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2017版高考数学一轮复习 第十三章 选考部分阶段回扣练 理


2017 版高考数学一轮复习 第十三章 选考部分阶段回扣练 理
1.(2016·南京盐城期末)若复数 z= =________. 解析 z= 答案 -1 2.运行如图所示的程序后,输出的结果为________. i←1 S←0 While i<8 i←i+3 S←2×i+S End While

a+i
i

(其中 i 为虚数单位)的实部与虚部相等,则实数 a

a+i
i

=1-ai,故 a=-1.

Print S 解析 该伪代码运行 3 次,各次的 S 值依次是 8,22,42,故输出 S 的值为 42. 答案 42 3.(2016·苏、锡、常、镇模拟)若复数 z 满足 z=i(2+z)(i 为虚数单位),则 z=________. 2i 2i(1+i) 解析 由已知得 z=2i+zi,∴z(1-i)=2i,z= = =-1+i. 1-i (1-i)(1+i) 答案 -1+i 4.(2016·无锡一模)已知复数 z 满足(1-i)z=1+i,则 z 的模为________. 1+i (1+i) 解析 z= = =i,|z|=1. 1-i 2 答案 1 5.(2016·苏州一模)运行如图所示的流程图,如果输入 a=1,b=2,则输出的 a 的值为 ________.
2

解析 由 a=1,b=2,得 a=3,再得 a=5,a=7,a=9>8,输出 a 的值为 9.

1

答案 9 6.(2016·常州调研)观察下列各式:7 =49,7 =343,7 =2 401,?,则 7 字为________. 解析 因为 7 =49,7 =343,7 =2 401,7 =16 807,7 =117 649,?,所以这些数的 末两位数字呈周期性出现,且周期 T=4.又因为 2 015=4×503+3,所以 7 字与 7 的末两位数字相同. 答案 43 7.(2015·山东卷改编 ) 执行如图的流程图,若输入的 x 的值为 1 ,则输出的 y 的值是 ________.
3 2 015 2 3 4 5 6 2 3 4 2 015

的末两位数

的末两位数

解析 输入 x=1<2 成立,执行 x=2;

x=2<2 不成立,执行 y=3x2+1=13;输出 y=13,结束.
答案 13 1 9 8.(2015·南京二模)已知 a,b,c∈(0,+∞),且 a<c,b<c, + =1,若以 a,b,c

a b

为三边构造三角形,则 c 的取值范围是________. 解析 要以 a,b,c 为三边构造三角形,则需要满足任意两边之和大于第三边,任意两边

?1 9? 之差小于第三边,而 a<c,b<c,所以 a+b>c 恒成立即可.因为 a+b=(a+b)·? + ? ?a b?
b 9a =10+ + ≥10+2 a b b 9a 1 1 1 1 10 1 9 · =16,所以 c<16.又 > , > ,所以 < + =1,所以 a b a c b c c a b

c>10,综上知,10<c<16.
答案 (10,16) 9.(2016·盐城质检)请阅读下列材料: 若两个正实数 a1, a2 满足 a1+a2=1, 那么 a1+a2≤ 2. 证明:构造函数 f(x)=(x-a1) +(x-a2) =2x -2(a1+a2)x+1,因为对一切实数 x,恒有
2 2 2 2 2

f(x)≥0,所以 Δ ≤0,从而得 4(a1+a2)2-8≤0,所以 a1+a2≤ 2.根据上述证明方法,
若 n 个正实数满足 a1+a2+?+an=1 时,你能得到的结论为________. 解析 构造函数 f(x)=(x-a1) +(x-a2) +?+(x-an) =nx -2(a1+a2+?+an)x+1,
2 2 2 2 2 2 2

2

由对一切实数 x,恒有 f(x)≥0,所以 Δ ≤0,得 a1+a2+?+an≤ n. 答案 a1+a2+?+an≤ n 10.(2015·镇江二模)设 a,b 是两个实数,给出下列条件: ①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a +b >2;⑤ab>1.其中能推出: “a,b 中至少 有一个大于 1”的条件是________. 1 2 解析 若 a= ,b= ,则 a+b>1, 2 3 但 a<1,b<1,故①推不出; 若 a=b=1,则 a+b=2,故②推不出; 若 a=-2,b=-3,则 a +b >2,故④推不出; 若 a=-2,b=-3,则 ab>1,故⑤推不出; 对于③,即 a+b>2,则 a,b 中至少有一个大于 1, 反证法:假设 a≤1 且 b≤1, 则 a+b≤2 与 a+b>2 矛盾, 因此假设不成立,a,b 中至少有一个大于 1. 答案 ③ 11.(2016·苏州月考)如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦 值,则△A2B2C2 是________三角形. 解析 由条件知,△A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则△A1B1C1 是锐角三角形,假设 △A2B2C2 是锐角三角形. sin A =cos A =sin? -A ?, ? ?2 ? ? ?π ? 由?sin B =cos B =sin? -B ?, ?2 ? π ? ?sin C =cos C =sin??? 2 -C ???,
2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2



?

