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2013-2014学年湖北省荆门市高一数学下学期期末质量检测试卷 新人教A版


2014-2015 学年度 11 月月考卷
题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷(选择题) 请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释) 一 二 三 总分

1 ? ? 1.已知集合 A ? y y ? log2 x , x ? 1 ,集合 B ? ? y y ? ( ) x , x ? 1? ,则 A 2 ? ?

?

?

B?

1? ? A. ? y y ? ? 2? ?
【答案】A 【解析】

1? ? B. ? y 0 ? y ? ? 2? ?

C. y y ? 1

?

?

D. ? y

? 1 ? 2

? y ? 1?

? ?

试题分析: A ? {y y ? 0} , B ? ? y y ?

? ?

1? ? ,易得答案选 A. 2?

考点:集合的运算 2.若 ? 为第二象限的角,则下列各式恒小于零的是 A. sin ? ? cos ? B. tan ? ? sin ? C. sin ? ? cos ? D. sin ? ? tan ? 【答案】B 【解析】 试题分析:由 ? 为第二象限的角可知,sin ? ? 0,?1 ? cos? ? 0, tan? ? 0 ,所以排除 C、D, 选项 A 取 ? ?

2? sin ? sin ? (1 ? cos ? ) ? sin ? ? ? 0 ,答案为 B 可排除, tan ? ? sin ? ? 3 cos ? cos ?

考点:三角函数的符号与同角三角函数的基本关系 3.设 b,c 表示两条直线, ? ,? 表示两个平面,则下列结论正确的是 A.若 b ? ? ,c ∥ ? 则 b ∥ c B.若 b ? ? ,b ∥ c 则 c ∥ ? C.若 c ∥ ? , ? ? ? 则 c ? ? D.若 c ∥ ? , c ? ? 则 ? ? ? 【答案】D

1

【解析】 试题分析:观察长方体上底面的一条棱与下底面的四条棱的位置关系可知选项 A 是错误的; 选项 B 直线 c 也可在平面内;选项 C 中的直线 c 可以满足 c ? ? 或 c // ? 或 c ? ? ,故答案 选 D. 考点:直线与平面的位置关系与判定 4.若函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据 如下: f(1) = -2 f(1.375) = -0.260 f(1.5) = 0.625 f(1.4375) = 0.162 f(1.25) = -0.984 f (1. 40625) = -0. 054

那么方程 x3 ? x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确到 0.1)为 A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5 【答案】C 【解析】 试题分析:由零点存在性定理可知零点所在的区间为(1.40625,1.4375) ,因此答案选 C. 考点:零点存在性定理与二分法求方程的近似根 5.把函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象向左平移 A. y ? sin(2 x ? C. y ? sin(2 x ?

π 4

5π 12 7π 12

) )

π 个单位,所得图象的函数解析式是 6 π B. y ? sin(2 x ? ) 12 π D. y ? sin(2 x ? ) 12

【答案】D 【解析】 试 题 分 析 : 由 图 象 的 平 移 变 换 可 知 所 得 图 象 的 解 析 式 为

y ? sin[ 2( x ?

?

) ? ] ? sin( 2 x ? ) ,答案选 D. 6 4 12

?

?

考点:三角函数图象的平移变换 6. 《莱因德纸草书》 (Rh1nd Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样的一道 题目:把 100 个面包分给 5 个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 的两份之和,则最小 1 份为

1 是较小 7

5 10 5 11 B. C. D. 3 6 3 6 【答案】A 【解析】 试 题 分 析 : 设 最 小 1 份 为 x 个 , 等 差 数 列 的 公 差 为 d , 则 5 x ? 10 d ? 1 0 0 ,
A.

3x ? 9d ? 7(2 x ? d ) ,解得 x ?

5 ,答案选 A. 3

考点:等差数列的通项与求和公式的应用 7.在△ ABC 中, AB ? 6,O 为△ ABC 的外心,则 AO ? AB 等于

2

A. 6

B. 18

C.12

D.6

【答案】B 【解析】 试 题 分 析 : 取

AB

的 中 点

D , 连 接

OD , 易 知 OD ? AB , 所 以

AO? AB ? ( AD ? DO) ? AB ? AD? AB ? 18,答案选 B.
考点:向量的线性运算与数量积运算 8.襄荆高速公路连接襄阳、荆门、荆州三市,全长约 188 公里,是湖北省大三角经济主骨 架的干线公路之一.若某汽车从进入该高速公路后以不低于 60 千米/时且不高于 120 千米/ 时的速度匀速行驶, 已知该汽车每小时的运输成本由固定部分和可变部分组成, 固定部分为 200 元,可变部分与速度 v(千米/时)的平方成正比(比例系数记为 k) .当汽车以最快速 度行驶时,每小时的运输成本为 488 元.若使汽车的全程 运输成本最低,其速度为 .. A.80 km /小时 【答案】C 【解析】 B.90 km /小时 C.100 km /小时 D.110 km /小时

