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2012学年下学期高二年级期末考试数学试卷(理科)

上海重点中学 2011-2012 学年下学期高二年级期末考试数学试卷(理科) 本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 抛物线 x2 ? y 的准线方程是 2x x 2. 方程 C24 的解为 ? C24 2 . . 3. 在 (3x ? 1)5 的展开式中,设各项的系数和为 a,各项的二项式系数和为 b,则 a = b . . 4. 若圆锥的侧面展开图是半径为 2、圆心角为 90?的扇形,则这个圆锥的全面积是 5. 某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋 友 1 本,则不同的赠送方法共有 种. 6. 将 4 个不同的球任意放入 3 个不同的盒子中,则每个盒子中至少有 1 个球的概率 为 . (结果用最简分数表示) ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? 7. 已知 F1 ? i ? 2 j ? 3k , F2 ? ?2i ? 3 j ? k , F3 ? 3i ? 4 j ? 5k ,若 F1 、 F2 、 F3 共同作用于一 个物体上,使物体从点 M 1(1,-2,1)移到点 M 2 (3,1,-2) ,则合力所做的功为 . 8. 抛物线 y 2 ? 4 x 的准线与 x 轴的交点为 K,抛物线的焦点为 F,M 是抛物线上的一点,且 | FM |? 2 | FK | ,则△MFK 的面积为 . 9. 在圆周上有 10 个等分点,以这些点为顶点,每 3 个点可以构成一个三角形,如果随机选 择了 3 个点,刚好构成直角三角形的概率是 . 10. 如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第_____行中从左至右第 14 与第 15 个 数的比为 2 : 3 . 11. 边长分别为 a 、 b 的矩形,按图中所示虚线剪裁后,可将两个小矩形拼接成一个正四棱 锥的底面,其余恰好拼接成该正四棱锥的 4 个侧面,则 b 的取值范围是 a . 1 12. 已知平面 α 截一球 O 得圆 M,圆 M 的半径为 r,圆 M 上两点 A、B 间的弧长为 球心 O 到平面 α 的距离为 r,则 A、B 两点间的球面距离为 2 3 ?r 2 ,又 . 4 13. 若对于任意实数 x ,都有 x4 ? a0 ? a1 ? x ? 2? ? a2 ? x ? 2? ? a3 ? x ? 2? ? a4 ? x ? 2? ,则 a 3 的值为 . 14. 给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色. 当 n ? 4 时,在所有不同的着色方案中, 黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示: 由此推断,当 n ? 6 时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有 个黑色正方形相邻的着色方案共有 种. (直接用数字作答) 种,至少有两 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 经过原点且与抛物线 y ? ( x ? 1)2 ? A. 0 B. 1 3 只有一个公共点的直线有多少条? ( 4 C. 2 D. 3 ) 16. 正四面体 ABCD 的表面积为 S ,其中四个面的中心分别是 E 、 F 、 G 、 H .设四面体 EFGH 的表面积为 T ,则 A. T 等于 S 1 9 C. ( ) 4 9 B. 1 4 D. 1 3 17. 甲乙两人一起去游园,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览,每 个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ( ) 2 A. 1 36 B. 1 9 C. 5 36 D. 1 6 18. 给出下列四个命题: (1) 若平面 ? 上有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? // ? ; (2) 两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线; (3) 两条异面直线中的一条平行于平面?,则另一条必定不平行于平面?; (4) a、b 为异面直线,则过 a 且与 b 平行的平面有且仅有一个. 其中正确命题的个数是 A. 0个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 ( ) 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分) 已知矩形 ABCD 内接于圆柱下底面的圆 O , PA 是圆柱的母线,若 AB ? 6 , AD ? 8 , 异面直线 PB 与 CD 所成的角为 arctan 2 ,求此圆柱的体积. 20. (本题满分 14 分)本题共有 4 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 3 分,第 3 小题满分 4 分,第 4 小题满分 4 分. m 个元素环绕在一条封闭曲线上的排列,称为环状排列.已知 m 个不同元素的环状排 列的所有种数为 (m ? 1)! .请利用此结论来解决下列问题,要求列式并给出计算结果. (1)从 10 个不同的元素中选出 8 个元素的环状排列的所有种数为多少? (2)某班 8 个班干部中有 1 个班长,2 个副班长,现在 8 个干部围坐一张圆桌讨论班级事 务,则分别满足下列条件的此 8 人的坐法有多少种? (i)班长坐在两个副班长中间; (ii)两个副班长不能相邻而坐; (iii)班长有自己的固定座位. 21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 . 3 如图,在四棱锥 P? ABCD 中,底面 ABCD 是 矩 形 , PA ? 平 面 A B C D, AP ? AB ? 2 , AD ? 4 , E、F 依次是 PB、PC 的中点. (1)求直线 EC 与平面 PAD 所成