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职高数学教案


§ 6.1 【教学目标】
知识目标: (1)了解数列的有关概念;

数列的概念

(2)掌握数列的通项(一般项)和通项公式. 能力目标: 通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力.

【教学重点】
利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项.

【教学难点】
根据数列的前若干项写出它的一个通项公式.

【教学设计】
通过几个实例讲解数列及其有关概念:项、首项、项数、有穷数列和无穷数列.讲解数 列的通项(一般项)和通项公式. 从几个具体实例入手,引出数列的定义.数列是按照一定次序排成的一列数. 学生往往不 易理解什么是“一定次序”.实际上,不论能否表述出来,只要写出来,就等于给出了“次 序”,比如我们随便写出的两列数:2,1,15,3,243,23 与 1,15,23,2,243,3,就 都是按照“一定次序”排成的一列数, 因此它们就都是数列, 但它们的排列“次序”不一样, 因此是不同的数列.

【教学过程】
创设情境 兴趣导入 将正整数从小到大排成一列数为 1,2,3,4,5,?. 将 2 的正整数指数幂从小到大排成一列数为 2, 22 , 23 , 24 , 25 ,? . 当 n 从小到大依次取正整数时, cos n? 的值排成一列数为 (1 ) (2 ) (3 )

-1,1,-1,1,?.

取无理数 ? 的近似值(四舍五入法) ,依照有效数字的个数,排成一列数为 3,3.1,3.14,3.141,3.1416,?. *动脑思考 探索新知 【新知识】按照一定的次序排成的一列数叫做数列.数列中的每一个数叫做数列的项.从开始的项起,按 照自左至右的排序,各项按照其位置依次叫做这个数列的第 1 项(或首项) ,第 2 项,第 3 项,?,第 n 项,?,其中反映各项在数列中位置的数字 1,2,3,?,n,分别叫做对应的项的项数. 只有有限项的数列叫做有穷数列,有无限多项的数列叫做无穷数列.
1

(4)

【新知识】 由于从数列的第一项开始,各项的项数依次与正整数相对应,所以无穷数列的一般形式可以写作

a1 , a2 , a3 ,?, an, ?. (n ? N?)
简记作{ an }.其中,下角码中的数为项数, a1 表示第 1 项, a2 表示第 2 项,?.当 n 由小至大依次取正 整数值时, an 依次可以表示数列中的各项,因此,通常把第 n 项 an 叫做数列{ an }的通项或一般项. *运用知识 强化练习 1.说出生活中的一个数列实例. 2.数列“1,2,3,4,5”与数列“5 ,4, 3,2,1 ”是否为同一个数列? 3.设数列 {an } 为“-5,-3,-1,1,3, 5,?” ,指出其中 a3 、 a6 各是什么数? *创设情境 兴趣导入 【观察】 6.1.1 中的数列(1)中,各项是从小到大依次排列出的正整数. 可以看到,每一项与这项的项数恰好相同.这个规律可以用
a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? 3 ,?,

an ? n (n ? N* ) 表示.

利用这个规律,可以方便地写出数列中的任意一项,如 a11 ? 11 , a20 ? 20 . 6.1.1 中的数列(2)中,各项是从小到大顺次排列出的 2 的正整数指数幂.
a1 ? 2 , a2 ? 22 , a3 ? 23 ,?,

可以看到,各项的底都是 2,每一项的指数恰好是这项的项数.这个规律可以用

an ? 2n (n ? N* )

表示,利用这个规律,可以方便地写出数列中的任意一项,如 a11 ? 211 , a20 ? 220 . *动脑思考 探索新知 【新知识】一个数列的第 n 项 an ,如果能够用关于项数 n 的一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数
1

列的通项公式. 数列(1)的通项公式为 an ? n ,可以将数列(1)记为数列{n};数列(2)的通项公式为 an ? 2n , 可以将数列(2)记为数列 {2n } . *巩固知识 典型例题 例 1 设数列{ an }的通项公式为 an ? 分析
1 ,写出数列的前 5 项. 2n 知道数列的通项公式,求数列中的某一项时,只需将通项公式中的 n 换成该项的项数,并计算

2

出结果. 例 2 根据下列各无穷数列的前 4 项,写出数列的一个通项公式. (1)5,10,15,20,?; (2) , , , , ?;

1 1 1 1 2 4 6 8

(3)?1,1,?1,1,?.

分析 分别观察分析各项与其项数之间的关系,探求用式子表示这种关系.

【注意】由数列的有限项探求通项公式时,答案不一定是唯一的.例如, an ? (?1)n 与 an ? cos n? 都是例 2 (3)中数列“?1,1,?1,1,?. ”的通项公式. 【知识巩固】 例 3 判断 16 和 45 是否为数列{3n+1}中的项,如果是,请指出是第几项. 分析 如果数 a 是数列中的第 k 项,那么 k 必须是正整数,并且 a ? 3k ? 1 . *运用知识 强化练习 1. 根据下列各数列的通项公式,写出数列的前 4 项: (1) an ? 3n ? 2 ; (2) an ? (?1) n ? n .

2.根据下列各无穷数列的前 4 项,写出数列的一个通项公式: (1)?1,1,3,5,?;
1 1 1 1 (2) ? , , ? , ,?; 9 12 3 6

(3)

1 3 5 7 , , , ,?. 2 4 6 8

3. 判断 12 和 56 是否为数列 {n 2 ? n} 中的项,如果是,请指出是第几项. *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题:数列、项、项数分别是如何定义的? *归纳小结 强化思想 利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项.

*继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 6.1 A 组(必做) ;6.1 B 组(选做) (3)实践调查:用发现的眼睛寻找生活中的数列实例

教学后记:例 1 和例 3 是基本题目,前者是利用通项公式写出数列中的项;后者是利用通项 公式判断一个数是否为数列中的项,是通项公式的逆向应用. 例 2 是巩固性题目,指导学生分析完成.要列出项数与该项的对应关系,不能泛泛而谈, 采用对应表的方法比较直观,降低了难度,学生容易接受.
3

§6.2 【教学目标】
知识目标: (1)理解等差数列的定义; (2)理解等差数列通项公式.

等差数列(一)

4

能力目标: 通过学习等差数列的通项公式,培养学生处理数据的能力.

【教学重点】等差数列的通项公式. 【教学难点】等差数列通项公式的推导. 【教学过程】
*揭示课题 6.2 等差数列. *创设情境 兴趣导入 【观察】 将正整数中 5 的倍数从小到大列出,组成数列: 5,10,15,20,?. 将正奇数从小到大列出,组成数列: 1,3,5,7,9,?. 请观察数列中相邻两项之间的关系 *动脑思考 探索新知 如果一个数列从第 2 项开始,每一项与它前一项的差都等于同一个常数,那么,这个数列叫做等 差数列.这个常数叫做等差数列的公差,一般用字母 d 表示. 由定义知,若数列 ?an ? 为等差数列, d 为公差,则 an?1 ? an ? d ,即 (2) (1)

an?1 ? an ? d
*巩固知识 典型例题

(6.1)

例1 已知等差数列的首项为 12,公差为?5,试写出这个数列的第 2 项到第 5 项. *运用知识 强化练习 1. 2. 已知 ?an ? 为等差数列, a5 ? ?8 ,公差 d ? 2 ,试写出这个数列的第 8 项 a8 . 写出等差数列 11,8,5,2,?的第 10 项.

*创设情境 兴趣导入 你能很快地写出例 1 中数列的第 101 项吗? *动脑思考 探索新知 设等差数列 ?an ? 的公差为 d,则 a1 ? a1 ,
5

a2 ? a1 ? d ,
a3 ? a2 ? d ? ?a1 ? d ? ? d ? a1 ? 2d , a4 ? a3 ? d ? ?a1 ? 2d ? ? d ? a1 ? 3d ,
. . . . . . 依此类推,通过观察可以得到等差数列的通项公式

an ? a1 ? ? n ? 1? d .
【想一想】

(6.2)

等差数列的通项公式中,共有四个量: an 、 a1 、 n 和 d ,只要知道了其中的任意三个量,就可以 求出另外的一个量. 针对不同情况,应该分别采用什么样的计算方法? *巩固知识 典型例题 例 2 求等差数列 ? 1,5,11 . .的第 50 项. ,17, . 例 3 在等差数列 ?an ? 中, a100 ? 48, 公差 d ?

1 , 求首项 a1. 3

1 分析:本题目初看是知道 2 个条件,实际上是 3 个条件: n ? 100 , an ? 48, d ? . 3

例 4

小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人在年龄恰好构成一个等差数列,他们三人的年龄之和

为 120 岁,爷爷的年龄比小明年龄的 4 倍还多 5 岁,求他们祖孙三人的年龄. 分析 知道三个数构成等差数列,并且知道这三个数的和,可以将这三个数设为 a ? d , a , a ? d ,

这样可以方便地求出 a ,从而解决问题. 【注意】 将构成等差数列的三个数设为 a ? d , a , a ? d ,是经常使用的方法.

*运用知识 强化练习 练习 6.2.2

*归纳小结 强化思想 等差数列的通项公式

an ? a1 ? ? n ? 1? d .

*继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材

6

(2)书面作业:教材习题 6.2(必做) ;学习指导 6.3(选做) (3)实践调查:寻找生活中等差数列的实例

教学后记
本节的主要内容是等差数列的定义、 等差数列的通项公式.重点是等差数列的定义、 等 差数列的通项公式;难点是通项公式的推导.等差数列的定义中,应特别强调“等差”的特 点: an?1 ? an ? d (常数).例 1 是基础题目,有助于学生进一步理解等差数列的定义. 教材中等差数列的通项公式的推导过程实际上是一个无限次迭代的过程,所用的归纳方 法是不完全归纳法.因此,公式的正确性还应该用数学归纳法加以证明.例 2 是求等差数列的 通项公式及其中任一项的巩固性题目 ,注意求公差的方法.等差数列的通项公式中含有四个 量: a1 , d , n, an , 只要知道其中任意三个量,就可以求出另外的一个量.

§ 6.2 【教学目标】
知识目标: 理解等差数列通项公式及前 n 项和公式. 能力目标:

等差数列

通过学习前 n 项和公式,培养学生处理数据的能力.

【教学重点】等差数列的前 n 项和的公式.
7

【教学难点】等差数列前 n 项和公式的推导. 【教学设计】
本节的主要内容是等差数列的前 n 项和公式,等差数列应用举例.重点是等差数列的前

n 项和公式;难点是前 n 项和公式的推导以及知识的简单实际应用.
等差数列前 n 项和公式的推导方法很重要,所用方法叫逆序相加法,应该让学生理解并 学会应用.等差数列中的五个量 a1 、d 、n 、an 、S n 中,知道其中三个,可以求出其余两个, 例 5 和例 6 是针对不同情况,分别介绍相应算法. 例 7 将末项看作是首项的思想是非常重要的,以这类习题作为载体,对培养学生的创新 精神是十分重要的.

【教学过程】
*揭示课题 6.2 等差数列. *创设情境 兴趣导入 【趣味数学问题】数学家高斯在上小学的时候的故事。

*动脑思考 探索新知 从小到大排列的前 100 个正整数,组成了首项为 1,第 100 项为 100,公差为 1 的等差数列.小 高斯的计算表明,这个数列的前 100 项和为

?1 ? 100 ? ? 100 .
2
现在我们按照高斯的想法来研究等差数列的前 n 项和. 将等差数列 ?an ? 前 n 项的和记作 Sn .即
Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?2 ? an?1 ? an .

(1)

也可以写作
Sn ? an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a3 ? a2 ? a1 .