试题分析:每小时的运输成本为 200 ? kv ,由汽车以最快速度行驶时,每小时的运输成本
2

1 1 2 188 200 ?188 188 v v ) ? ? ,全程运输成本为 y ? (200 ? ,由 50 50 v v 50 200 ? 188 188 v ? 基本不等式可知,当且仅当 即 v ? 100 时取得最小值,答案选 C. v 50
为 488 元可求出 k ? 考点:函数的应用与基本不等式 9.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为

8 2 π B. 4 π C. 8 π D. 16 π 3 【答案】C 【解析】 试题分析:由已三视图可知空间几何体为三棱锥 S-ABC 如图(1) ,其中 SA 与底面 ABC 垂直,
A.

AC ? BC , AC ? BC ? 2 , SA ? AB ? 2 ,将三棱锥 S-ABC 补成一个长方形如图(2)
所 示 , 该 长 方 形 的 外 接 球 也 是 三 棱 锥 的 外 接 球 , 其 直 径 为

2r ? ( 2 ) 2 ? ( 2 ) 2 ? 2 2 ? 2 2 ,

3

S

S

A B

C

A B

C

所以外接球的表面积为 S ? 4?r 2 ? 8? ,答案选 C. 考点:空间几何体的表面积与三视图 10.如图,一个质点从原点出发,在与 x 轴、y 轴平行的方向按(0,0)→(0,1)→(1,1) →(1,0)→(2,0)→(2,1)→(2,2)→(1,2)…的规律向前移动,且每秒钟移动一 个单位长度,那么到第 2014 秒时,这个质点所处位置的坐标是

A. (10, 44)

B. (11, 44)

C. (44,10)

D. (44,11)

【答案】A 【解析】 试题分析:通过观察可知质点每一个回路所移动的时间构成以 3 为首项,2 为公差的等差数 列,走 n 个回路所花的时间和为 Sn ? 3n ? n(n ?1) ? n(n ? 2) ,因为 43 ? 45 ? 1935 ,

44 ? 46 ? 2024 ,所以第 2014 秒时还差 10 秒走完第 44 个回路,此时质点所处位置为(10,
44) ,答案选 A. 考点:等差数列的求和及其应用 11.若幂函数 y ? f ( x) 的图象经过点 (2, 【答案】 【解析】 试题分析:设幂函数 f ( x) ? x ,图象经过点 (2,
a
1 2

2 2

) , 则 f (25) 的值是



1 5
2 2

) 可知 f (2) ? 2 a ?

1 2 ,解得 a ? ? , 2 2

所以 f (25) ? 25

?

1 ? . 5

考点:幂函数的定义

4

g 12 . 已 知 函 数 f ( x ) ? l o 2
f (a1 ) ? f (a2 ) ? … ? f (a9 ) ?
【答案】-9 【解析】 试题分析: f ( x) ? log 2

x 4

, 各 项 为 正 数 的 等 比 数 列 {an } 中 , a2 ?a5 ? a8 ? 8 , 则 .

x ? log 2 x ? 2 ,由等比中项的性质与已知条件可知 a5 ? 2 ,所以 4

9 f (a1 ) ? f (a2 ) ??? f (a9 ) ? log2 a1a2 ?a9 ?18 ? log2 a5 ?18 ? log2 29 ?18 ? ?9 .

考点:等比数列的性质和对数的运算性质

5

第 II 卷(非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释)

13.平面向量 a ? ( x, - 3) ,b ? (-2,1) ,c ? (1, y ) ,若 a ? (b ? c ) ,b ∥ ( a ? c ) ,则 b 与 c 的 夹角为 【答案】 【解析】 试题分析: 由 a ? (b ? c ) 得 a ? (b ? c ) ? 0 即 x ? y ? 1 ? 0 , 由 b ∥ (a ? c ) 得 x ? 2 y ? 5 ? 0 , .

? 2
? ? ?

? ? ?

