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2018届高三高考数学复习课件:8-7立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直_图文

§8.7 立体几何中的向量方法(一)——证明平行 与垂直 非零 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量:在直线上任取一_____ 向量作为它的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出:设 a,b 是平面 α 内两 不共线向量, n 为平面 α 的法向量,则求法向量的方程组为 ? a=0, ?n· ? ? b=0. ?n· 2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)?v1∥v2. (2)设直线 l 的方向向量为 v,与平面α 共面的两个不共线向 量 v1 和 v2, 则 l∥α 或 l?α ?存在两个实数 x, y, 使 v=xv1+yv2. (3)设直线 l 的方向向量为 v,平面 α 的法向量为 u,则 l∥α 或 l?α ?v⊥u. (4)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1,u2,则 α∥β?u1 ∥u2. 3.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1⊥l2?v1⊥ v2?v1·v2=0. (2) 设直线 l 的方向向量为 v ,平面 α 的法向量为 u ,则 l⊥α?v∥u. (3)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1 和 u2,则 α⊥β?u1⊥ u2?u1·u2=0. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打 “√”或“×”) (1)平面的单位法向量是唯一确定的.( ) (2)若两平面的法向量平行,则两平面平行 .( ) 1.已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量 是平面 ABC 法向量的是( A.(-1,1,1) ? C.?- ? ) B.(1,-1,1) ? D.? ? 3 3 3? ? ,- ,- 3 3 3? 3 3 3? ? , ,- 3 3 3? 【解析】 设 n=(x,y,z)为平面 ABC 的法向量, → =0, ? ?n · AB ?-x+y=0, 则? 化简得? ? → =0, ?-x+z=0, AC ?n · ∴x=y=z.故选 C. 【答案】 C 2.直线l的方向向量a=(1,-3,5),平 面α的法向量n=(-1,3,-5),则有( A.l∥α C.l与α斜交 B.l⊥α D.l?α或l∥α ) 【解析】 由a=-n知,n∥a,则有l⊥α, 故选B. 3.平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的 法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k等于( ) A.2 B.-4 C.4 D.-2 【解析】 ∵α∥β,∴两平面法向量平行, -2 -4 k ∴ 1 = 2 = ,∴k=4. -2 【答案】 C 4.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1 中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D 的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM 的位置关系是________. → ,AD → ,AA → 所在直线为 x, 【解析】 以 A 为原点,分别以AB 1 y,z 轴,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为 1,则 A(0,0, 0) , M ? 1? ?0,1, ? 2? ? ,O ?1 1 ? ? , ,0? ?2 2 ? ,N ?1 ? ? ,0,1? ?2 ? → · ON → = , AM ? ? 1? ? 1 ?0,1, ?·?0,- ,1?=0, 2? ? 2 ? ? ∴ON与AM垂直. 【答案】 垂直 题型一 利用空间向量证明平行问题 【例1】 (2018· 重庆模拟)如图所示,平面 PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,△PAD 是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分 别是线段PA,PD,CD的中点.求证:PB∥ 平面EFG. 【证明】 ∵平面PAD⊥平面ABCD, ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA =AD, ∴AB,AP,AD 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示 的空间直角坐标系 Axyz,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2, 0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2, 0). → =(2,0,-2),FE → =(0,-1,0),FG → =(1,1,-1), ∴PB → =sFE → +tFG →, 设PB 即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1), t=2, ? ? → =2FE → +2FG →, ∴?t-s=0, 解得 s=t=2,∴PB ? ?-t=-2, → 与FG → 不共线,∴PB → ,FE → 与FG → 共面. 又∵FE ∵PB?平面 EFG,∴PB∥平面 EFG. 【思维升华】 (1)恰当建立空间直角坐标 系,准确表示各点与相关向量的坐标,是运 用向量法证明平行和垂直的关键. (2)证明直线与平面平行,只需证明直线的 方向向量与平面的法向量的数量积为零,或 证直线的方向向量与平面内的不共线的两个 向量共面,或证直线的方向向量与平面内某 跟踪训练1 (2018· 海淀模拟)正方体 ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1 的中点.求证:MN∥平面A1BD. 【证明】 如图所示,以D为坐标原点, DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z 轴建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为 1,则 ? ? 1? ?1 M?0,1,2?,N?2,1,1?,D(0,0, ? ? ? ? 0),A1(1,0,1),B(1,1,0), ?1 1? → → → =(1,1,0). 于是MN=?2,0,2?,DA1=(1,0,1),DB ? ? 设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z), → =0,且 则 n· DA 1 ? ?x+z=0, → n· DB=

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