(2)

由于

a1 ? an ? a1 ? an ,
a2 ? an?1 ? ? a1 ? d ? ? ? an ? d ? ? a1 ? an ,

8

a3 ? an?2 ? ?a1 ? 2d ? ? ?an ? 2d ? ? a1 ? an ,
?? (1)式与(2)式两边分别相加,得

2Sn ? n ? a1 ? an ? ,
由此得出等差数列 ?an ? 的前 n 项和公式为 (6.3)
Sn ? n ? a1 ? an ? 2



即等差数列的前 n 项和等于首末两项之和与项数乘积的一半. 知道了等差数列 ?an ? 中的 a1 、n 和 an ,利用公式(6.3)可以直接计算 Sn . 将等差数列的通项公式 an ? a1 ? ?n ? 1?d 代入公式(6.3) ,得

Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? 2

d

(6.4)

知道了等差数列 ?an ? 中的 a1 、n 和 d ,利用公式(6.4)可以直接计算 Sn . 【想一想】 在等差数列 {an } 中, 知道了 a1 、 d、 n、an 、Sn 五个量中的三个量, 就可以求出其余的两个量. 针 对不同情况,应该分别采用什么样的计算方法? *巩固知识 典型例题 例 5 已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? ?8 , a20 ? 106 , 求 S 20 .

例 6 等差数列 ? 13,?9,?5,?1,3, ?的前多少项的和等于 50? 【想一想】例 6 中为什么将负数舍去? *运用知识 强化练习 练习 6.2.3 *巩固知识 典型例题 例7 某礼堂共有 25 排座位,后一排比前一排多两个座位,最后一排有 70 个座位,问礼堂共
9

有多少个座位? 【想一想】 比较本例题的两种解法,从中受到什么启发? 例 8 小王参加工作后, 采用零存整取方式在农行存款. 从元月份开始, 每月第 1 天存入银行 1000 元,银行以年利率 1.71%计息,试问年终结算时本金与利息之和(简称本利和)总额是多少(精确 到 0.01 元)? 【说明】年利率 1.71%,折合月利率为 0.1425%.计算公式为月利率=年利率÷12. 练习 6.2.4 *归纳小结 强化思想 结论: S n ?
n ? a1 ? an ? 2



Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? 2

d.

*继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 6.2(必做) ;学习指导 6.2(选做) (3)实践调查:运用等差数列求和公式解决生活中的一个实际问题

§ 6.3 【教学目标】
知识目标: (1)理解等比数列的定义; (2)理解等比数列通项公式. 能力目标:

等比数列

通过学习等比数列的通项公式,培养学生处理数据的能力.
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【教学重点】 【教学难点】 【教学设计】

等比数列的通项公式. 等比数列通项公式的推导.

本节的主要内容是等比数列的定义,等比数列的通项公式.重点是等比数列的定义、等 比数列的通项公式;难点是通项公式的推导. 等比数列与等差数列在内容上相类似, 要让学生利用对比的方法去理解和记忆, 并弄清 楚二者之间的区别和联系.等比数列的定义是推导通项公式的基础,教学中要给以足够的重 视.同时要强调“等比”的特点:

a n ?1 ? q (常数). an

【教学过程】
*揭示课题 6.3 等比数列. *创设情境 兴趣导入 【观察】某工厂今年的产值是 1000 万元,如果通过技术改造,在今后的 5 年内,每年的产值都比 上 一 年 增 加 10% , 那 么 今 年 及 以 后 5 年 的 产 值 构 成 下 面 的 一 个 数 列 ( 单 位 : 万 元 ) :

1000,1000 ?1.1,1000 ?1.12 ,1000 ?1.13 ,1000 ?1.14 ,1000 ?1.15.
不难发现,从第 2 项开始,数列中的各项都是其前一项的 1.1 倍,即从第 2 项开始,每一项 与它的前一项的比都等于 1.1. *动脑思考 探索新知 【新知识】如果一个数列从第 2 项开始,每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数 列叫做等比数列.这个常数叫做这个等比数列的公比,一般用字母 q 来表示. 由定义知,若 ?an ? 为等比数列,q 为公比,则 a1 与 q 均不为零,且有
an ?1 ? q ,即 an

an?1 ? an ? q .
*巩固知识 典型例题

(6.5)

例1 在等比数列 {an } 中, a1 ? 5 , q ? 3 ,求 a2 、 a3 、 a4 、 a5 . 【试一试】你能很快地写出这个数列的第9项吗? *运用知识 强化练习 练习 6.3.1

*创设情境 兴趣导入如何写出一个等比数列的通项公式呢? *动脑思考 探索新知
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与等差数列相类似,我们通过观察等比数列各项之间的关系,分析、探求规律. 设等比数列 ?an ? 的公比为 q,则

a2 ? a1 ? q, a3 ? a2 ? q ? ? a1 ? q ? ? q ? a1 ? q 2 , a4 ? a3 ? q ? ? a1 ? q 2 ? ? q ? a1 ? q 3 ,
?? 【说明】

a1 ? a1 ?1 ? a1 ? q0
(6.6)

依此类推,得到等比数列的通项公式: an ? a1 ? q n?1 .

知道了等比数列 ?an ? 中的 a1 和 q ,利用公式(6.6) ,可以直接计算出数列的任意一项. 【想一想】 等比数列的通项公式中,共有四个量: an 、 a1 、 n 和 q ,只要知道了其中的任意三个量,就 可以求出另外的一个量. 针对不同情况,应该分别采用什么样的计算方法? *巩固知识 典型例题 例 2 求等比数列 ? 1,

1 1 1 ,? , , ? 的第 10 项. 2 4 8

1 例 3 在等比数列 ?an ? 中, a5 ? ?1 , a 8 ? ? ,求 a13 . 8

【注意】 本例题求解过程中,通过两式相除求出公比的方法是研究等比数列问题的常用方法. 【想一想】在等比数列 ?an ? 中, a7 ? 【知识巩固】 例 4 小明、小刚和小强进行钓鱼比赛,他们三人钓鱼的数量恰好组成一个等比数列.已知他 们三人一共钓了 14 条鱼,而每个人钓鱼数量的积为 64. 并且知道,小强钓的鱼最多,小明钓的 鱼最少,问他们三人各钓了多少条鱼? 分析 知道三个数构成等比数列,并且知道这三个数的积,可以将这三个数设为
1 1 , q ? .求 a3 时,你有没有比较简单的方法? 3 9

a , a, aq ,这 q

样可以方便地求出 a ,从而解决问题. 【注意】 将构成等比数列的三个数设为

a , a, aq ,是经常使用的方法. q
12

*运用知识 强化练习 1.求等比数列

2 ,2,6, ? .的通项公式与第 7 项. 3
1 , a5 ? ?5 ,判断 ? 125 是否为数列中的项,如果是,请指出是第 25

2.在等比数列 ?an ? 中,a2 ? ? 几项. *理论升华 整体建构 等比数列的通项公式是什么 结论: an ? a1 ? q n?1 . *归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 6.3A 组(必做) ;教材习题 6.3B 组(选做) (3)实践调查:用等比数列的通项公式解决生活中的一个问题 【教师教学后记】 例 1 是基础题目,有助于学生进一步理解等比数列的定义.与等差数列一样, 教材中等比 数列的通项公式的归纳过程实际上也是不完全归纳法, 公式的正确性也应该用数学归纳法加 以证明, 这一点不需要给学生讲.等比数列的通项公式中含有四个量:a1 ,q ,

n , an , 只

有知道其中任意三个量,就可以求出另外的一个量.教材中例 2、例3都是这类问题.注意: 例 3 中通过两式相除求公比的方法是研究等比数列问题常用的方法. 从例 4 可以看到,若三个数成等比数列,则将这三个数设成是

a , a, aq 比较好,因为这 q

样设了以后,这三个数的积正好等于 a 3 , 很容易将 a 求出.

§ 6.3 【教学目标】
知识目标: 理解等比数列前 n 项和公式. 能力目标:

等比数列

通过学习等比数列前 n 项和公式,培养学生处理数据的能力.

【教学重点】等比数列的前 n 项和的公式.
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【教学难点】等比数列前 n 项和公式的推导. 【教学设计】
本节的主要内容是等比数列的前 n 项和公式,等比数列应用举例.重点是等比数列的前

n 项和公式;难点是前 n 项和公式的推导、求等比数列的项数 n 的问题及知识的简单实际
应用. 等比数列前 n 项和公式的推导方法叫错位相减法,这种方法很重要,应该让学生理解并 学会应用.等比数列的通项公式与前 n 项和公式中共涉及五个量: a1、q、n、an、S n ,只 要知道其中的三个量,就可以求出另外的两个量. 教材中例 6 是已知 a1、an、S n 求 q 、 n 的例子.将等号两边化成同底数幂的形式,利用 指数相等来求解 n 的方法是研究等比数列问题的常用方法.

【教学过程】
*揭示课题 6.3 等比数列. *创设情境 兴趣导入 【趣味数学问题】传说国际象棋的发明人和国王的故事。

*动脑思考 探索新知 下面来研究求等比数列前 n 项和的方法. 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an.

(1)

由于 an ? q ? an?1 , 故将(1)式的两边同时乘以 q,得
qSn ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? an ? an?1.

(2)

用(1)式的两边分别减去(2)式的两边,得

?1 ? q ? Sn ? a1 ? an?1 ? a1 ? a1 ? q n ? a1 ?1 ? q n ?.(3)
当 q ? 1 时,由(3)式得等到数列 ?an ? 的前 n 项和公式

a1(1 ? q n ) Sn ? (q ? 1). 1? q

(6.7)

知道了等比数列 ?an ? 中的 a1 、n 和 q(q ? 1), ,利用公式(6.7)可以直接计算 Sn .
14

由于

a1q n ? an?1 ? an q,
a1 ? an q (q ? 1). 1? q
(6.8)

因此公式(6.7)还可以写成 Sn ?

当 q ? 1 时,等比数列的各项都相等,此时它的前 n 项和为 S n ? na1 (6.9) 【想一想】 在等比数列 {an } 中,知道了 a1 、q、n、 a n 、 Sn 五个量中的三个量,就可以求出其 余的两个量.针对不同情况,应该分别采用什么样的计算方法? 【注意】 在求等比数列的前 n 项和时,一定要判断公比 q 是否为1. *巩固知识 典型例题 例 5 写出等比数列

1,?3,9,?27,?的前 n 项和公式并求出数列的前 8 项的和.

例 6 一个等比数列的首项为 由几项组成.

9 4 211 ,末项为 ,各项的和为 ,求数列的公比并判断数列是 4 9 36

【注意】 例 6 中求项数 n 时,将等号两边化成同底数幂的形式,利用指数相等来求解.这种方 法是研究等比数列问题的常用方法.

现在我们看一看本节趣味数学内容中,国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺? 国王承诺奖赏的麦粒数为
S64 ? 1(1 ? 264 ) ? 264 ? 1 ? 1.84 ? 1019 , 1? 2

据测量,一般麦子的千粒重约为 40g ,则这些麦子的总质量约为 7.36×1017 g,约合 7360 多 亿吨.我国 2000 年小麦的全国产量才约为 1.14 亿吨,国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢! *运用知识 强化练习 *巩固知识 典型例题 【趣味问题】设报纸的厚度为 0.07 毫米,你将一张报纸对折 5 次后的厚度是多少?能否对折 50 次,为什么? 【小知识】复利计息法:将前一期的本金与利息的和(简称本利和)作为后一期的本金来计算利 息的方法.俗称“利滚利” . 例 7 银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息.小王从银行贷款 20 万元,贷款期限为 5 年, 年利率为 5.76%, 如果 5 年后一次性还款,那么小王应偿还银行多少钱?(精确到 0.000001
15

练习 6.3.3

万元)

*运用知识 强化练习 张明计划贷款购买一部家用汽车,贷款 15 万元,贷款期为 5 年,年利率为 5.76%,5 年后应 偿还银行多少钱? *归纳小结 强化思想 等比数列的前 n 项和公式是什么?

a1 (1 ? q n ) a ? an q 结论: S n ? (q ? 1). S n ? 1 (q ? 1). 1? q 1? q

*继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 6.3 组(必做) ; (3)实践调查:运用等比数列求和公式解决现实生活中的实际问题. 【教师教学后记】

第六章小结与复习

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§7.1 【教学目标】
知识目标:

平面向量的概念及线性运算

(1)了解向量、向量的相等、共线向量等概念; (2)掌握向量、向量的相等、共线向量等概念. 能力目标: 通过这些内容的学习,培养学生的运算技能与熟悉思维能力.

