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2-2-1指数(根式)




题:2.2.1 分数指数幂

教学目的: 1.掌握根式的概念和性质,并能熟练应用于相关计算中 2.理解分数指数幂的概念. 3.掌握有理指数幂的运算性质. 4.会对根式、分数指数幂进行互化. 5.培养学生用联系观点看问题. 教学重点:1.分数指数幂的概念. 2.分数指数幂的运算性质. 教学难点:对分数指数幂概念的理解. 授课类型:新授课 课时安排:2 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教材分析:教材分析: 本节在根式的基础上将指数概念扩充到有理指数幂,并给出了有理指数幂的
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运算性质 在分数指数幂概念之后,课本也注明“若 a>0, p 是一个无理数,则 a p
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表示一个确定的实数” 为高中三年级限定选修课学习导数时做准备 在利用根式的运算性质对根式的化简过程,注意发现并归纳其变形特点,进 而由特殊情形归纳出一般规律.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后,进一步将 其推广到实数范围内,但无须进行严格的推证,由此让学生体会发现规律,并由 特殊推广到一般的研究方法.
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第一课:根式 教学过程: 一、复习引入: 1.整数指数幂的概念

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an ? a ?? a? ? a? ? a(n ? N*) ? ?
n个a

a 0 ? 1(a ? 0)
2.运算性质:

a ?n ?

1 (a ? 0, n ? N *) an

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a m ? a n ? a m? n (m, n ? Z ) (a m ) n ? a mn (m, n ? Z )
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(ab) ? a ? b (n ? Z )
n n n

3.注意 ①

a m ? a n 可看作 a m ? a ? n

∴a

m

? a n = a m ? a ? n = a m?n
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n a n a n n ?n n ?n a ( ) ② 可看作 a ? b ∴( ) = a ?b = n b b b

二、讲解新课: 1.根式: ⑴计算(可用计算器) ①3 = 9
3

2

,则 3 是 9 的平方根

; ; ; .

② (?5) =-125 ③若 6 =1296
5
4

,则-5 是-125 的立方根 ,则 6 是 1296 的 4 次方根

④ 3.7 =693.43957 ,则 3.7 是 693.43957 的 5 次方根 ⑵定义: 一般地,若 x
n
n

? a(n ? 1, n ? N*)

则 x 叫做 a 的 n 次方根
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a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数
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例如,27 的 3 次方根表示为

3

27 , ? 32 的 5 次方根表示为 5 ? 32 , a 6 的 3
4

次方根表示为 3 a 6 ;16 的 4 次方根表示为 ? 个,一个是
4

16 ,即 16 的 4 次方根有两

16 ,另一个是 ? 4 16 ,它们绝对值相等而符号相反.
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⑶性质: ①当 n 为奇数时:正数的 n 次方根为正数,负数的 n 次方根为负数 记作:

x?n a
x ? ?n a

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②当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个(互为相反数) 记作:
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③负数没有偶次方根, ④ 0 的任何次方根为 0

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注:当 a ? 0 时, n a ? 0,表示算术根,所以类似 4 16 = ? 2 的写法是错误的. ⑷常用公式 根据 n 次方根的定义,易得到以下三组常用公式: ①当 n 为任意正整数时,( ②当 n 为奇数时,
n

n

a ) n =a.例如,( 3 27 ) 3 =27,( 5 ? 32 ) 5 =-32.
?a(a ? 0)

a n =a;当 n 为偶数时, n a n =|a|= ? . ?? a(a ? 0)

4 3 例如, 3 (?2) =-2, 5 25 =2;

34 =3,

(?3) 2 =| ? 3|=3.

⑶根式的基本性质:

np

a mp ? n a m , (a ? 0).

2 注意,⑶中的 a ? 0 十分重要,无此条件则公式不成立. 例如 6 (?8) ? 3 ? 8 .

三、讲解例题: 例 1(课本 例 1 改编)求值 ① 3 (?8) 3 = ② ( ?10 ) 2 = ③ 4 (3 ? ? ) 4 =

?8 ;
| ?10 | |3 ?? | = 10 ; ;

= ? ?3

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④ ( a ? b) 2 ( a ? b) = 例 2 求值:

|a ?b |

= a ?b

.

(1) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 ; (2)2 3 ? 3 1.5 ? 6 12

(3) 3 2 ? 5 ? 3 2 ? 5
分析: (1)题需把各项被开方数变为完全平方形式,然后再利用根式运算性质; 解:

(1) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 ? ( 3) 2 ? 2 3 ? 2 ? ( 2 ) 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? ( 3) 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 2 ? ( 2 ) 2 ? (( 3 ? 2 ))2 ? (2 ? 3 ) 2 ? (2 ? 2 ) 2 ?| 3 ? 2 | ? | 2 ? 3 ? | ? | 2 ? 2 | ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? (2 ? 2 ) ?2 2 注意:此题开方后先带 上绝对值,然后根据正 负去掉绝对值符号。

(2)2 3 ? 3 1.5 ? 6 12 32 2 =2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 2 =2 ? 3 ? 6
6 3

例 3 下列各题中两个函数是否表示同一个函数

(1)

f ( x ) ? x, g ( x ) ? ( x ) ;
2

(2)

f ( x ) ? x, g ( x ) ? x 2 ;
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(3)

f ( x) ? x, g ( x) ? 3 x3 ;
x2 ? 4 f1 ( x) ? , f 2 ( x) ? x ? 2; x?2

(4)

(5)

f1 ( x) ? ( x ? 2)2 , f 2 ( x) ?| x ? 2 | .

