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一轮复习讲义


第49讲 │ 抛物线

第49讲 抛物线

第49讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离
相等 ______ 的点的轨迹叫做抛物线,其中定点 F 叫做抛物线的

焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线(定点 F 不在直线上). 2.抛物线标准方程的四种形式 y =2px,y =-2px,
2 2

x2=2py,x2=-2py,(p>0)分别表示焦点在 x 轴上,开口
向右、开口向左,和焦点在 y 轴上,开口向上、开口向下 的抛物线. 3 . 抛 物 线 方 程 中
焦点到准线的距离 ______________________ .

p

的 几 何 意 义 是

第49讲 │ 知识梳理
4.抛物线的标准方程和几何性质:

第49讲 │ 知识梳理

x≥0,y∈R

x≤0,y∈R

- 2

p

?p ? ? ? , 0 ?2 ? ? ?

? ? ? ? - , 0 ? 2 ? ? ?

p 2 p

x轴
(0,0) 1

x 0+

p
2

p
2

- x0

第49讲 │ 知识梳理

第49讲 │ 知识梳理
y≥0,x∈R y≤0,x∈R

- 2

p

p 2

y轴 (0,0)

p
2

1

+ y0

p
2

- y0

第49讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 抛物线的定义

例 1 [2010·辽宁卷] 设抛物线 y2=8x 的焦点 为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂 足. 如果直线 AF 的斜率为- 3, 那么|PF|=( A.4 3 C.8 3 B.8 D.16
【答案】 B

)

[思路] 如图,可以推得∠AFB=60°,再利用抛物线定义得出△PAF为 等边三角形,即可求出|PF|的长.

第49讲 │ 要点探究
[解析] 如图,设准线 l 与 x 轴交于点 B,连接 AF、PF, 则|BF|=p=4.∵直线 AF 的斜率为- 3, 4 ∴∠AFB=60°.在 Rt△ABF 中,|AF|= =8,又根 cos60° 据抛物线的 定义,得|PA|=|PF|,PA∥BF,∴∠PAF=60°,∴△PAF 为等边三角形,故|PF|=|AF|=8,选 B.

第49讲 │ 要点探究
已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,点 P1(x1,y1),
2

P2(x2 , y2) , P3(x3 , y3) 在抛物线上,且 2x2 = x1 + x3 ,则有
( ) A.|FP1|+|FP2|=|FP3| B.|FP1| +|FP2| =|FP3| C.2|FP2|=|FP1|+|FP3| D.|FP2|2=|FP1|·|FP3|
【答案】 C
2 2 2

[思路] 根据抛物线定义,将坐标等式转化为距离关系,即可得解.

第49讲 │ 要点探究
? p? p ? ? 如图所示,由抛物线定义,2?x2+ ?=x1+ + 2? 2 ?

[解析]

x3+ ,即 2|FP2|=|FP1|+|FP3|,选 C.
2

p

第49讲 │ 要点探究
? 探究点2 抛物线的标准方程

例 2 求适合下列条件的抛物线的标准方程. (1)求过点 A(3,2)的抛物线的标准方程; (2)抛物线的顶点在原点,开口向左.过抛物线焦点的直 线 m 和准线 l 以及 x 轴构成的等腰直角三角形的面积为 8.

[思路] (1)根据不同开口方向,设不同的方程形式;(2)方程 可设为y2=-2px(p>0),再根据面积求参数p的值.

第49讲 │ 要点探究
[解答] (1)因为 A(3,2)在第一象限,所以抛物线的开 口向右或向上. 当开口向右时,设抛物线方程为 y =2px(p>0),则有 4 2 4 2 =6p,∴p= ,抛物线方程为 y = x. 3 3 当开口向上时,设抛物线方程为 x =2py(p>0),则有 9 9 9 2 =4p,∴p= ,抛物线方程为 x = y. 4 2
2 2

第49讲 │ 要点探究
(2)依题意设抛物线方程为 y =-2px(p>0),焦点为
? p ? ? F?- ,0? ?. 2 ? ?
2

∵过抛物线焦点的直线 m 和准线 l 以及 x 轴构成的是 等腰直角三角形, ∴直线 m 的斜率为 1.