【教学重点】向量的线性运算. 【教学难点】已知两个向量,求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件. 【教学设计】
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从“不同方向的力作用于小车,产生运动的效果不同”的实际问题引入概念. 通过生活实例, 借助于位移来引入向量的加法运算. 向量的加法有三角形法则与平行四 边形法则. 向量的减法是在负向量的基础上,通过向量的加法来定义的.即 a-b=a+(-b),它可以通 过几何作图的方法得到,即 a-b 可表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量.作向量 减法时,必须将两个向量平移至同一起点. 实数 ? 乘以非零向量 a,是数乘运算,其结果记作 ? a ,它是一个向量,其方向与向量 a 相同,其模为 a 的 ? 倍。

【教学过程】
*揭示课题 7.1

平面向量的概念及线性运算

*创设情境 兴趣导入 如图 7-1 所示,用 100N 的力,按照不同的方向拉一辆车,效果一样吗?


图 7-1 *动脑思考 探索新知 【新知识】 在数学与物理学中,有两种量.只有大小,没有方向的量叫做数量(标量) ,例如质量、 时间、温度、面积、密度等.既有大小,又有方向的量叫做向量(矢量) ,例如力、速度、位 移等.
??? ? 平面上带有指向的线段 (有向线段) 叫做平面向量, 以 A 为起点, B 为终点的向量记作 AB . 也 ? 可以使用小写英文字母,印刷用黑体表示,记作 a;手写时应在字母上面加箭头,记作 a . ???? ? ??? ? 向量的大小叫做向量的模.向量 a, AB 的模依次记作 a , AB .

模为零的向量叫做零向量.记作 0,零向量的方向是不确定的. 模为 1 的向量叫做单位向量. *巩固知识 典型例题 例 1 一架飞机从 A 处向正南方向飞行 200km,另一架飞机从 A 处朝北偏东 45°方向飞行 200km, 两架飞机的位移相同吗?分别用有向线段表示两架飞机的位移. *运用知识 强化练习 练习 7.1.1

18

*创设情境 兴趣导入
??? ? ???? ? ???? 观察图 7?4 中的向量 AB 与 MN ,它们所在的直线平行,两个向量的方向相同;向量 CD 与

??? ? PQ 所在的直线平行,两个向量的方向相反.

*动脑思考 探索新知 【新知识】方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量.向量 a 与向量 b 平行记 作 a //b. 规定:零向量与任何一个向量平行. 由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上, 因此相互平行的向量又叫做共线向量. 【想一想】图 7?4 中,哪些向量是共线向量? *动脑思考 探索新知
??? ? ???? ? ? ???? ??? 【新知识】图 7?4 中的平行向量 AB 与 MN ,方向相同,模相等;平行向量 HG 与 TK ,方

向相反,模相等. 我们所研究的向量只有大小与方向两个要素. 当向量 a 与向量 b 的模相等并且方向相同时, 称向量 a 与向量 b 相等,记作 a= b .也就是说,向量可以在平面内任意平移,具有这种性质 的向量叫做自由向量. 与非零向量 a 的模相等,且方向相反的向量叫做向量 a 的负向量,记作 ?a . 规定:零向量的负向量仍为零向量. *巩固知识 典型例题 例 2 在平行四边形 ABCD 中(图 7-5) ,O 为对角线交点.
??? ? (1)找出与向量 DA 相等的向量;
???? (2)找出向量 DC 的负向量;
D O A B C

??? ? (3)找出与向量 AB 平行的向量.

图 7-5

分析 要结合平行四边形的性质进行分析.两个向量相等,它们必须是方向相同,模相等; 两个向量互为负向量,它们必须是方向相反,模相等;两个平行向量的方向相同或相反. *运用知识 强化练习 *创设情境 兴趣导入 王涛同学从家中(A 处)出发,向正南方向行走 500 m 到达超市(B 处) ,买了文具后,又
19

练习 7.1.1

沿着北偏东 60°角方向行走 200 m 到达学校(C 处) (如图 7-6) .王涛同学这两次位移的总效 果是从家(A 处)到达了学校(C 处) .
A

500m

C 200m

B

图7-6

*动脑思考 探索新知

??? ? ? ??? ???? ??? ? ???? ??? ? 位移 AC 叫做位移 AB 与位移 BC 的和,记作 AC = AB + BC .
B

a b A

a a+b

b C

图7-7

一般地,设向量 a 与向量 b 不共线,在平面

??? ? ??? ? ???? 上任取一点 A(如图 7-6),依次作 AB =a, BC =b,则向量 AC 叫做向量 a 与向量 b 的和,记作

a+b ,即

??? ? ??? ? ???? a+b = AB + BC = AC

(7.1)

求向量的和的运算叫做向量的加法.上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则. 观察图 7-7 可以看到: 依照三角形法则进行向量 a 与向量 b 的加法运算, 运算的结果仍然 是向量,叫做 a 与 b 的和向量.其和向量的起点是向量 a 的起点,终点是向量 b 的终点. 【做一做】给出两个不共线的向量 a 和 b,画出它们的和向量. 【想一想】 (1)a+b 与 b+a 相等吗?请画出图来说明. (2)如果向量 a 和向量 b 共线,如何画出它们的和向量?

20

*动脑思考 探索新知
? ???? ??? 如图 7-9 所示, ABCD 为平行四边形,由于 AD = BC ,根据三角形法则得

D

C

??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? AB + AD = AB + BC = AC

A 图 7-9

B

???? 这说明,在平行四边形 ABCD 中, AC 所表示的向量就是

??? ? ???? AB 与 AD 的和.这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则.

平行四边形法则不适用于共线向量,可以验证,向量的加法具有以下的性质: (1)a+0 = 0+a = a; a+(?a)= 0; (2)a+b=b+a; (3) (a+b)+ c = a +(b+c) . *巩固知识 典型例题 例 3 一艘船以 12 km/h 的速度航行,方向垂直于河岸,已知水流速度为 5 km/h,求该船的 实际航行速度. *例 4 用两条同样的绳子挂一个物体(图 7-11) .设物体的重力为 k,两条绳子与垂线的

夹角为 ? ,求物体受到沿两条绳子的方向的拉力 F1 与 F2 的大小. 分析 由于两条同样的绳子与竖直垂线所成的角都是 ? ,所以 F1 ? F2 .解决问题不考虑

其它因素,只考虑受力的平衡,所以 F1 ? F2 ? ?k . 所以 【想一想】根据例题 4 的分析,判断在单杠上悬挂身体时(如图 7-12),两臂成什么角度时, 双臂受力最小? *运用知识 强化练习 练习 7.1.2

*创设情境 兴趣导入 *动脑思考 探索新知

在进行数学运算的时候,减去一个数可以看作加上这个数的相反数.

与数的运算相类似,可以将向量 a 与向量 b 的负向量的和定义为向量 a 与向量 b 的差.即 a ?b = a+(?b).
21

??? ? ??? ? 设 a =OA ,b ? OB ,则

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? OB ? OA ? (?OB)= OA ? BO ? BO ? OA ? BA .

? ??? ? ??? ? ??? OA ?OB = BA

(7.2)

观察图 7-13 可以得到:起点相同的两个向量 a、 b,其差 a-b 仍然是一个向量,叫做 a 与 b 的差向量,其起点是减向量 b 的终点,终点是被减向量 a 的终点.
a -b B b O 图7-13 a A

*巩固知识 典型例题 例5 已知如图 7-14(1)所示向量 a 、b ,请画出向量 a-b.
O a b A b B

a

(1)
图7-14

(2)

【想一想】当 a 与 b 共线时,如何画出 a-b . *运用知识 强化练习
??? ? ???? ? ??? ? ??? 1.填空: (1) AB ? AD =_______________, (2) BC ? BA =______________,
???? ??? ? (3) OD ?OA =______________.

2.如图,在平行四边形
???? ???? 试用 a, b 表示向量 AC 、BD 、

??? ? ???? ABCD 中,设 AB = a, AD = b, ???? DB .

*创设情境 兴趣导入
???? ???? 观察图 7-15 可以看出,向量 OC 与向量 a 共线,并且 OC =3a.

22

a a O A a B 图 7?15 *动脑思考 探索新知 一般地,实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a,它的模为 | ?a |?| ? || a | 若 | ? a |? 0,则当 ? >0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同,当 ? <0 时, ? a 的方向与 a 的 方向相反. 由上面定义可以得到,对于非零向量 a、b,当 ? ? 0 时,有 一般地,有 0a= 0, ? 0 = 0 .
a ∥ b ? a ? ?b

a C

数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算, 容易验证, 对于任意向量 a, b 及任意实数 ?、? , 向量数乘运算满足如下的法则:

1a ? a , ?1?    ? ?1? a ? ?a ; ? 2?    ? ?? ? a ? ? ? ? a ? ? ? ? ?a ?;

?3?    ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a; ?4?  ? ? a ? b? ? ?a ? ?b.
【做一做】请画出图形来,分别验证这些法则. 向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似, 因此, 实数运算中的去括号、 移项、合并同类项等变形,可直接应用于向量的运算中.但是,要注意向量的运算与数的运算 的意义是不同的. *巩固知识 典型例题
??? ? ???? 例 6 在平行四边形 ABCD 中,O 为两对角线交点如图 7-16, AB =a, AD =b,试用 a, b
???? ???? 表示向量 AO 、 OD .

???? 1 ???? ???? 1 ??? ? 因为 AO ? AC , OD ? BD ,所以需要首先分别 2 2 ???? ???? 求出向量 AC 与 BD .

分析

图 7-16

1 1 1 1 例 6 中, a+ b 和? a+ b 都叫做向量 a,b 的线性 2 2 2 2

???? ???? 组合,或者说, AO 、 OD 可以用向量 a,b 线性表示.

23

一般地, ? a+ ? b 叫做 a, b 的一个线性组合(其中 ? , ? 均为系数) .如果 l = ? a+ ? b, 则称 l 可以用 a,b 线性表示. 向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算. *运用知识 强化练习 1.计算: (1)3(a?2 b)-2(2 a+b) ; (2)3 a?2(3 a?4 b)+3(a?b) .
??? ? ??? ? 1 2.设 a, b 不共线,求作有向线段 OA ,使 OA = (a+b) . 2

*理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题: 向量、向量的模、向量相等是如何定义的? 结论: 当一种量既有大小,又有方向,例如力、速度、位移等,这种量叫做向量(矢量) ???? ? ??? ? 向量的大小叫做向量的模.向量 a, AB 的模依次记作 a , AB . a 与向量 b 的模相等并且方向相同时,称向量 a 与向量 b 相等,记作 a= b . *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的?你的学习效果如何? 计算: ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? (1) AB + BC + CD ; (2) OB + BC + CA . *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 7.1 A 组(必做) ;7.1 B 组(选做) (3)实践调查:试着用向量的观点解释生活中的一些问题 【教师教学后记】

24

§7.2 平面向量的坐标表示

【教学目标】
知识目标: (1)了解向量坐标的概念,了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示; (2)了解两个向量平行的充要条件的坐标形式. 能力目标: 培养学生应用向量知识解决问题的能力.