? ? b ?c ? 解得 x ? 1, y ? 2 ,所以 c ? (1,2) ,向量 b 与 c 的夹角的余弦 cos? ? ? ? ? 0 ,因此夹角 b ?c


? . 2

考点:向量的位置关系与坐标运算 14. 如图, 某海事部门举行安保海上安全演习. 为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度, 在海岸上选取距离为 1 千米的两个观察点 C,D,在某天 10:00 观察到该航船在 A 处,此时 测得∠ADC=30°,3 分钟后该船行驶至 B 处,此时测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB =60°,则船速为 千米/分钟. (用含根号的式子表示)

【答案】

6 6

【解析】 试题分析: 在三角形 ACD 中, CD=1, ∠ADC=30°, ∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°, ∠DAC=45°,由正弦定理求得 AC=

2 ,在三角形 BCD 中,CD=1,∠BCD=45°,∠CDB=∠ 2
BC=

ADB+ ∠ ADC = 30°+60°=90° , 所 以

2 , 在 三 角 形 ABC 中 ,

6

AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos600 ?
考点:解三角形

6 6 ,因此船速为 . 6 2

2ab 为 a ,b 的调和平均数.如图, C 为线段 AB 上的点, AC ? a , a?b CB ? b , O 为 AB 的中点,以 AB 为直径作半圆.过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D ,连结 OD,AD,BD .过点 C 作 OD 的垂线,垂足为 E .则图中线段 OD 的长度为 a ,b 的算术平均 数,线段 的长度是 a ,b 的几何平均数,线段 的长度是 a ,b 的调和平均数.
15.设 a ? 0,b ? 0 ,则

【答案】CD;DE 【解析】 试题分析:由已知可知∠ADB 为直角,易得三角形 ACD 与三角形 DCB 相似,由相似比可知

CD 2 ? AC ? BC ,所以线段 CD 的长度是 a,b 的几何平均数;由已知易知三角形 CDE 与三
角形 ODC 相似,可得 DE ?
2

DC 2 ,即线段 DE 的长度为 a,b 的调和平均数. OD

考点:基本不等式的几何意义 评卷人 得分 三、解答题(题型注释)

16.如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? AC ,且 BC1 ? A1C .

(1)求证:平面 ABC1 ⊥平面 A1 ACC1 ; (2)若 D, E 分别为是 A1C1 和 BB1 的中点,求证: DE ‖平面 ABC1 . 【答案】 (1)见解析; (2)见解析
7

【解析】 试题分析: (1)由已知易知 A1 ACC1 为正方形,可证 A1C⊥平面 ABC1 ,因此平面 ABC1⊥平面 (2)方法一:取 A1 A 中点 F,连 EF,FD,易知平面 EFD ∥平面 ABC1 ,所以 ED ∥ A1 ACC1 ; 平面 ABC1 ;方法二:A1C 交 AC1 于 G 点连 BG,易证四边形 BEDG 为平行四边形,可证 DE ∥ 平面 ABC1. 试题解析: (1)证明:在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,有 A1 A ? 平 ABC .
AC ? 面ABC

∴ A1 A ? AC , 又 A1 A ? AC ,

∴ A1 ACC1 为正方形,∴ A1C ? AC1 . 又 BC1⊥A1C,且 AC1

BC1 ? C1

∴A1C⊥平面 ABC1 ,

而 A1C ? 面 A1 ACC1 则平面 ABC1⊥平面 A1 ACC1

(2)方法一:取 A1 A 中点 F,连 EF,FD, EF

AB , DF ∥ AC1

即平面 EFD ∥平面 ABC1 , 则有 ED ∥平面 ABC1 方法二:A1C 交 AC1 于 G 点连 BG, BE
DG ,则有 DE∥BG,即 DE ∥平面 ABC1.

考点:面面垂直的判定定理与线面平行的判定定理 17 .已知△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a , b , c ,向量 m ? ( a ? c, b ? a) ,

8

n ? ( a ? c , b ) ,且 m ? n .
(1)求角 C 的大小; B 2 A ? 2 sin 2 ? 1 ,判断△ ABC 的形状. (2)若 2 sin 2 2 【答案】 (1) 【解析】 试题分析: (1)通过向量的垂直可知 m ? n ? 0 ,由坐标运算并化简得 c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab , 结合余弦定理可 求得 C=

? ; (2)等边三角形. 3

? ?