例 4 比较
6

5, 11, 123
3 6 2

3

6

的大小。

解:? 5 ? 5 ? 6 125, 3 11 ? 11 ? 6 121 , 又?121 ? 123 ? 125,? 6 121 ? 6 123 ? 6 125

? 5 ? 6 123 ? 3 11.
第2课 一、复习引入: 引例:当 a>0 时 ① a ② a
3

指数-分指数

5

10

? (a ) ? a ? a
5 2 5 2

10 5
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3

12

? (a ) ? a ? a
3 4 3 4
3 2 3 3 2 3
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12 3
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③ a ? (a ) ? a
2 1 1

④ a ? (a 2 ) 2 ? a 2

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二、讲解新课: 1.正数的正分数指数幂的意义

a

m n

? n a m ( a ? 0, m、n ? N * )

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要注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式;二是根式与分数指 数幂可以进行互化. 另外,我们还要对正数的负分数指数幂和 0 的分数指数幂作如下规定. 2.规定: (1) a
? m n

?

1
m n

( a ? 0, m、n ? N * )

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a (2)0 的正分数指数幂等于 0. (3)0 的负分数指数幂无意义. 规定了分数指数幂的意义以后,指数的概念就从整数推广到有理数指数.当 a >0,b>0 时,整数指数幂的运算性质,对于有理指数幂也同样适用.即对于任意
有理数 m, n ,均有下面的运算性质. 3.有理指数幂的运算性质:

a m ? a n ? a m ? n (m, n ? Q) (a m ) n ? a mn (m, n ? Q) (ab) n ? a n ? b n (n ? Q )
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说明:若 a>0,P 是一个无理数,则 a p 表示一个确定的实数,上述有理指数 幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用,有关概念和证明在本书从略.? 三、讲解例题:

1 ?3 16 ? 4 8 , 100 , ( ) ,( ) . 例 3(课本例 2 改编 )求值: 4 81
?

2 3

1 2

3

解: 8

2 3

? (2 ) ? 2

2 3 3

3?

2 3

? 22 ? 4

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100

?

1 2

? (10 )
2

?

1 2

? 10

1 2?( ? ) 2

? 10 ?1 ?

1 10

1 ( )?3 ? (4 ?1 )?3 ? 4 ( ?1)?( ?3) ? 4 3 ? 64 4 16 ? 2 4?( ? ) 2 27 ( ) 4 ? ( ) 4 ? ( )?3 ? 81 3 3 8
3 3

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例 4(课本例 3 改编 )用分数指数幂的形式表示下列各式:

a 2 ? a , a 3 ? 3 a 2 , a a (式中 a>0)
解: a
3 3

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2

? a ? a ?a ? a
2
2 3 2 3 3? 2 3

1 2

2?

1 2

?a
11 3 3 4

5 2
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a ? a ? a ?a ? a
1 2 1 2

?a
1 2

a a ? (a ? a ) ? (a ) ? a
1 2 1 ? 2

3 2

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例5

(1)已知:x ? x

x ?x ?2 ? 3,求: 2 的值 ?2 x ? x ?3

3 2

?

3 2

a x - a- x (2)已知:f ( x) ? x , -x a ?a 试用f ( x),f ( y )表示f ( x ? y )
例 6 解方程: (1)

4

3 x?2

? 256 ? 8

1? x

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(2)

4 ? 3? 2
x

x ?1

? 16 ? 0

解: (1)

26 x?4 ? 28 ? 23?3 x
26 x?4 ? 211?3 x ? 6 x ? 4 ? 11 ? 3x ? x ? 7 9

(2) 2

2x
x

? 6 ? 2 x ? 16 ? 0 ? (2 x ) 2 ? 6 ? 2 x ? 16 ? 0
2

令 2 ? t ? 0, 则t ? 6t ? 16 ? 0 即 t ? 8, t ? ?2(舍去)

由2x ? 8 ? x ? 3


f ( x) ?
1 3

( 2003
? 1 3

上 海 ) 已 知 函 数
1 3 ? 1 3

x ?x x ?x , g ( x) ? 5 5

(1) 证明: 函数 f ( x) 为奇函数, 并求 f ( x) 的单调区间; (2)分别计算 f (4) ? 5 f (2)g(2)和f (9) ? 5 f (3)g(3) ,并 概括出涉及函数 f ( x)和g( x) 对所有不为 0 的实数
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x 都成立的一个等式,并加以证明。
(1)证明: f ( ? x) ?
1 3

(? x) ? (? x) 5

1 3

?