【教学重点】向量线性运算的坐标表示及运算法则. 【教学难点】向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键. 【教学设计】
向量只有“模”与“方向”两个要素,为了研究方便,我们首先将向量的起点放置在坐 标原点(一般称为位置向量) .设 x 轴的单位向量为 i ,轴的单位向量为 j .如果点 A 的坐标 为( x , y ),则

??? ? OA ? xi ? yj , ??? ? ??? ? 将有序实数对( x , y )叫做向量 OA 的坐标.记作 OA =( x , y ) .

【教学过程】
*揭示课题

7.2 平面向量的坐标表示
*创设情境 兴趣导入
??? ? 【观察】设平面直角坐标系中,x 轴的单位向量为 i, y 轴的单位向量为 j, OA 为从原点出发的向

量,点 A 的坐标为(2,3)(图 7-17).则

???? ???? ? OM ? 2i ON ? 3 j .由平行四边形法则知 ??? ? ???? ? ???? OA ? OM ? ON ? 2i ? 3 j
图 7-17, 【说明】 可以看到,从原点出发的向量,其坐标在数值上与向量终点的坐标是相同的. *动脑思考 探索新知 【新知识】
25

???? ? 设 i, j 分别为 x 轴、y 轴的单位向量, (1)设点 M ( x, y ) ,则 OM ? xi + yj (如图 7-18(1)) ;
(2)设点 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) (如图 7-18(2)) ,则 y y M(x,y) j j O i 图 7-18
??? ? ??? ? ??? ? AB ? OB ? OA ? ( x2 i + y2 j ) ? ( x1i + y1 j ) ? ( x2 ? x1 )i ? ( y2 ? y1 ) j.

A

B

O x

i

x

由此看到,对任一个平面向量 a,都

存在着一对有序实数 ( x, y ) ,使得 a ? xi ? yj . 有序实数对 ( x, y ) 叫做向量 a 的坐标,记作 a ? ( x, y) .

???? ? 如图 7-18(1)所示,起点为原点,终点为 M ( x, y ) 的向量的坐标为 OM ? ( x, y). ??? ? 如图 7-18(2)所示,起点为 A( x1 , y1 ), 终点为 B( x2 , y2 ) 的向量坐标为 AB ? ( x2 ? x1,y2 ? y1 ).
*巩固知识 典型例题 例 1 如图 7-19 所示,用 x 轴与 y 轴上的单位向量 i、j 表示向量 a、b, 并写出它们的坐标.

图 7-19
??? ? ???? ? 【想一想】观察图 7-19, OA 与 OM 的坐标之间存在什么关系?

例2

??? ? ??? ? 已知点 P(2, ?1),Q(3, 2) ,求 PQ , QP 的坐标.

*运用知识 强化练习

26

??? ? ??? ? 1. 点 A 的坐标为(-2,3) ,写出向量 OA 的坐标,并用 i 与 j 的线性组合表示向量 OA .

2. 设向量 a ? 3i ? 4 j ,写出向量 a 的坐标.

??? ? ??? ? 3. 已知 A,B 两点的坐标,求 AB , BA 的坐标.
(1)

A(5,3), B(3, ?1);

(2) A(1, 2), B(2,1);

(3) A(4,0), B(0, ?3).

*创设情境 兴趣导入 【观察】 观察图 7-20,向量

??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? (5,3) , OP ? (3,0) , OM ? OA ? OP ? (8,3) .可以看到,两个向量和的坐标恰好是这两个向
量对应坐标的和.

图 7-20 *动脑思考 探索新知 【新知识】 设平面直角坐标系中, a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则
a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j ) ? ( x1 ? x2 )i ? ( y1 ? y2 ) j .

所以 类似可以得到

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) .

(7.6) (7.7) (7.8)

? a ? (? x1 , ? y1 ) .
*巩固知识 典型例题 例 3 设 a=(1,?2), b=(?2,3),求下列向量的坐标: (1) a+b , *运用知识 强化练习 已知向量 a, b 的坐标,求 a+b、 a?b、?2 a+3 b 的坐标.
27

(2) ?3 a,

(3) 3 a?2 b.

(1) a=(?2,3), b=(1,1); (2) a=(1,0), b=(?4, ?3);

(3) a=(?1,2), b=(3,0). *创设情境 兴趣导入 【问题】前面我们学习了公式(7.4) ,知道对于非零向量 a、b,当 ? ? 0 时,有 a ∥ b ? a ? ? b 如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢? *动脑思考 探索新知 【新知识】 设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 由 a ? ? b ,有 x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 , 于是 x1? y2 ? ? x2 y1 ,即
x1 y2 ? x2 y1 ? 0 .

由此得到,对非零向量 a、 b,设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 当 ? ? 0 时,有
a ∥ b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0.

(7.9)

*运用知识 强化练习 判断下列各组向量是否共线: (1) a=(2,3), b=(1,

3 ); 2

(2) a=(1, ?1) ,

b=(?2,2);

(3) a=(2,1) , b=(?1,2). *归纳小结 强化思想 向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标. 对非零向量 a、 b,设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 当 ? ? 0 时,有 a ∥ b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0. *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 7.2 A 组(必做) ;7.2 B 组(选做) (3)实践调查:寻找生活中的向量坐标实例 【教师教学后记】

28

§7.3 平面向量的内积

【教学目标】
知识目标: (1)了解平面向量内积的概念及其几何意义. (2)了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标: 通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力.

【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角. 【教学设计】
教材从某人拉小车做功出发,引入两个向量内积的概念.需要强调力与位移都是向量, 而功是数量.因此,向量的内积又叫做数量积. 在讲述向量内积时要注意: (1)向量的数量积是一个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量的夹角余 弦的乘积.其符号是由夹角决定; (2)向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.

【教学过程】
*揭示课题

7.3 平面向量的内积
*创设情境 兴趣导入
F

O

30 ?

s

图 7 —21

如图 7-21 所示, 水平地面上有一辆车, 某人用 100 N 的力, 朝着与水平线成 30 ? 角的方向拉小车, 使小车前进了 100 m.那么,这个人做了多少功?

*动脑思考 探索新知 【新知识】我们知道,这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积.

29

力 F 与位移 s 都是向量,而功 W 是一个数量,它等于由两个向量 F,s 的模及它们的夹角的余弦的乘 积,W 叫做向量 F 与向量 s 的内积,它是一个数量,又叫做数量积.
??? ? ??? ? 如图 7-23,设有两个非零向量 a,b,作 OA =a, OB =

b,由射线 OA 与 OB 所形成的角叫做向量 a 与向量 b 的夹角, 记作<a,b>. 两个向量 a,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积,记作 a·b, 即 由内积的定义可知 a·b=|a||b|cos<a,b>
O

A

a b
图 7-23 B

a·0=0, 0·a=0.

由内积的定义可以得到下面几个重要结果: (1) 当<a,b>=0 时,a·b=|a||b|;当<a,b>= 180 时,a·b=?|a||b|. (2) cos<a,b>=
a ?b . | a || b |
?

(3) 当 b=a 时,有<a,a>=0,所以 a·a=|a||a|=|a|2,即|a|= a ? a . (4) 当 ? a, b ?? 90? 时,a ? b,因此,a·b= a ? b cos90? ? 0, 因此对非零向量 a,b,有 a·b=0 ? a ? b. 可以验证,向量的内积满足下面的运算律: (1) a·b=b·a. (2) ( ? a )·b= ? (a·b)=a·( ? b). (3) (a+b)·c=a·c+b·c. 注意:一般地,向量的内积不满足结合律,即 a·(b·c)≠(a·b) ·c. 请结合实例进行验证. *巩固知识 典型例题 例 1 已知|a|=3,|b|=2, <a,b>= 60 ? ,求 a·b. 例 2 已知|a|=|b|= 2 ,a·b= ? 2 ,求<a,b>.

*运用知识 强化练习 1. 已知|a|=7,|b|=4,a 和 b 的夹角为 60 ? ,求 a·b. 2. 已知 a·a=9,求|a|. 3. 已知|a|=2,|b|=3, <a,b>= 30 ? ,求(2a+b)·b.
30

*动脑思考 探索新知 设平面向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),i,j 分别为 x 轴,y 轴上的单位向量,由于 i⊥j,故 i·j =0,又 | i |=|j|=1,所以 a·b=(x1 i+y1j)· (x2 i+y2j) = x1x2i?i+ x1y2i?j+ x2y1 i?j + y1y2j?j = x1x2 |j|2+ y1y2 |j|2 = x1x2+ y1y2. 这就是说,两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和,即 a·b= x1x2+y1y2

利用公式可以计算向量的模.设 a=(x,y),则 a ? a? a ? x 2 ? y 2 ,即 a ? 由平面向量内积的定义可以得到,当 a、b 是非零向量时, cos<a,b>=
a ?b x1 x2 ? y1 y2 = . 2 | a || b | x1 ? y12 x2 2 ? y2 2

x2 ? y 2

夹角公式 a·b=0 ? x1x2+ y1y2=0.

由于 a ? b ? a·b=0,由公式(7.11)可知 因此 a ? b ? x1x2+ y1y2=0.

利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题. *巩固知识 典型例题 例 3 求下列向量的内积: (1) a= (2,?3), b=(1,3); (2)a= (2, ?1), b=(1,2);(3)a= (4,2), b=(?2, ?3). 例 4 已知 a=(?1,2),b=(?3,1).求 a·b, |a|,|b|, <a,b>. 例 5 判断下列各组向量是否互相垂直: (1) a=(?2, 3), b=(6, 4); (2) a=(0, ?1), b=(1, ?2).

*运用知识 强化练习 1. 已知 a=(5, ?4),b=(2,3),求 a·b. 2. 已知 a=(1, 3 ),b=(0, 3 ),求<a,b>. 3. 已知 a=(2, ?3),b=(3,-4),c=(?1,3),求 a·(b+c). 4. 判断下列各组向量是否互相垂直: (1) a=(?2, ?3),b=(3, ?2); (2) a=(2,0),b=(0, ?3); 5. 求下列向量的模:
31

(3) a=(?2,1),b=(3,4).

(1) a=(2, ?3), (2) b=(8,6 ). *归纳小结 强化思想 平面向量内积的概念、几何意义? 两个向量 a,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积,记作 a·b, 即 a·b=|a||b|cos<a, b> (7.10)

a·b 的几何意义就是向量 a 的模与向量 b 在向量 a 上的投影的乘积. *继续探索 活动探究 (1)读书部分:阅读教材 (2)书面作业:教材习题 7.3 A 组(必做) ;7.3 B 组(选做) (3)实践调查:编写一道向量内积问题并解答. 【教师教学后记】

32

第七章小结与复习

33

§8.1 【教学目标】

两点间的距离与线段中点的坐标

知识目标:掌握两点间的距离公式与中点坐标公式; 能力目标: 用 “数形结合” 的方法, 介绍两个公式. 培养学生解决问题的能力与计算能力.

【教学重点】两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用 【教学难点】两点间的距离公式的理解 【教学设计】
两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式,教材采用“知识回顾”的方式 给出这两个公式. 讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解, 但讲解的重点 应放在公式的应用上.

【教学过程】
*揭示课题

8.1

两点间的距离与线段中点的坐标

*创设情境 兴趣导入【知识回顾】

平面直角坐标系中,设 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,则 PP 1 2 ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . *动脑思考 探索新知 【新知识】 我们将向量 PP 1、 P 2 之间的距离,记作 P 1P 2 ,则 1 2 的模,叫做点 P
???? ? ???? ? ???? ? 2 2 |P P 1P 2 |? P 1P 2 ? P 1P 2? 1P 2 ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )

???? ?

???? ?