第49讲 │ 要点探究
设直线 m 与准线 l 交于点 A,准线 l 与 x 轴交于点 P, 如图,可得各点的坐标为
?p ? ?p ? ? ? ? P? ,0?,A? ,p? ?. 2 2 ? ? ? ?

1 2 ∴S△PAF= p =8,解得 p=4, 2 ∴抛物线方程为 y2=-8x.

[点评] 求抛物线的标准方程,只需确定一个待定参数.具体求解时,要确定参数

p的值和开口方向两个条件,必要时要进行讨论.

第49讲 │ 要点探究
已知以坐标原点为顶点的抛物线 C, 焦点在 x 轴上, 直线 x-y=0 与抛物线 C 交于 A、B 两点.若 P(2,2)为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为________________.

【答案】y2=4x

第49讲 │ 要点探究

[解析] 由题意知抛物线的顶点为坐标原点,焦点在 x 轴上, 2 所以可设抛物线的方程为 y =ax(a≠0).
2 ? ?y =ax, 将直线方程和抛物线方程联立? ? ?y=x,

得 x -ax=0,解

2

1 1 得 x1=0,x2=a,故 AB 中点的横坐标为 x0= (x1+x2)= a,由题 2 2 1 意得 a=2,解得 a=4. 2 所以该抛物线的方程为 y2=4x.

第49讲 │ 要点探究
? 探究点3 抛物线的几何性质

例 3 如图 49-1,过抛物线 x =4y 的焦点 F 作两互相垂 直的直线分别交准线于 A、B 两点,过 A、B 分别作准线的垂线 交抛物线于 P、Q 两点,求证:P、F、Q 三点共线.

2

第49讲 │ 要点探究
[思路] 可以根据抛物线的定义,利用长度的等量关系和角 度的等量关系,用平面几何方法证明;也可以利用 AF⊥BF,设 出直线方程,求出点 P、Q 的坐标,利用向量共线证明.

[解答] 证明:方法一:∵∠AFB=90°, ∴∠FAB+∠FBA=90°. 又∵PA⊥AB,QB⊥AB, ∴∠PAF=90°-∠ FAB ,∠ QBF =90°- ∠FBA, ∴∠PAF+∠QBF=90°.

第49讲 │ 要点探究

∵P、Q 在抛物线上, ∴|PA|=|PF|,|QB|= |QF|, ∴△PAF、△QBF 是等腰三角形, ∴∠PFA+∠QFB=∠PAF+∠QBF=90°, ∴∠PFA+∠QFB+∠AFB=180°, ∴P、F、Q 三点共线.

第49讲 │ 要点探究

方法二:抛物线焦点 F 的坐标为 F(0,1),准线为 y=-1. 设直线 AF 的方程为 y=kx+1,
? ?y=-1, 解方程组? ? ?y=kx+1

得 A 点坐标

? 2 ? ? A?- ,-1? ?, k ? ?

2 1 将 x=- 代入抛物线方程得 y= 2,

k

k

∴P 点坐标为

? 2 1? ? P?- , 2? ?. k k ? ?

第49讲 │ 要点探究

1 ∵AF⊥BF,∴将 P 点坐标中的 k 换为- ,即得点 Q 的坐标

k

为 Q(2k,k ).
? 2 1-k2? ? 2 1-k2? 2 2? ? → ? - , - , ∵→ FP=? , QF = ( - 2 k, 1 - k ) = k 2 2 ? k ? ? k ?, k k ? ? ? ?

2

∴→ QF=k2·→ FP,∴P、F、Q 三点共线.

第49讲 │ 要点探究
已知抛物线 y =4ax(a>0)的焦点为 F,以 B(4+a,0) 为圆心,|BF|为半径,在 x 轴上方画半圆,设抛物线与半 圆交于不同的两点 M、N,P 为线段 MN 的中点. (1)求|FM|+|FN|的值; (2)是否存在这样的 a,使|FM|、|FP|、|FN|成等差数 列,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.
[思路] ∵M、N在抛物线上,∴M、N到焦点F的距离等于到准线的距离;再设 出圆的方程,将抛物线的方程代入,利用根与系数的关系即可得解.
2