1 3

?

?x ? x 5
? 1 3

1 3

?

1 3

??

x ?x 5

1 3

?

1 3

? ? f ( x)

在 R 上 x 单调递增,在 (0, ??) 上, x

? 0,

? x 单调递减,?? x 单调递增,
因此, (0, ??) 是 f ( x) 的一个单调增区间,同理 (??,0) 也是一个单调增 区间。 (2) f (4) ? 5 f (2) g (2) ? f (9) ? 5 f (3) g (3) ? 0, 一般地, f ( x) ? 5 f ( x) g ( x) ? 0

?

1 3

?

1 3

证明: f ( x) ? 5 f ( x) g ( x) ?

x ?x 5

2 3

?

2 3

? 5?

x ?x 5

1 3

?

1 3

?

x ?x 5

1 3

?

1 3

2 2 1 2 1 2 3 3 3 ? (x ? x ) ? (x ? x3 ) ? 0 5 5

较高要求: 1. (1 ?

1 1 1 1 )(1 ? 16 )(1 ? 8 )?(1 ? ) ? ( 32 2 2 2 2
B. 2 ?

)

A. 1 ?

1 264

1 2 63

C.

1 1 ? 2 2 65

D.

3 4(1 ? 1 ) 232

提示:原式=2 (1 ?

1 1 1 1 1 1 )(1 ? 16 )(1 ? 8 )?(1 ? ) (1 ? ) ? 2 ? 63 32 2 2 2 2 2 2
)
? (2 k ?1)

2.

2?(2k ?1) ? 2?(2k ?1) ? 2?2k ? (
?2 k

A. 2

B. 2

? (2 k ?1)

C. ?2

D.2

第 9 页(共 12 页)

提示:原式= 2 ? 2

?1

?2 k

1 ? 2 ? 2?2 k ? 2?2 k ? ? ? 2?2 k ? ?2?2 k ?1 2
? ? 3x 2 x 2

3.若 a ? 5, 则
x

a ?a a2 ? a
x

3x 2

?
x 2 ? x 2

21 5

(a ? a )(a ? a a
x

x 2

?

x 2

? a?x )

提示:原式=
x 2

a ?a
x ? x 2

x 2

?

x 2

? a ?a a
4.已知10
a b

? a? x ? 5 ?1?
3a b ? 2 3

1 21 ? 5 5

? 2,10 ? 3,?100
2( 3a b ? ) 2 3 3a

?
a 3 2 b 3

提示:原式= 10
3

? 10 ?10

2b 3

? (10 ) ? (10 )

83 3 = 2 ?3 ? 3
四、练习: 1.计算下列各式(式中字母都是正数)
2 1 1 1 1 5

2 3

(1)(2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 );
1 3

(2)(m 4 n 8 ) 8 .
1 3

(1)(2a b )(?6a b ) ? (?3a b )

2 3

1 2

1 2

1 3

1 6

5 6

(2)(m 4 n 8 ) 8
1

解 ? [2 ? (?6) ? (?3)]a
? 4ab0 ? 4a

2 1 1 ? ? 3 2 6

b

1 1 5 ? ? 2 3 6

? (m 4 ) 8 (n 8 ) 3 ? m 3 ? n ?3 ? m2 n3

?

3

2.计算下列各式:
第 10 页(共 12 页)

(1)

a2 a3 a2

(a ? 0);

(2)(3 25 ? 125) ? 4 5

解:

(1) ? ?a ?a

a2 a ? 3 a2 a2
1 2 3 2 1 2 2? ? 2 3 5 6

(2)(3 25 ? 125) ? 4 5 ? (5 ? 5 ) ? 5
2 3 1 4 3 2 2 3 3 2 1 4 1 4

a ?a

? 5 ?5 ?5 ?5 ?5 ?5
2 1 ? 3 4 5 12

?5
5 4

3 1 ? 2 4

?5

? 6 a5
(1) 3 x 2 (3) 3 ( m ? n) 2 (5) p 6 ? q 5 (p>0)
2

? 12 5 5 ? 54 5.

3.用分数指数幂表示下列各式: (2) 4 (a ? b) 3 (a+b>0) (4) ( m ? n) 4 (m>n) (6)

m3 m

解:(1) (2) (3) (4) (5) (6)
4

3

x2 ? x 3
3 3 4 2 3 1 2

(a ? b) ? (a ? b)
2

3

(m ? n) ? (m ? n)
4

2 (m ? n) ? (m ? n) =(m-n)

1

6

5

5

p 6 ? q 5 ( p ? 0) ? ( p 6 ? q 5 ) 2 ? p 2 q 2 ? p 3 ? q 2
m3 m ? m3 ? m
? 1 2 5

? m2

五、小结 本节课学习了以下内容:
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分数指数幂的意义,分数指数幂与根式的互化,有理指数幂的运算性质. 六.作业:

第 12 页(共 12 页)


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