(8.1)

*巩固知识 典型例题 例 1 求 A(?3,1) 、B(2,?5)两点间的距离. *运用知识 强化练习 1.请根据图形,写出 M、N、P、Q、R 各点的坐标. 2.在平面直角坐标系内,描出下列各点: A(1,1) 、 B(3, 4) 、 C (5,7) .并计算每两点之间的 距离. *创设情境 兴趣导入 【观察】 练习 8.1.1 第 2 题的计算结果显示, | AB |?| BC |? 而它们三个点的坐标之间恰好存在关系 3 ?
1 | AC | .这说明点 B 是线段 AB 的中点, 2

1? 5 1? 7 ,4? 2 2
34

*动脑思考 探索新知 【新知识】 设线段的两个端点分别为 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y2 ) ,线段的中点为 M ( x0 , y0 ) (如图 8-1) ,则

???? ? ???? ???? ? ???? AM ? ( x0 ? x1, y0 ? y1), MB ? ( x2 ? x0 , y2 ? y0 ), 由于 M 为线段 AB 的中点,则 AM ? MB, 即
? x0 ? x1 ? x2 ? x0 , 即? ( x0 ? x1, y0 ? y1 ) ? ( x2 ? x0 , y2 ? y0 ), ? y0 ? y1 ? y2 ? y0 ,
y 解得 x0 ?

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 . 2 2

B(x2, y2) M(x0, y0) A(x1, y1)

O

x

图 8-1 一般地,设 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 为平面内任意两点,则线段 P 1 P 2 中点 P 0 ( x0 , y0 ) 的坐标为
x0 ? x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 . 2 2

(8.2)

*巩固知识 典型例题 例 2 已知点 S(0,2) 、点 T(?6,?1) ,现将线段 ST 四等分,试求出各分点的坐标. 例 3 已知 ?ABC 的三个顶点为 A(1,0) 、 B (?2,1) 、 C (0,3) ,试求 BC 边上的中线 AD 的长度.

*运用知识 强化练习 1.已知点 A(2,3) 和点 B (8, ?3) ,求线段 AB 中点的坐标. 2.已知 ?ABC 的三个顶点为 A(2, 2) 、 B(?4,6) 、 C (?3, ?2) ,求 AB 边上的中线 CD 的长度. 3.已知点 Q(4, n) 是点 P(m, 2) 和点 R(3,8) 连线的中点,求 m 与 n 的值. *归纳小结 强化思想 两点间的距离公式、线段的中点坐标公式? 设平面直角坐标系内任意两点 P 则P (证 1 ( x1 , y1 ) 、P 2 ( x2 , y2 ) , 1 ( x1 , y1 ) 、P 2 ( x2 , y2 ) 的距离为 明略)
2 2 |P 1P 2 |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) .

35

设P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 为平面内任意两点,则线段 P 1 P 2 中点 P 0 ( x0 , y0 ) 的坐标为
x0 ? x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 . 2 2

*继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 8.1 A 组(必做) ;教材习题 8.1 B 组(选做) (3)实践调查:编写一道关于求中点坐标的问题并求解. 【教师教学后记】

§8.2

直线的方程
36

【教学目标】
知识目标: (1)理解直线的倾角、斜率的概念; (2)掌握直线的倾角、斜率的计算方法. 能力目标: 采用“数形结合”的方法,培养学生有条理地思考问题.

【教学重点】直线的斜率公式的应用. 【教学难点】直线的斜率概念和公式的理解. 【教学设计】
本教材采用的定义是: “当直线与 x 轴相交于点 P 时, 以点 P 为顶点, 始边指向 x 轴正方向, 终边落在直线上的最小正角叫做直线的倾角.当直线与 x 轴不相交(或重合)时,规定倾角 为零角” .这样就使得关于角的概念一致起来. 教材采用“数形结合”的方法,分成两种情况来研究斜率公式.教学中要注意这种分类 讨论问题的思考方法的教育,培养学生有条理的思考问题.要强调应用斜率公式的条件

x1 ? x2 .
【教学过程】
*揭示课题 8.2 直线的方程

*创设情境 兴趣导入 如图 8-3 所示,直线 l1 、 l2 、 l3 虽然都经过点 P,但是它们相对于 x 轴的倾斜程度是不同 的.

图 8-3 *动脑思考 探索新知 【新知识】 为了确定直线对 x 轴的倾斜程度,我们引入直线的倾角的概念. 设直线 l 与 x 轴相交于点 P,A 是 x 轴上位于点 P 右方的一点,B 是位于上半平面的 l 上的 一点(如图 8-4),则 ? APB 叫做直线 l 对 x 轴的倾斜角,简称为 l 的倾角.若直线 l 平行
? ? 于 x 轴,规定倾角为零,这样,对任意的直线,均有 0 ≤ ? ? 180 .

37

y B

y B

O

P

A

x

O

P

A x

图 8-4 下面研究如何根据直线上的任意两个点的坐标来确定倾角的大小. 设P : 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 为直线 l 上的任意两点,可以得到(如图 8-5)

图 8?5 当 ? ? 90? 时, x1 ? x2 , tan ? ?
y2 ? y1 (如图 8?5(1) 、 (2) ) ; x2 ? x1

当 ? ? 90? 时, x1 ? x2 , tan? 的值不存在,此时直线 l 与 x 轴垂直(如图 8?5(3) ) . 倾角 ? ? ? 90? 的正切值叫做直线 l 的斜率,用小写字母 k 表示,即
k ? tan ? .

?

?

设点 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 为直线 l 上的任意两点,则直线 l 的斜率为
k? y2 ? y1 ( x1 ? x2 ) . x2 ? x1

(8.3)

【想一想】当 P1 、 P2 的纵坐标相同时,斜率是否存在?倾斜角是多少? *巩固知识 典型例题 例 1 根据下面各直线满足的条件,分别求出直线的斜率: (1)倾角为 30? ; (2)直线过点 A(?2, 2) 与点 B (3, ?1) . 说明 利用公式 8.3 计算直线的斜率时,将哪个点看作为 P1 ,哪个点看作为 P2 并不影

38

响计算结果. 【想一想】你能求出例 1(2)中直线的倾角吗? *运用知识 强化练习 练习 8.2.1

*归纳小结 强化思想 直线的倾斜角的取值范围是 [0,180? ) 点P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 为直线 l 上的任意两点,则直线 l 的斜率为
k? y2 ? y1 ( x1 ? x2 ) . x2 ? x1

k ? tan ? .

*继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 8.2 A 组(必做) ;8.2 B 组(选做) (3)实践调查:编写一道关于直线斜率的问题并求解 【教师教学后记】

§8.2 【教学目标】
知识目标:

直线的方程(二)

39

(1)了解直线与方程的关系; (2)掌握直线的点斜式方程、斜截式方程,理解直线的一般式方程. 能力目标: 培养学生解决问题的能力与计算能力.

【教学重点】直线方程的点斜式、斜截式方程. 【教学难点】根据已知条件,选择直线方程的适当形式求直线方程. 【教学设计】
采用“问题——分析——联系方程”的步骤,从学生熟知的一次函数图像入手,分析图 像上的坐标与函数解析式的关系, 把函数的解析式看作方程, 图像是具有某种特征的平面点 集 (轨迹) . 很自然地建立直线和方程的关系, 把函数的解析式看作方程是理解概念的关键.

【教学过程】
*揭示课题

8.2 直线的方程(二)

*创设情境 兴趣导入 【问题】我们知道,方程 x ? y ? 1 ? 0 的图像是一条直线,那么方程的解与直线上的点之间存 在着怎样的关系呢? *动脑思考 探索新知 【新知识】 直线度方程与方程的直线的关系。

k 下面求经过点 P . 0 ( x0 , y0 ) ,且斜率为 的直线 l 的方程(如图 8-7)

图 8-7 在 直 线 l 上 任 取 点 P( x, y) ( 不 同 于 P 0 点 ), 由 斜 率 公 式 可 得

k?

y ? y0 ,即 x ? x0

y ? y0 ? k ( x ? x0 ) .显然,点 P 0 ( x0 , y0 ) 的坐标也满足上面的方程.

40

方程 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,

(8.4)

k 叫做直线的点斜式方程.其中点 P 0 ( x0 , y0 ) 为直线上的点, 为直线的斜率.
【说明】当直线经过点 P 0 ( x0 , y0 ) 且斜率不存在时,直线的倾角为 90°,此时直线与 x 轴垂 直,直线上所有的点横坐标都是 x0 ,因此其方程为 x ? x0 . *巩固知识 典型例题 例 2 在下列各条件下,分别求出直线的方程:
? (1)直线经过点 P (2)直线经过点 P 0 (1, 2) ,倾角为 45 ; 1 (3, 2) , P 2 (?1, ?1) .

【想一想】例 2(2)题中,如果利用点 P2 (?1, ?1) 和 k ? 为什么? *动脑思考 探索新知 截距式方程的推导

3 写出的直线方程,结果是否一样, 4

设直线 l 与 x 轴交于点 A(a, 0) ,与 y 轴交于点 B(0, b) .则 a 叫做直线 l 在 x 轴上的截 距(或横截距) ; b 叫做直线 l 在 y 轴上的截距(或纵截距) . 【想一想】直线在 x 轴及 y 轴上的截距有可能是负数吗?

斜截式方程的推导 设直线在 y 轴上的截距是 b,即直线经过点 B(0, b) ,且斜率为 k .则这条直线的方程为

y ? b ? k ( x ? 0) ,即
方程

y ? kx ? b .

y ? kx ? b

(8.5)

叫做直线的斜截式方程.其中 k 为直线的斜率, b 为直线在 y 轴的截距. *巩固知识 典型例题 例 3 设直线 l 的倾角为 60°,并且经过点 P(2,3) .

41

(1)写出直线 l 的方程; (2)求直线 l 在 y 轴的截距. 【想一想】例 3(2)中,求直线在 y 轴的截距还有其他的方法吗? *运用知识 强化练习 1.作出 y ?
1 x 的图像,并判断点 P (?2,3) 、 Q(4, 2) 是否为图像中的点. 2

2.设点 P(a,1) 在直线 3x ? y ? 5 ? 0 上,求 a 的值. 3.根据下列各直线满足的条件,写出直线的方程: (1)过点 (5, 2) ,斜率为 3; (2)在 y 轴上的截距为 5,斜率为 4.

4.分别求出直线 y ? 8 ? 5( x ? 1) 在 x 轴及 y 轴上的截距.

一般式方程的推导
*动脑思考 探索新知 【新知识】 (1)当 A ? 0 , B ? 0 时,二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0 可化为 y ? ? 率为 k ? ?
A C ,纵截距 b ? ? 的直线. B B
C? C ? ,表示经过点 P ? 0, ? ? 且平行于 x 轴的直线 B? B ?

A C x ? .表示斜 B B

(2)当 A ? 0 , B ? 0 时,方程为 y ? ? (如图 8-9) .

(3)当 A ? 0 , B ? 0 时,方程为 x ? ? 直线(如图 8-10) .

C ? C ? ,表示经过点 P ? ? , 0 ? 且平行于 y 轴的 A ? A ?

所以,二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不全为零)表示一条直线. 方程

Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不全为零)
叫做直线的一般式方程.

(8.6)

*巩固知识 典型例题

42

例 4 将方程 y ? 2 ? 截距.

1 ( x ? 1) 化为直线的一般式方程, 并分别求出该直线在 x 轴与 y 轴上的 2

【说明】本教材中,如果不作特殊说明,作为结果,直线的方程都要求写成一般式方程. *运用知识 强化练习 1.将下列直线方程化为一般方程: (1) y ?

1 x?2 ; 2

(2) y ? 2 ? ?