第49讲 │ 要点探究
[解答] (1)设 M、N、P 在抛物线的准线上的射影分别为 M′、

N′、P′,
则由抛物线定义得|FM| + |FN| = |MM′|+ |NN′|= xM + xN+ 2a. 又圆的方程为(x-a-4) +y =16, 将 y2=4ax 代入圆的方程得 x2-2(4-a)x+a2+8a=0, ∴xM+xN=2(4-a), ∴|FM|+|FN|=8.
2 2

第49讲 │ 要点探究

(2)假设存在这样的 a,使得 2|FP|=|FM|+|FN|, ∴|FM|+|FN|=|MM′|+|NN′|=2|PP′|, ∴|FP|=|PP′|, 由定义知点 P 必在抛物线上,这与点 P 是弦 MN 的中点矛盾, 所以这样的 a 不存在.

第49讲 │ 要点探究
? 探究点4 抛物线的综合应用

例 4 一水渠的横截面积如图 49-2 所示, 它的横截面边界

AOB 是抛物线的一段,已知渠宽 AB 为 2 m,渠深 OC 为 1.5 m,
水面 EF 距 AB 为 0.5 m. (1)求水面 EF 的宽度; (2)如果把此水渠改造为横截面是等腰梯形,要求渠深不 变,不准往回填土,只准挖土,试求截面梯形的下底边长为多 大时,才能使所挖的土最少?

第49讲 │ 要点探究

第49讲 │ 要点探究
[思路] 建立适当的坐标系,求出抛物线方程,转化为求相 应点的坐标即可,注意及时将点的坐标问题转化为实际问题.

[解答] (1)建立如图所示的直角坐标系,则A(-1,1.5),B(1,1.5),C(0,1.5).

第49讲 │ 要点探究

设抛物线方程为 x =2py(p>0),由点 A(-1,1.5)代入方 1 2 2 程,得到 1=2p×1.5,即 p= ,所以抛物线方程为 x = y,由 3 3 6 点 E 的纵坐标为 1,得到点 E 横坐标为- ,所以截面图中水 3 2 6 面宽度为 m. 3

2

第49讲 │ 要点探究
? 3 2? ? (2)如图所示,设抛物线上一点 M?t, t ? ?(t>0),因为改造 2 ? ?

后水渠只准挖土,而且要求挖出的土最少,所以只能沿过点 M 与抛物线相切的切线挖土. 2 3 2 2 由 x = y,即 y= x 求导可得 y′=3x,所以过点 M 的切 3 2 3 2 线斜率为 3t,切线方程为 y- t =3t(x-t),令 y=0,则 x1 2 t 3 t 1 = ,令 y= ,则 x2= + , 2 2 2 2t

第49讲 │ 要点探究
所以截面面积为 1? 1 3 3? ? ? 3 2 S= (2x1+2x2)× = ?t+ ?≥ , 2 2 2? 2t? 2 2 当且仅当 t= 时等号成立. 2 2 所以截面梯形的下底边长为 m 时, 才能使所挖的土最少. 2
[点评] 实际应用问题最主要的是转化为数学模型来解决.解决抛物线的实 际问题需要转化为合理的数学模型,要充分利用抛物线的定义及有关性质, 特别注意定义域问题.

第49讲 │ 规律总结 规律总结
1.抓住抛物线的定义与几何性质,结合问题熟练运 用坐标法、待定系数法、方程思想、数形结合思想等数学 思想和方法,分析清楚题中所给几何图形的性质,选择适 当方法简捷求解. 2.明确 p 的几何意义:焦点 F 到准线的距离,抛物 线 y =2px
2

? y2 ? ? 上的点常设为? ,y? ?. 2 p ? ?

第49讲 │规律总结
3.有关抛物线的焦半径、焦点弦问题,常转化为点到准 线的距离.有关直线与抛物线的位置关系问题,常用方程组思 想、消元法,结合根与系数的关系求解. 4.抛物线方程的四种标准形式,可以合并为两个:y = mx,x2=my(m≠0).
2

第49讲 │ 规律总结
5. 抛物线的几何特征很独特, 如图 49-3, 抛物线 y =2px,准线为 CD,AB 为过焦点 F 的 弦,M、N 为线段 AB、CD 的中点,则有如下几 个结论: (1)AN⊥BN; (2)DF⊥CF; (3)NF⊥BF; (4)|NF|= |AF|·|BF| .
2


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