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18学年高二数学寒假作业第09天导数的几何意义的应用理新人教A版


第 09 天 导数的几何意义的应用 难易程度:★★★☆☆ 高考频度:★★★☆☆ 典例在线 设函数 f(x)=ax+ (1)求 f(x)的解析式; (a,b∈Z),曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=3. (2)证明:曲线 y=f(x)上任意一点处的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围成的三角形的面积为定值,并求出 此定值. 【参考答案】 (1)f(x)=x+ ; (2)见试题解析. 【试题解析】(1)求导可得 f '(x)=a- , 1 ? 2 a ? ?3 ? 2?b ? ? ?a ? 1 2 ? 0 ? (2 ? b) 由题意,可得 ? ,解得 因为 a,b∈Z,所以 故 f(x)=x+ . , 或 . (2)在曲线上任取一点(x0,x0+ ), y? 由 f '(x0)=1,知过此点的切线方程为 2 x0 ? x0 ? 1 1 ? [1 ? ] ? x ? x0 ? x0 ? 1 ( x0 ? 1)2 . 令 x=1,得 y= , 所以切线与直线 x=1 的交点为(1, 令 y=x,得 y=2x0-1, ); 所以切线与直线 y=x 的交点为(2x0-1,2x0-1). 显然直线 x=1 与直线 y=x 的交点为(1,1). 1 从而所围成的三角形的面积为 | 所以所围成的三角形的面积为定值 2. -1||2x0-1-1|= | ||2x0-2|=2, 【名师点睛】 (1)求曲线在某点处的切线时,要注意切点既是曲线上的点也是切线上的点,即切点的坐标 同时适合曲线方程和切线方程,利用这个方法可以确定一些未知的常数. (2)函数 y ? f ( x) 在某点处的导数、曲线 y ? f ( x) 在某点处切线的斜率和倾斜角,这三者是可以相互转 化的. (3)当曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线垂直于 x 轴时,函数在该点处的导数不存在,切线方程是 x ? x0 . (4)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程是 y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ;求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解. 学霸推荐 1.若直线 A. C. 2.已知曲线 (1)求曲线 (2)求曲线 与曲线 相切,则常数 B. D. 及曲线 在 P 点处的切线方程; 过 P 点的切线方程. 上一点 P(1,-2). 1.【答案】C 【解析】设切点为( ?1 ? ?a ),则 ? x0 ? y ?1 ? 0 2.【解析】(1)由 f(x)=x3-3x 得,f′(x)=3x2-3. 过点 P 且以 P(1,-2)为切点的直线的斜率 f′(1)=0, 2 ∴所求切线方程为 y=-2. 3

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