3 ( x ? 1) . 4

2.已知 ?ABC 的三个顶点分别为 A(?3, 0) , B(2, ?1) , C (?2,3) ,求 AC 边上的中线 所在直线的方程. * *归纳小结 强化思想 方程 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , 叫做直线的点斜式方程.其中点 P 0 ( x0 , y0 ) 为直线上的点,

k 为直线的斜率.
方程 y ? kx ? b 叫做直线的斜截式方程.其中 k 为直线的斜率, b 为直线在 y 轴上的 截距. 方程 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不全为零) 叫做直线的一般式方程. *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 8.2 A 组(必做) ;8.2 B 组(选做) (3)实践调查:编写一道关于直线方程的问题并求解 【教师教学后记】

43

§8.3 【教学目标】
知识目标:

两条直线的位置关系(一)

(1)掌握两条直线平行的条件; (2)能应用两条直线平行的条件解题. 能力目标: 培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力.

【教学重点】两条直线平行的条件. 【教学难点】两条直线平行的判断及应用. 【教学设计】
从初中平面几何中两条直线平行的知识出发,通过“数” “形”结合的方式,讲解两条 直线平行的判定方法,介绍两条直线平行的条件,学生容易接受.知识讲解的顺序为: . 两条直线平行 ? 同位角相等 ? 倾斜角相等 ? ?

?倾斜角? ? 90? ? 斜率相等;
? ? 倾斜角? ? 90 ? 斜率都不存在.

【教学过程】
*揭示课题 *创设情境 兴趣导入 【知识回顾】我们知道,平面内两条直线的位置关系有三种:平行、相交、重合.并且知道,两条直线 都与第三条直线相交时, “同位角相等”是“这两条直线平行”的充要条件. 【问题】两条直线平行,它们的斜率之间存在什么联系呢? *动脑思考 探索新知 【新知识】当两条直线 l1 、l2 的斜率都存在且都不为 0 时,如果直线 l1 平行于直线 l2 ,那么这两条直线与 x 轴相交的同位角相等,即直线的倾角相等,故两条直线的斜率相等;如果直线的斜率相等,那么这两 条直线的倾角相等,即两条直线与 x 轴相交的同位角相等,故两直线平行.

8.3

两条直线的位置关系(一)

(1)

图 8-11 -11 当直线 l1 、 l2 的斜率都是 0 时(如图 8-11(2) ) ,两条直线都与 x 轴平行,所以 l1 // l2 .
44

当两条直线 l1 、 l2 的斜率都不存在时(如图 8-11(3) ) ,直线 l1 与直线 l2 都与 x 轴垂直,所以直线 l1 // 直线 l2 . 显然,当直线 l1 、 l2 的斜率都存在但不相等或一条直线的斜率存在而另一条直线的斜率不存在时, 两条直线相交. 由上面的讨论知,当直线 l1 、 l2 的斜率都存在时,设 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ,则

两个方程的系 数关系

k1 ? k2 k1 ? k2
b1 ? b2
相交 平行

b1 ? b2
重合

当两条直线的斜率都存在时, 就可以利 用两条直线的斜率及直线在 y 轴上的截距, 来判断两直线的位置关系. 判断两条直线平行的一般步骤是: (1) 判断两条直线的斜率是否存在,若 都不存在,则平行;若只有一个不存在,则

两条直线的位 置关系

相交. (2) 若两条直线的斜率都存在,将它们都化成斜截式方程,若斜率不相等,则相交; (3) 若斜率相等,比较两条直线的纵截距,相等则重合,不相等则平行. *巩固知识 典型例题 例 1 判断下列各组直线的位置关系: (1) l1 : x ? 2 y ? 1 ? 0 , l2 : 2 x ? 4 y ? 0 ; (2) l1 : y ?
4 x ?5, 3
l2 : 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 ;

(3) l1 : x ? 3 y ? 4 ? 0 , l2 : ? 2 x ? 6 y ? 8 ? 0 . 分析 分别将各直线的方程化成斜截式方程,通过比较斜率 k 和直线在 y 轴上的截距 b .判断两条 直线的位置关系. 说明 例 1(3)题中,将方程 ? 2 x ? 6 y ? 8 ? 0 两边同时除以?2,得到 x ? 3 y ? 4 ? 0 ,可以看到,这 两个方程是同解方程,因此它们表示的是同一条直线,故 l1 与 l2 重合. 【注意】如果求得两条直线的斜率相等,那么,还需要比较它们在 y 轴的截距是否相等,才能确定两条 直线是平行还是重合.

45

【知识巩固】 例 2 已知直线 l 经过点 M (2, ?2) ,且与直线 y ?
1 x ? 1 平行,求直线 l 的方程. 2

*运用知识 强化练习 1.判断下列各组直线的位置关系: (1) l1 : x ? y ? 0 与 l2 : 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 ; (2) l1 : y ? ? x ? 2 与 l2 : 2 x ? 2 y ? 4 ? 0 ; (3) l1 : 4 x ? 3 y 与 l2 : y ?
4 x ?1 . 3

2.已知直线 l 经过点 P (0, ?1) ,且与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 平行,求直线 l 的方程. . *归纳小结 强化思想 两条直线相交、平行、重合的条件 *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 8.3 A 组(必做) ;8.3 B 组(选做) (3)实践调查:用发现的眼睛寻找生活中的实例。 【教师教学后记】

46

【课题】8.3 【教学目标】
知识目标: (1)掌握两条直线平行的条件;

两条直线的位置关系(二)

(2)能应用点到直线的距离公式解题. 能力目标:培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力.

【教学重点】两条直线的位置关系,点到直线的距离公式. 【教学难点】两条直线的位置关系的判断及应用. 【教学设计】
教材采用 “数形结合” 、 “看图说话” 的方法, 导入两条直线垂直的条件, 过程简单易懂. 两 条直线垂直的实质就是这两条直线的夹角为 90? .运用垂直条件时,要注意斜率不存在的情 况.需要强调,点到直线的距离公式中的直线方程必须是一般式方程.

【教学过程】
*揭示课题 8.3

两条直线的位置关系(二)

*创设情境 兴趣导入 【问题】平面内两条既不重合又不平行的直线肯定相交.如何求交点的坐标呢?

图 8-12 *动脑思考 探索新知 两条直线的夹角以及夹角的取值范围

图 8-13
47

我们把两条直线相交所成的最小正角叫做这两条直线的夹角,记作 ? . 规定,当两条直线平行或重合时,两条直线的夹角为零角,因此,两条直线夹角的取值范围为 [ 0, 90? ] . 当直线 l1 与直线 l2 的夹角为直角时称直线 l1 与直线 l2 垂直,记做 l1 ? l2 .显然,平行于 x 轴的直线 l1 与平 行于 y 轴的直线 l2 垂直,即斜率为零的直线与斜率不存在的直线垂直.

*创设情境 兴趣导入 【问题】如果两条直线的斜率都存在且不为零,如何判断这两条直线垂直呢? *动脑思考 探索新知 两条直线垂直的条件 (1)如果直线 l1 与直线 l2 的斜率都存在且不等于 0,那么 l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1 . (2)斜率不存在的直线与斜率为 0 的直线垂直 *巩固知识 典型例题 例 3 求直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 y ? x ? 2 交点的坐标. 【试一试】已知直线 3x ? 4 y ? a 与直线 2 x ? 5 y ? 10 的交点在 x 轴上,你是否能确定 a 的值,并求出交点的 坐标?

2 x 与直线 6 x ? 4 y ? 1 ? 0 是否垂直. 3 【试一试】请你判断,直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 x ? y ? 1 是否垂直?
例 4 判断直线 y ? 【知识巩固】例 5 已知直线 l 经过点 M (2, ?1) ,且垂直于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 ,求直线 l 方程. *运用知识 强化练习 1.判断下列各对直线是否相交,若相交,求出交点坐标: (1) l1 : x ? 2 y ? 0 ,与 l2 : 2 x ? y ? 1 ? 0 ; (2) l1 : y ? ? x ? 1 ,与 l2 : x ? y ? 4 ? 0 ; (3) l1 : ? 3x ? 2 y ,与 l2 : y ?
4 x ?1 . 3

2. 已知直线 l 经过点 M (?2, 2) ,且垂直于直线 x ? y ? 2 ? 0 ,求直线 l 方程. *创设情境 兴趣导入 【问题】 过点 P0 作直线 l 的垂线,垂足为 Q,称线段 P0Q 的长度为点 P0 到直线 l 的距离,记作 d. 如何求出一个已知点到一条已知直线的距离呢? *动脑思考 探索新知
48

点 P0 ( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离公式为 d ?

Ax0 ? By0 ? C

A2 ? B 2 【注意】应用公式(8.7)时,直线的方程必须是一般式方程.

(8.7)

*巩固知识 典型例题 例6 求点 P0 (2, ?3) 到直线 y ? ? x ?
1 的距离. 2

分析 求点到直线的距离时,首先要检查直线方程是否为一般式方程,若不是,则应先将直线的方程化为 一般式方程,然后利用公式(8.7)进行计算. 例 7 试求两条平行直线 3x ? 4 y ? 0 与 3x ? 4 y ? 1 ? 0 之间的距离. 分析 由平面几何的知识知道,两条平行线间的距离,是其中一条直线上的任意一个点到另一条直线的 距离.为运算方便,尽量选择坐标的数值比较简单的点. B(0, ?1)、 C (?1,1) ,求三角形的面积 S . *例 8 设△ABC 的顶点坐标为 A(6,3)、 【试一试】用其他的边求 ?ABC 的面积. *运用知识 强化练习 根据下列条件求点 P0 到直线 l 的距离: (1) P0 (1,0) ,直线 ?4 x ? 3 y ? 1 ? 0 ; (2) P0 (?2,1) ,直线 2 x ? 3 y ? 0 ; (3) P0 (2, ?3) ,直线 y ? *归纳小结 强化思想 两条直线垂直的条件: (1)如果直线 l1 与直线 l2 的斜率都存在且不等于 0,那么 l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1 . (2)斜率不存在的直线与斜率为 0 的直线垂直. 点 P0 ( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离公式为 d ? *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 8.3 A 组(必做) ;8.3 B 组(选做) 【教师教学后记】
Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

1 3 x? . 2 2

§8.4 圆(一)

【教学目标】
知识目标: (1)了解圆的定义; (2)掌握圆的标准方程和一般方程. 能力目标:培养学生解决问题的能力与计算能力.
49

【教学重点】圆的标准方程和一般方程的理解与应用. 【教学难点】对圆的标准方程和一般方程的正确认识. 【教学设计】
用 “解析法” 推导圆的标准方程的过程, 学生比较容易掌握, 可以引导学生自己完成. 要
2 强 化 对 圆 的 标 准 方 程 ? x ? a? ? ? y ? b? ? r 的 认 识 , 其 中 半 径 为 r , 圆 心 坐 标 为 2 2

O? ? a, b ? .经常容易发生错误的地方是认为半径是 r 2 ,圆心坐标为 O? ? ?a, ?b? .教学中应
予以强调,反复强化.

【教学过程】
*揭示课题 8.4 圆(一)

*创设情境 兴趣导入 【知识回顾】 圆是平面内到定点的距离为定长的点的轨迹,定点叫做圆心,定长叫做半径.如图 8-18 所示,将圆规的两只 脚张开一定的角度后,把其中一只脚放在固定点 O,另一只脚紧贴点所在平面上,然后转动圆规一周(圆规的两只 脚张开的角度不变) ,画出的图形就是圆. 圆心和半径是圆的两个要素. *动脑思考 探索新知 下面我们在直角坐标系中研究圆的方程.

图 8-19 设圆心的坐标为 C (a, b) ,半径为 r,点 M ( x, y ) 为圆上的任意一点(如图 8-19) ,则 MC ? r , 由公式(8.1) ,得 将式两边平方,得

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r ,
( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2
这个方程叫做以点 C (a, b) 为圆心,以 r 为半径的圆的标准方程.