A = -A , 2 ? ? π 得?B = -B , 2 π ? ?C = 2 -C .
π
2 1 2 1 2 1

π 那么,A2+B2+C2= ,这与三角形内角和为π 相矛盾. 2 所以假设不成立,又显然△A2B2C2 不是直角三角形, 所以△A2B2C2 是钝角三角形. 答案 钝角
3

12.(2015·镇江期中)在直角坐标系 xOy 中,一个质点从 A(a1,a2)出发沿图中路线依次经过

B(a3, a4), C(a5, a6), D(a7, a8), ?, 按此规律一直运动下去, 则 a2 013+a2 014+a2 015=________.

解析 由直角坐标系可知 A(1,1),B(-1,2),C(2,3),D(-2,4),E(3,5),F(-3, 6),即 a1=1,a2=1,a3=-1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=-2,a8=4,?, 由此可知, 所有数列偶数个都是从 1 开始逐渐递增的, 且都等于所在的个数除以 2, 则 a2 014 =1 007,每四个数中有一个负数,且为每组的第三个数,每组的第 1 个奇数和第 2 个奇 数互为相反数,且从-1 开始逐渐递减的,则 2 014÷4=503 余 2,则 a2 013=504,a2 015= -504,

a2 013+a2 014+a2 015=504+1 007-504=1 007.
答案 1 007 13.(2015·镇江三模)设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合,对于映射 f:V→V,a∈V,记 a 的象为 f(a),若映射 f:V→V 满足:对于 a,b∈V 及任意实数 λ ,μ 都有 f(λ a+μ b) =λ f(a)+μ f(b),则 f 称为平面 M 上的线性变换.现有下列命题: ①设 f 是平面 M 上的线性变换,a,b∈V,则 f(a+b)=f(a)+f(b); ②若 e 是平面 M 上的单位向量,对 a∈V,设 f(a)=a+e,则 f 是平面 M 上的线性变换; ③对 a∈V,设 f(a)=-a,则 f 是平面 M 上的线性变换; ④设 f 是平面 M 上的线性变换,a∈V,则对任意实数 k 均有 f(ka)=kf(a), 其中的真命题是________(写出所有真命题的序号). 解析 ①在 f(λ a+μ b)=λ f(a)+μ f(b)中,令 λ =μ =1,得 f(a+b)=f(a)+f(b), 故正确. ②因为 f(a)=a+e, 所以 f(λ a+μ b)=λ a+μ b+e, λ f(a)+μ f(b)=λ (a+e)+μ (b +e),不满足条件,故不是线性变换. ③因为 f(a)=-a,所以 f(λ a+μ b)=-λ a-μ b,λ f(a)+μ f(b)=-λ a-μ b,二 者相等,故是线性变换. ④在 f(λ a+μ b)=λ f(a)+μ f(b)中,令 λ =k,μ =0,得 f(ka)=kf(a),故正确。 答案 ①③④

ab,ab≥0, ? ? 14.(2015·无锡二模)任给实数 a,b,定义 a⊙b=?a 设函数 f(x)=ln x⊙x,若 ,ab<0, ? b ?
4

{an}是公比大于 0 的等比数列,且 a3=1,f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)=a1,则 a2 014= ________. ln x 解析 当 x∈(0,1)时,ln x<0,所以 f(x)=ln x⊙x= ;

x

当 x∈[1,+∞)时,ln x≥0,故 f(x)=ln x⊙x=xln x, ln x ? ? ,x∈(0,1), 故 f(x)=? x ? ?xln x,x∈[1,+∞). 1 1 因为{an}是公比大于 0 的等比数列,设公比为 q,又 a3=1,故数列的前四项为 2, ,1,

q

q

q.若公比 0<q<1,则 2>1, >1,则 f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)= 2ln 2+ ln +ln 1 q q q q q q
ln q 1 1 + = 2ln 2.

1

1

1

1

1 1

q

q

q

1 1 1 1 1 2 因为 f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)=a1,即 2ln 2= 2,解得 2=e,故 q = , q q q q e 1 1 1 1 2 若公比 q>1,则 2<1, <1,则 f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)=q ln 2+qln +ln 1+qln

q

q

q

q

q=q2ln 2=a1,因为 q>1,所以 2<1,故 q2ln 2<0,这与已知 a1= 2>0 相矛盾,故此情 q q q q
况不成立.若 q=1,a1=a2=a3=a4=1,f(1)=0,该情况也不成立. 综上,a2 014=a3×q 答案 e e
1006 2 011

1

1

1

1

e = 1 006. e

5


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