D.∵l⊥AC,l⊥BC,∴l⊥平面 ABC, 又 l?α,∴α⊥平面 ABC,故②正确; ∵AB∥l,A,B,C 不在 l 上, AB?平面 ABC, ∴l∥平面 ABC,故④正确. 故选 D. 7.下列做法可以使旗杆与水平地面垂直的是( ) ①过旗杆底部在地面上画一条直线,使旗杆与该直线垂直; ②过旗杆底部在地面上画两条直线,使这两条直线垂直; ③在旗杆顶部拴一条长大于旗杆高度的无弹性的细绳, 拉紧在地面上找三点, 使这三点 到旗杆底部的距离相等. A.①② B.②③ C.只有③ D.只有② 解析:

选 C.①②都不符合线面垂直的条件.对于③,如图. PO 为旗杆. PA、PB、PC 为细绳,连接 AB,取 AB 的中点 M,由于 PA=PB,OA=OB, ∴AB⊥PM,AB⊥OM, ∴AB⊥平面 PMO, ∴AB⊥PO. 同理 BC⊥PO. 又∵AB∩BC=B,∴PO⊥底面. 8.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为 12,底面对角线的长为 2 6,则侧面与底面所成的二面角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:选 C.由棱锥体积公式可得底面边长为 2 3,高为 3,在底面正方形的任一边上, 取其中点,连接棱锥的顶点及其在底面的射影,根据二面角定义即可判定其平面角,在直角 三角形中,因为 tan θ= 3,所以二面角为 60° ,选 C. 9.若正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为 1,AB1 与底面 ABCD 成 60° 角,则 A1C1 到底面 ABCD 的距离为( )

3 3 C. 2 A.

B .1 D. 3

解析: 选 D.如图所示, 直线 AB1 与底面 ABCD 所成的角为∠B1AB, 而 A1C1 到底面 ABCD 的距离为 AA1, 在 Rt△ABB1 中, B1B=AB· tan 60° = 3. 所以 AA1=BB1= 3. 10.在四面体 ABCD 中,已知棱 AC 的长为 2,其余各棱长都为 1,则二面角 A-CD -B 的余弦值为( ) 1 1 A. B. 2 3 3 2 C. D. 3 3 1 2 3 解析:选 C.取 AC 的中点 E,取 CD 的中点 F,EF= ,BE= ,BF= ,结合图形 2 2 2 EF 3 知二面角 A-CD-B 的余弦值 cos θ= = . BF 3 二、填空题(本大题共 5 小题,请把正确的答案填在题中的横线上) 11. 已知菱形 ABCD 中, AB=2, ∠A=120° , 沿对角线 BD 将△ABD 折起使二面角 ABDC 为 120° ,则点 A 到△BCD 所在平面的距离为________. 解析:设 AC∩BD=O,则翻折后 AO⊥BD,CO⊥BD,∴∠AOC 即为二面角的平面角, 3 则∠AOC=120° ,且 AO=1,所以 d=1×sin 60° = . 2 3 答案: 2 12.如图,圆锥 SO 中,AB、CD 为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且 AB⊥CD,SO =OB=2,P 为 SB 的中点,则异面直线 SA 与 PD 所成角的正切值为________.

解析:连接 PO,则 PO∥SA, ∴∠OPD 即为异面直线 SA 与 PD 所成的角,

且△OPD 为直角三角形,∠POD 为直角, OD 2 ∴tan∠OPD= = = 2. OP 2 答案: 2 13.若 A、B、C 表示三个不同的点,l 表示一条直线,α 表示一个平面,则在下列四个 命题中:①若 l?α,C∈α,则 C∈l;②若 A∈l,B∈l,且 B?α,则 l?α;③若 l?α,C∈l, 则 C∈α;④若 l?α,C∈l,则 C?α.正确的命题有________(把所有正确命题的序号都填上). 解析:①错误,直线 l 在平面 α 内,不能得到在平面 α 内的一点 C 一定在直线 l 上;② 正确,若直线 l 上一点 B 不在平面 α 内,则直线 l 不可能在平面 α 内,否则,若直线 l 在平 面 α 内,可得点 B 也在平面 α 内,与题意矛盾;③正确,直线 l 在平面 α 内,C 是直线 l 上 一点,则点 C 必在平面 α 内;④错误,直线 l 不在平面 α 内,则直线 l 与平面 α 可能有一个 公共点 C 或没有公共点. 答案:②③ 14.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A-BD-C,有如下四个结论: ①AC⊥BD; ②△ACD 是等边三角形; ③AB 与平面 BCD 成 60° 的角; ④AB 与 CD 所成的角是 60° . 其中正确结论的序号是________.

解析:命题①,如图,取 BD 中点 E,连接 AE、CE, 有 BD⊥AE,BD⊥CE. 所以 BD⊥平面 ACE, 所以 BD⊥AC. 命题②,设正方形的边长为 a, 2 所以 AE=EC= a, 2 ∵△AEC 为直角三角形,∴AC=a, ∴△ACD 为等边三角形. 命题③,平面 ABD⊥平面 BCD,所以 AE⊥平面 BCD, 所以∠ABE 即为 AB 与平面 BCD 所成的角,∠ABE=45° , 故该命题错误,命题④正确. 答案:①②④ 15.在空间四边形 ABCD 中,平面 ABD⊥平面 BCD,且 DA⊥平面 ABC,则△ABC 的 形状是________.