特别地,当圆心为坐标原点 O(0,0) 时,半径为 r 的圆的标准方程为

x2 ? y 2 ? r 2
*巩固知识 典型例题

(8.9)

50

例 1 求以点 C (?2,0) 为圆心, r ? 3 为半径的圆的标准方程. 例 2 写出圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 的圆心的坐标及半径. 【说明】 使用公式(8.8)求圆心的坐标时,要注意公式中两个括号内都是“-”号. *运用知识 强化练习 1.根据下面条件,求出圆的标准方程,并画出图形. (1)圆心 C (?1, 2) ,半径 r ? 2 ; (2)圆心 C (0, ?3) ,半径 r ? 3 . 2.根据下列圆的标准方程,分别求出圆心的坐标与半径,并画出图形. (1) ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 ; (2) x2 ? ( y ? 2)2 ? 3 . *创设情境 兴趣导入 【观察】 将圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 展开并整理,可得

x2 ? y 2 ? (?2a) x ? (?2b) y ? (a2 ? b2 ? r 2 ) ? 0 .
令 D ? ?2a , E ? ?2b , F ? a 2 ? b2 ? r 2 ,则 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . 这是一个二元二次方程.观察方程(1) ,可以发现它具有下列特点: ⑴ 含 x 2 项的系数与含 y 2 项的系数都是 1; ⑵ 方程不含 xy 项. 那么,具有这两个特点的二元二次方程一定是圆的方程吗? *动脑思考 探索新知 将方程(1)配方整理得
D? ? E? D2 ? E 2 ? 4F ? , ?x? ? ?? y? ? ? 2? ? 2? 4 ?
2 2

(1)

(2)
D2 ? E 2 ? 4F D E . , ? ) ,半径为 2 2 2

当 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程(2)为是圆的标准方程,其圆心在 (? 方程

x ? y2 ? Dx ? E y ? F ? 0 (其中 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 )
【想一想】为什么必须有 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 的条件? *巩固知识 典型例题

2

(8.10)叫做圆的一般方程.其中 D、 E、 F 均为常数.

例 3 判断方程 x2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 3 ? 0 是否为圆的方程,如果是,求出圆心的坐标和半径. 说明:给出方程求圆心和半径时,经常通过配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程. *运用知识 强化练习 1.判断方程 x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 是否表示圆.如果是,指出圆心和半径. 2.已知圆的方程为 x2 ? y 2 ? 4x ? 0 ,求圆心的坐标和半径. 3.已知圆的方程为 x2 ? y 2 ? 6 y ? 0 ,求圆心的坐标和半径. *动脑思考 探索新知 观察圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 和圆的一般方程 x2 ? y2 ? Dx ? E y ? F ? 0 ,可以发现:这两个方程中
51

分别含有三个字母系数 a, b, r 或 D, E , F .确定了这三个字母系数,圆的方程也就确定了.因此,求圆的方程时, 关键是确定字母系数 a, b, r (或 D, E , F )的值. *巩固知识 典型例题 例4 (1) (2) (3) 根据下面所给的条件,分别求出圆的方程: 以点 (?2,5) 为圆心,并且过点 (3, ?7) ; 设点 A(4,3) 、 B (6, ?1) ,以线段 AB 为直径; 经过点 P(?2, 4) 和点 Q(0, 2) ,并且圆心在直线 x ? y ? 0 上.

分析 根据已知条件求出圆心的坐标和半径,从而确定字母系数 a、b、r,得到圆的标准方程.这是求圆的方 程的常用方法. 【知识巩固】 例 5 求经过三点 O(0,0) , A(1,1) , B(4, 2) 的圆的方程(图 8-20) .

图 8-20 *运用知识 强化练习 1.求以点 (4, ?1) 为圆心,半径为 1 的圆的方程. 2.求经过直线 x ? 3 y ? 7 ? 0 与 3x ? 2 y ? 12 ? 0 的交点,圆心为 C (?1,1) 的圆的方程. 3.求经过三点 O(0,0) , M (1,0) , N (0, 2) 的圆的方程. *归纳小结 强化思想 圆的标准方程及一般方程? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 圆的一般方程 x2 ? y2 ? Dx ? E y ? F ? 0 (其中 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 ) . *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 8.4 A 组(必做) ;8.4 B 组(选做)

§8.4 圆(二) 【教学目标】
知识目标: (1)理解直线和圆的位置关系; (2)了解直线与圆相切在实际中的应用. 能力目标:
52

培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力.

【教学重点】直线与圆的位置关系的理解和掌握. 【教学难点】直线与圆的位置关系的判定. 【教学设计】
直线与圆的位置关系的判定是本节的难点,教材采用“数” “形”结合的方式,利用比 较半径与圆心到直线的距离大小的关系来讨论的方法,相对比较简单.平面几何中,学生对 这样判断直线与圆的位置关系比较熟悉, 现在通过比较半径与圆心到直线的距离的大小, 来 判定直线与圆的位置关系,学生容易接受。经过一点求圆的切线方程,通常作法是设出点斜 式方程, 利用圆心到切线的距离与半径相等来确定斜率, 从而得到切线方程, 其中蕴含着 “待 定系数法”和“解析法”等数学方法.

【教学过程】
*揭示课题 *创设情境 兴趣导入 【知识回顾】 平面内直线与圆的位置关系有三种(如图 8-21) : (1)相离:无交点; (2)相切:仅有一个交点; (3)相交:有两个交点. 并且知道,直线与圆的位置关系,可以由圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系来判别。 (1) d ? r :直线与圆相离; (2) d ? r :直线与圆相切; (3) d ? r :直线与圆相交. *动脑思考 探索新知 设圆的标准方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,则圆心 C(a,b)到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离为 . A2 ? B 2 比较 d 与 r 的大小,就可以判断直线与圆的位置关系. *巩固知识 典型例题 例 6 判断下列各直线与圆的位置关系: ⑴直线 x ? y ? 3 ? 0 ,圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 9 ;⑵直线 3x ? y ? 5 ? 0 ,圆 x2 ? y 2 ? 10 y ? 0 . 【想一想】 你是否可以找到判断直线与圆的位置关系的其他方法? *例 7
k.

8.4 圆(二)

d ?

Aa ? Bb ? C

过点 P(1, ?1) 作圆 x2 ? y2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 的切线,试求切线方程.

分析求切线方程的关键是求出切线的斜率 k .可以利用原点到切线的距离等于半径的条件来确定

说明 例题 7 中所使用的方法是待定系数法,在利用代数方法研究几何问题中有着广泛的应用. 【想一想】 能否利用“切线垂直于过切点的半径”的几何性质求出切线方程?
53

*运用知识 强化练习 1.判断下列直线与圆的位置关系: ⑴直线 x ? y ? 2 与圆 x2 ? y 2 ? 2 ; ⑵直线 y ? ?
3 与圆 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 4 ; 3

⑶直线 5 x ? 12 y ? 8 ? 0 与圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 8 . 2.求以 C (2, ?1) 为圆心,且与直线 2 x ? 5 y ? 0 相切的圆的方程. *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例 8 某施工单位砌圆拱时,需要制作如图 8-25 所示的木模.设圆拱高为 1m,跨度为 6m,中间 需要等距离的安装 5 根支撑柱子,求 E 点的柱子长度(精确到 0.1m) .

图 8?25 *运用知识 强化练习 1.光线从点 M(?2,3)射到点 P(1,0) ,然后被 x 轴反射,求反射光线所在直线的方程 2.赵州桥圆拱的跨度是 37.4 米,圆拱高约为 7.2 米,适当选取坐标系求出其拱圆的方程. 3.某地要建造一座跨度为 8 米,拱高为 2 米的圆拱桥,每隔 1 米需要一根支柱支撑,求第二根支 柱的长度(精确到 0.01m). *归纳小结 强化思想 如何判定直线与圆的位置关系? *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 8.4 A 组(必做) ;8.4 B 组(选做) (3)实践调查:寻找圆与直线的关系在生活中的应用

第八章小结与复习

54

55

§10.1

计数原理

【教学目标】
知识目标: 掌握分类计数原理和分步计数原理. 能力目标: 培养学生的观察、分析能力.

【教学重点】掌握分类计数原理和分步计数原理. 【教学难点】区别与运用分类计数原理和分步计数原理. 【教学设计】
分类计数原理的特点: 各类办法间相互独立, 各类办法中的每种办法都能独立完成这件 事(一步到位) .分步计数原理的特点:一步不能完成,依次完成各步才能完成这件事(一 步不到位) .确定适用分类计数原理还是分步计数原理的关键是判断能否一次完成.

【教学过程】 10.1
*创设情境 兴趣导入 由太原去北京可以乘火车,也可乘汽车,还可以乘飞机.如果一天之内火车有 4 个班次,汽车有 17 个班次,飞机有 6 个班次,那么,每天由太原去北京有多少种不同的方法? *动脑思考 探索新知 【新知识】 一般地,完成一件事,有 n 类方式.第 1 类方式有 k1 种方法,第 2 类方式有 k 2 种方法,??,第 n 类方式有 kn 种方法, 那么完成这件事的方法共有 N ? k1 ? k2 ? ? ? kn(种) . 上面的计数原理叫做分类计数原理 1. *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例 1 三个袋子里分别装有 9 个红色球 2,8 个蓝色球和 10 个白色球.任取出一个球,共有多少种取法? *运用知识 强化练习 1.书架上有 7 本数学书,6 本语文书,4 本英语书.如果从书架上任取一本,共有多少种不同取法? 2.某职业学校电子一班的同学分为三个小组,甲组有 10 人,乙组有 11 人,丙组有 9 人.现要选派
1 2

计数原理

(10.1)

分类计数原理有些教科书上写作加法原则. 本章中,袋子中的球除了颜色不同外,外形、重量等完全相同。每个球都有编号,任意两个同色球都是不 同的球。 56

1 人参加学校的技能活动,有多少种不同的方法? *创设情境 兴趣导入 【问题】 从唐华、张凤、薛贵 3 个候选人中,选出 2 个人分别担任班长和团支部书记,会有多少种选举结果呢? 【想一想】 如果第一步选团支部书记,第二步选班长,计算出的结果与上面的结果相同吗? *动脑思考 探索新知 【新知识】 一般地, 如果完成一件事, 需要分成 n 个步骤, 完成第 1 个步骤有 k1 种方法, 完成第 2 个步骤有 k 2 种 方法,??,完成第 n 个步骤有 kn 种方法,并且只有这 n 个步骤都完成后,这件事才能完成,那么完成 这件事的方法共有 . N ? k1 ? k2 ? ? ? kn (种) 上面的计数原理叫做分步计数原理 1. *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例 2 某校电子八班有男生 26 人,女生 20 人,若要选男、女生各 1 人作为学生代表参加学校伙食管理委 员会,共有多少种选法? 例 3 邮政大厅有 4 个邮筒,现将三封信逐一投入邮筒,共有多少种投法? 【试一试】 你能说出分类计数原理和分步计数原理的区别吗? *运用知识 强化练习 1. 两个袋子中分别装有 10 个红色球和 6 个白色球.从中取出一个红色球和一个白色球,共有多少 种方法? 2. 北京市电话号码为八位数字,问 8461 支局共有多少个电话号码? *归纳小结 强化思想 分类计数原理的特点:各类办法间相互独立,各类办法中的每种办法都能独立完成这件事(一步到 位) . 分步计数原理的特点:一步不能完成,依次完成各步才能完成这件事(一步不到位) . 确定适用分类计数原理还是分步计数原理的关键是判断能否一次完成. *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 10.1 A 组(必做) ;10.1 B 组(选做) (3)实践调查:用发现的眼睛寻找生活中的分步计数原理实例 (10.2)

1

分布计数原理有些教科书上写作乘法原则. 57

§10.2

概率(一)

【教学目标】
知识目标: (1) 理解必然事件、不可能事件、随机事件的意义. (2) 理解事件的频率与概率的意义以及二者的区别与联系. 能力目标:培养学生的观察、分析能力.