? ; (2)利用倍角公式将条件变形化简得 cos A ? cos B ? 1 ,利用三角形内角和定 3

理和(1)可变形 为

? 1 sin A ? cos A ? 1 ,求得 A= ,因此三角形为等边三角形. 3 2 2
3

试题解析: (1)由题意得 m ? n ? (a ? c, b ? a)(a ? c, b) ? a 2 ? c2 ? b2 ? ab ? 0 , 即 c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab

a 2 ? b2 ? c2 1 π ? , 0 ? C ? π,?C ? 2ab 2 3 A B 2 ? 2 sin 2 ? 1 ,∴ 1 ? cos A ? 1 ? cos B ? 1 (2)∵ 2 sin 2 2 2π ? A) ? 1, ∴ cos A ? cos B ? 1, cos A ? cos( 3
由余弦定理得

cos C ?

∴ cos A ? cos

2π 3

cos A ? sin

2π 3

sin A ? 1 ,∴

1 sin A ? cos A ? 1 , 2 2

3

π π π ∴ sin( A ? ) ? 1 ,∵ 0 ? A ? π ,∴ A ? , B ? 6 3 3 ∴△ ABC 为等边三角形. 考点:1.向量的坐标运算;2.倍角公式;3.辅助角公式 18.某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重 量为 6 吨的乙型卡车.某天需运往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车须满载且只运送一 次.派用的每吨甲型卡车须配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆乙型卡车须 配 1 名工人, 运送一次可得利润 350 元. 问该公司如何派用两类卡车的车辆数可得最大利润? 【答案】派出 7 辆甲卡车和 5 辆乙卡车,获得的利润最大为 4900 元 【解析】 试题分析:根据题意列出约束条件和目标函数,作出可行域,通过平移目标函数线可知在直 线 x+y=12 与直线 2x+y=19 的交点处取最大值,联立两直线方程解得交点坐标(7,5) ,符合 实际意义,故当天派出 7 辆甲卡车和 5 辆乙卡车,获得的利润最大为 4900 元. 试题解析:设当天派出 x 辆甲卡车和 y 辆乙卡车,获得的利润是 z ? 450 x ? 350 y , x, y 满足
的条件是:

9

?0 ≤ x ≤ 8, 0 ≤ y ≤ 7, x, y ? N ? ? x ? y ≤ 12, ? ? 2 x ? y ≤ 19, ? ? 10 x ? 6 y ≥ 72
画出平面区域,如图

y 7

2x+y=19 x+y=12 x=8 y=7

O

8 10x+6y=72

x

? x ? y ? 12, ? x ? 7, 得? ? ?2 x ? y ? 19 ?y?5
当 z ? 450 x ? 350 y 经过点(7,5)时,

zmax ? 450 ? 7 ? 350 ? 5 ? 4900 元,
故当天派出 7 辆甲卡车和 5 辆乙卡车,获得的利润最大,是 4900 元. 考点:线性规划与最优解 19.设公差不为 0 的等差数列 {an } 的首项为 1,且 a2 , a5 , a14 构成等比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足

b b1 b2 1 ? ? … ? n ? 1- n ,n∈N*,求 {bn } 的前 n 项和 Tn . a1 a2 an 2

【答案】 (1) an ? 2n ? 1 ; (2) Tn ? 3 ? 【解析】

2n ? 3 . 2n

试题分析: (1)由 a2 , a5 , a14 构成等比数列可建立关于公差 d 的一个方程,解得公差 d=2,因 此 an ? 2n ? 1; (2)数列 {bn } 满足的条件对 n 取 n-1 时也成立,两等式左右两边相减可得 数列 {bn } 的通项公式为 bn ?

2n ? 1 2n ? 3 (n ? N ? ) ,再利用错位相减法求得 Tn ? 3 ? n . n 2 2

试题解析: (1)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0) ,则
2 ? a2 a14 ∵ a2 , a5 , a14 构成等比数列,∴ a5

10

即 (1 ? 4d )2 ? (1 ? 4d )(1 ? 13d ) ,解得 d=0(舍去) ,或 d=2. ∴ an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 . (2)由已知

b b1 b2 b 1 1 ? ? … ? n ? 1 ? n (n ? N ? ) ,当 n=1 时, 1 ? ; a1 a2 an 2 a1 2 bn b 1 1 1 1 ? 1 ? n ? (1 ? n ?1 ) ? n .∴ n ? n (n ? N ? ) . an 2 2 2 an 2
*