解析:如图,在△ABD 内,作 AH⊥BD 于 H, ∵平面 ABD⊥平面 BCD,且平面 ABD∩平面 BCD=BD, ∴AH⊥平面 BCD. 又 BC?平面 BCD, ∴BC⊥AH. 又∵DA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC,

∴DA⊥BC.又 AH∩DA=A, ∴BC⊥平面 ABD,∴BC⊥AB, 故△ABC 是以∠B 为 90° 角的直角三角形. 答案:直角三角形 三、解答题(本大题共 5 小题,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,F,F1 分别是 AC,A1C1 的中点.

求证:(1)平面 AB1F1∥平面 C1BF; (2)平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1. 证明:(1)在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∵F,F1 分别是 AC,A1C1 的中点, ∴B1F1∥BF,AF1∥C1F. 又∵B1F1∩AF1=F1,C1F∩BF=F, ∴平面 AB1F1∥平面 C1BF. (2)在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥平面 A1B1C1, ∴B1F1⊥AA1. 又 B1F1⊥A1C1,A1C1∩AA1=A1, ∴B1F1⊥平面 ACC1A1,而 B1F1?平面 AB1F1, ∴平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1. 17.在所有棱长都相等的斜三棱柱 ABC-DEF 中,已知 BF⊥AE,BF∩CE=O,且 AB =AE,连接 AO. (1)求证:AO⊥平面 BCFE. (2)求证:四边形 BCFE 为正方形. 证明:(1)因为 BCFE 是菱形,所以 BF⊥EC, 又 BF⊥AE,所以 BF⊥平面 AEC, 所以 BF⊥AO. 因为 AE=AB=AC,OE=OC,所以 AO⊥EC, 又 BF∩EC=O, 所以 AO⊥平面 BCFE. (2)因为 AO⊥平面 BCFE,所以 AO⊥OE,AO⊥OB, 又因为 AE=AB,所以 OE=OB, 所以 EC=BF, 所以 BCFE 为正方形. 18.底面是平行四边形的四棱锥 P-ABCD,点 E 在 PD 上,且 PE∶ED=2∶1. 问:在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF∥平面 AEC? 证明你的结论.

解: 如图所示, 连接 BD 交 AC 于点 O, 连接 OE, 过点 B 作 OE 的平行线交 PD 于点 G, 过点 G 作 GF∥CE 交 PC 于点 F,连接 BF. ∵BG∥OE,BG?平面 AEC,OE?平面 AEC, ∴BG∥平面 AEC.

同理 GF∥平面 AEC, 又 BG∩GF=G, ∴平面 BFG∥平面 AEC,BF?平面 BFG. ∴BF∥平面 AEC. 下面求点 F 在 PC 上的具体位置: ∵BG∥OE,O 是 BD 的中点, ∴E 是 GD 的中点. 又∵PE∶ED=2∶1, ∴G 是 PE 的中点. 而 GF∥CE.∴F 为 PC 的中点. 综上可知,存在点 F,当点 F 是 PC 的中点时,BF∥平面 AEC. 19.如图 1 所示的等边△ABC 的边长为 2a,CD 是 AB 边上的高,E、F 分别是 AC、BC 边的中点.现将△ABC 沿 CD 折叠,使平面 ADC⊥平面 BDC,如图 2 所示. (1)试判断折叠后直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求四面体 A-DBC 的外接球体积与四棱锥 D-ABFE 的体积之比.

解:(1)AB∥平面 DEF,理由如下: ∵E、F 分别为 AC、BC 的中点, ∴AB∥EF, ∵AB?平面 DEF,EF?平面 DEF, ∴AB∥平面 DEF. (2)以 DA,DB,DC 为棱补成一个长方体,则四面体 A-DBC 的外接球即为长方体的外 接球. 设球的半径为 R,则 a2+a2+3a2=(2R)2, 5 ∴R2= a2, 4 4 5 5 3 于是球的体积 V1= πR3= πa . 3 6 1 3 又 VA-BDC= S△BDC· AD= a3, 3 6 1 1 3 3 VE-DFC= S△DFC·AD= a , 3 2 24 V1 V1 20 15π ∴ = = . 9 VD-ABFE VA-BDC-VE-DFC 20.已知一四棱锥 P-ABCD 的三视图如下,E 是侧棱 PC 上的动点. (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)若点 E 为 PC 的中点,AC∩BD=O,求证 EO∥平面 PAD; (3)是否不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE?证明你的结论.

解:(1)由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, 侧棱 PC⊥底面 ABCD,且 PC=2. 1 2 ∴VP-ABCD= S?ABCD· PC= . 3 3 (2)证明:∵EO∥PA,EO?平面 PAD,PA?平面 PAD. ∴EO∥平面 PAD. (3)不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE, 证明如下:∵ABCD 是正方形, ∴BD⊥AC,∵PC⊥底面 ABCD 且 BD?平面 ABCD, ∴BD⊥PC,又∵AC∩PC=C, ∴BD⊥平面 PAC, ∵不论点 E 在何位置,都有 AE?平面 PAC, ∴不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE.


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