【教学重点】事件 A 的概率的定义. 【教学难点】概率的计算. 【教学设计】
教材通过学生较为熟悉的六种现象,引出随机现象与必然现象、随机试验、随机事件、 基本事件、必然事件以及不可能事件的概念及意义.在教学中要紧密结合这 6 个例子,讲清 楚这些概念的意义,随机现象与必然现象的区别,随机事件与确定性事件的区别与联系,随 机事件、必然事件、不可能事件的区别与联系.

【教学过程】
*揭示课题 10.2

概率(一)

*创设情境 兴趣导入 【观察】 观察下列各种现象: (1)掷一颗骰子2(图 10-2),出现的点数是 4. (2)掷一枚硬币,正面向上. (3)在一天中的某一时刻,测试某个人的体温为 36.8℃. (4)定点投篮球,第一次就投中篮框. (5)在标准大气压下,将水加热到 100℃时,水沸腾. (6)在标准大气压下,100℃时,金属铁变为液态. *动脑思考 探索新知 【新知识】随机事件与必然事件 上面的(1) 、 ( 2) 、 (3) 、 (4)种现象,有可能发生,也有可能不发生.像这样,在相同的条件下, 具有多种可能的结果,而事先又无法确定会出现哪种结果的现象叫做随机现象(偶然现象). 我们通常使用试验和观察的方法来研究随机现象,这类试验和观察,事先可以预测到可能会 发生的各种结果, 但是无法预测发生的确切结果. 在相同的条件下, 试验和观察可以重复进行. 我 们把这类试验和观察叫做随机试验. 试验的结果叫做随机事件, 简称事件, 常用英文大写字母 A、 B、C 等表示. 在一定条件下,必然发生的事件叫做必然事件,用 ? 表示.在一定条件下,不可能发生的事

2

本教材中,做抛掷试验的物体(这里是骰子)都是质地均匀的,后面不再逐个说明. 58

件叫做不可能事件,用 ? 表示. 【知识巩固】 例1 设在 100 件商品中有 3 件次品. A={ 随机抽取 1 件是次品 }; B={ 随机抽取 4 件都 是次品 };C={ 随机抽取 10 件有正品}.指出其中的必然事件及不可能事件. *创设情境 兴趣导入 【问题】任意抛掷一颗骰子,观察掷出的点数.事件 A={点数是 1 },B={点数是 2 }, C={点数不超过 2 }之间存在着什么联系呢? *动脑思考 探索新知 【新知识】基本事件与复合事件 作为试验和观察的基本结果,在试验和观察中不能再分的最简单的随机事件,叫做基本事 件.像事件 C 那样,可以用基本事件来描绘的随机事件叫做复合事件. *运用知识 强化练习 1.掷一颗骰子,观察掷出的点数,指出下列事件中的基本事件和复合事件: (1)A={点数是 1 }; (2)B={点数是 3 }; (3)C={点数是 5 }; (4)D={点数是奇数 }. 2.请举出生活中某一个随机试验的基本事件和复合事件. *创设情境 兴趣导入 【实验】反复抛掷一枚硬币,观察并记录抛掷的次数与硬币出现正面向上的次数. 【知识回顾】 设在 n 次重复试验中,事件 A 发生了 m 次( 0 剟m n ) ,m 叫做事件 A 发生的频数.事件 A 的频数在试验的总次数中所占的比例 【新知识】概率的定义 一般地,当试验次数充分大时,如果事件 A 发生的频率 么就把这个常数叫做事件 A 发生的概率,记作 P(A). 因为在 n 次重复试验中,事件 A 发生的次数 m 总是满足 0 剟m 到事件的概率具有下列性质: (1)对于必然事件 ? , P(? ) ? 1 ; (2)对于不可能事件 ? , P(?) ? 0 ; (3) 我们通常是通过频率的计算来估计概率并利用事件 A 的概率 P(A)来描述试验中事件 A 发生 的可能性. *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例 2 连续抽检了某车间一周内的产品,结果如表 10-2 所示(精确到 0.001) :
59

m ,叫做事件 A 发生的频率. n m 总稳定在某个常数附近摆动,那 n
n ,所以 0 剟

m n

1 .由此得

求: (1)星期五该厂生产的产品是次品的频率为多少? (2) 本周内,该厂生产的产品是次品的概率为多少? 分析 星期五该厂生产的产品是次品的频率可以利用 是次品的频率大约稳定在 0.100 左右.
星期 星 期 一 生 产 产 品 总 数 (n) 次品 数 (m) 频率 星 期 二 星 期 三 星 期 四 星期 五 星 期 六 星期日

m 来计算. 从表中可以看出, 生产产品 n

60

150

600

900

1200

1800

2400

7

19

52 0.087

100 0.111

109

169 0.094

248 0.103

0.117 0.127

?m? ? ? ?n? *运用知识 强化练习 某市工商局要了解经营人员对工商执法人员的满意程度。进行了 5 次“问卷调查” ,结果如

表 10-3 所示: 表 10-3 被调查 人数 n 满意人 数m 满意频 率 500 375 502 376 504 378 496 372 505 404

m n

(1)计算表中的各个频率; (2)经营人员对工商局执法人员满意的概率 P(A)约是多少? *归纳小结 强化思想 事件 A 的概率的定义 *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 10.2 A 组(必做) ;10.2 B 组(选做) (3)实践调查:用发现的眼睛寻找生活中的频率与概率关系实例 §10.2

概率(二)

【教学目标】
60

知识目标: 掌握古典概型,互斥事件的概念. 能力目标: 培养学生的观察、分析能力.

【教学重点】运用公式 P ? A? ? 【教学难点】概率的计算. 【教学设计】

m 计算等可能事件的概率. n

由于本教材没有介绍排列与组合等内容, 所以, 等可能事件概率的计算不要搞得太复杂, 重点放在理解算法原理上.等可能事件 A 的概率计算公式为 P ? A? ?
m ,其中 n 是基本事件 n

总数、 m 是事件 A 包含的基本事件数.有些教材用这个公式来定义概率,叫做概率的古典 定义.

【教学过程】 *揭示课题 10.2 概率(二)

*创设情境 兴趣导入 【实验】 裁好 10 个同样大小的正方形纸片,分别写上数字 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9.并 将他们团成小纸团.放在容器中,充分搅拌.然后取出一个纸团,观察所得的数字. *动脑思考 探索新知 【新知识】古典概型 像这样如果一个随机试验的基本事件只有有限个,并且各个基本事件发生的可能性相 同,那么称这个随机试验属于古典概型. 设试验共有 n 个基本事件,并且每一个基本事件发生的可能性都相同,事件 A 包含 m 个基本事件,那么事件 A 发生的概率为 P(A)=
m . n

(10.3)

【知识巩固】 例 3 把一枚硬币任意地抛掷一次,求出现正面向上的概率. 例4 抛掷一颗骰子,求出现的点数是 5 的概率.

【想一想】抛掷一颗的骰子,出现的点数不超过 2 的概率是多少?

*创设情境 兴趣导入 【问题】
61

抛掷一颗骰子,观察掷出的点数.设 A={点数为 3},B={点数为 2},事件 A 和事件 B 能 同时发生吗? *动脑思考 探索新知 【新知识】互斥事件的定义与和事件 像这样,不可能同时发生的两个事件叫做互斥(或互不相容)事件. 事件 C 发生,就意味着事件 A 与事件 B 中至少有一个发生,这时把事件 C 叫做事件 A 与事件 B 的和事件,记作 C ? A ? B . 【新知识】概率加法公式 一般地,对于互斥事件 A 和 B,有 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) .叫做互斥事件的概率加法 公式. 互斥事件的概率加法公式是计算概率的基本公式之一,运用它可以计算出某些复合事 件的概率. 【说明】 (1)公式(10.4)只适用于互斥事件. (2)公式(10.4)可以推广到多个两两互斥事件.例如,对于两两互斥的事件 A,B, P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) . C,有 其中事件 A ? B ? C 意味着事件 A,B,C 中至少有一个发生. *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例 5 抛掷一颗骰子,观察掷出的点数.求 C={点数为奇数或 2}的概率. 说明:应用公式(10.4)时,一定要判断是否为互斥事件. *例 6 袋中有 6 个红色球、3 个黄色球、4 个黑色球、5 个绿色球,现从袋中任取一 个球.求取到的球不是绿球的概率. 【试一试】 你能否举出两个(或三个)两两互斥的事件概率的实际问题? *归纳小结 强化思想 对于互斥事件 A 和 B,有 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 10.2 A 组(必做) ;10.2 B 组(选做) (3)实践调查:用发现的眼睛寻找生活中的古典概型实例
【教师教学后记】

62

§10.3 总体、样本与抽样方法(一)

【教学目标】
知识目标: 理解总体、个体、样本等概念. 能力目标: 培养学生认识世界、探索世界的辩证唯物观.

【教学重点】
总体、个体、样本、样本的容量的概念.

【教学难点】
总体、个体、样本之间的关系.

【教学设计】
在讲解总体、样本、样本的容量时,一定要把它们的内涵及其关系阐述清楚,并举出一 些例子加以说明.可以结合总体与个体、样本三者之间的关系,所有的个体构成了总体,样 本取自于总体,因此,样本是总体的一部分,没有个体就没有总体.

【教学过程】
*揭示课题 10.3 总体、样本与抽样方法(一) *创设情境兴趣导入 【实验】 商店进了一批苹果,小王从中任意选取了 10 个苹果,编上号并称出质量.得到下面的数据(如 表 10-6 所示) :

苹果编号 质量 (kg)

1 0.21

2 0.17

3 0.19

4 0.16

5 0.20

6 0.22

7 0.21

8 0.18

9 0.19

10 0.17

利用这些数据,就可以估计出这批苹果的平均质量及苹果的大小是否均匀. *动脑思考探索新知
63

【新知识】 在统计中,所研究对象的全体叫做总体,组成总体的每个对象叫做个体. 上面的实验中,这批苹果的质量是研究对象的总体,每个苹果的质量是研究的个体. *巩固知识典型例题 【知识巩固】 例 1 研究某班学生上学期数学期末考试成绩,指出其中的总体与个体

. 【试一试】 我们经常用灯泡的使用寿命来衡量灯炮的质量.指出在鉴定一批灯泡的质量中的总体与个体. *创设情境兴趣导入 【问题】 要了解总体的情况,最好是能对总体中的每个个体逐个进行试验,但是,这样做实际上往往是 不可能或不允许的.一方面是总体的容量太大,无法逐个试验. *动脑思考探索新知 【新知识】 经常采用的办法是,随机地从总体中抽取一部分个体,对这些个体做试验,然后根据试验结果 来推测总体的性质.如前面的实验中,小王通过 10 个苹果的质量,来推测这批苹果的质量. 被抽取出来的个体的集合叫做总体的样本,样本所含个体的数目叫做样本容量. *巩固知识典型例题 【知识巩固】 例 2 某地区为了掌握 7 岁儿童身高状况,随机抽取 200 名儿童测试身高,请指出其中的总体、 个体、样本与样本容量. *运用知识 强化练习 1.在某班级中,随机选取 10 名同学去参加学校的表彰大会,指出其总体、个体、样本与样本 容量. 2.要测定一批炮弹的射程,随机抽取 20 颗炮弹通过发射进行测试.指出其中的总体、个体、 样本与样本容量. *归纳小结强化思想 所有的个体构成了总体,样本取自于总体,因此,样本是总体的一部分,没有个体就没有总体. *继续探索活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 10.3 A 组(必做) ;10.3 B 组(选做) (3)实践调查:用发现的眼睛寻找生活中的总体、个体、样本实例

64

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