当 n≥2 时,

2n ? 1 (n ? N ? ) n 2 1 3 5 2n ? 1 1 1 3 2n ? 3 2n ? 1 又 Tn ? ? 2 ? 3 ? … ? n , Tn ? 2 ? 3 ? … ? n ? n?1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2n ? 1 3 1 2n ? 1 两式相减,得 Tn ? ? ( 2 ? 3 ? … ? n ) ? n?1 ? ? n?1 ? n?1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2n ? 3 ∴ Tn ? 3 ? . 2n
由(1) ,知 an ? 2n ? 1(n ? N ? ) ,∴ bn ? 考点:1.等差与等比数列的性质;2.数列的通项公式和求和公式;3.错位相减求数列和 20.已知几何体 A ? BCDE 的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直 角三角形,正视图为直角梯形.

(1)求此几何体的体积 V 的大小; (2)求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值; (3)求二面角 A-ED-B 的正弦值. 【答案】 (1)16; (2) 【解析】
10 5

; (3)

5 3



? S BCED ? AC ? 16 ; (2)取 EC 的 3 中点是 F,连结 BF,可证∠FBA 或其补角即为异面直线 DE 与 AB 所成的角,在△BAF 中,利
试题分析: (1)由三视图易得 AC⊥平面 BCE,则体积 V ? 用余弦定理可求得异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为
10 5

1

; (3)过 C 作 CG⊥DE 交 DE

11

于 G,连 AG,可证 DE⊥平面 ACG, 易知∠AGC 为二面角 A-ED-B 的平面角, 在△ACG 中, 可求得二面角 A-ED-B 的的正弦值为 AC⊥平面 BCE, 则 V ?
5 3



试题解析: (1)

1 3

? S BCED ? AC ? 16

∴几何体的体积 V 为 16. (2)取 EC 的中点是 F,连结 BF,则 BF//DE,∴∠FBA 或其补角即为异面直线 DE 与 AB 所成 的角.

在△BAF 中,AB= 4 2 ,BF=AF= 2 5 .∴ cos ?ABF ?

10 5



∴异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为

10 5

(3)AC⊥平面 BCE,过 C 作 CG⊥DE 交 DE 于 G,连 AG.可得 DE⊥平面 ACG, 从而 AG⊥DE,∴∠AGC 为二面角 A-ED-B 的平面角. 在△ACG 中,∠ACG=90°,AC=4,CG=

8 5 5

,∴ tan ?AGC ?

5 2

.∴ sin ?AGC ?

5 3



∴二面角 A-ED-B 的的正弦值为

5 3



考点:1.空间几何体的结构特征与三视图;2.空间几何中的线面角与二面角 21.设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 是函数 f ( x) ? (1)求 y1 ? y2 的值;

3 2 ? 图象上任意两点,且 x1 ? x2 ? 1 . 2 2x ? 2

n 1 2 (2)若 Tn ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? … ? f ( ) (其中 n ? N * ) ,求 Tn ; n n n 2 ( 3 ) 在 ( 2 ) 的 条 件 下 , 设 an ? ( n ? N* ) , 若 不 等 式 an ? an ?1 ? an ? 2 ? … Tn 1 ?a2n?1 ? loga (1 ? 2a) 对任意的正整数 n 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2
【答案】 (1)2; (2) Tn ? n ? 1 ; (3) (0, 2 ? 1) . 【解析】

12

试题分析: (1)由点在函数图象上满足函数解析式将 y1 ? y2 转化为关于 x1 , x2 的关系式,变 形 化 简 得 y1 ? y2 ? 2 ; ( 2 ) 由 ( 1 ) 可 知 , 2Tn ? [ f (0) ? f ( ] ? [ f ( ) ? f (

n n

1 n

n ?1 )] ? … n

n ?[ f ( ) ? f (0)] ? 2(n ? 1) ; n
(3)由(2)将不等式化成

2 2 2 1 ? ? … ? ? loga (1 ? 2a) , 构 造 数 列 n ?1 n ? 2 2n 2

Hn ?

2 2 2 ? ?…? , n ?1 n ? 2 2n

可 证 数 列 {H n } 是 单 调 递 增 数 列 , 因 此 ( H n )m i n ? H 1? 1, 要 使 不 等 式 恒 成 立 , 只 需
1 2 loga (1 ? 2a) ? 1 ,即 loga (1 ? 2a) ? log a a ,解得 0 ? a ? 2 ? 1 . 2

试题解析: (1) y1 ? y2 ?

2 2 3 2 3 2 ? 3?( x ? x ) ? x ? ? x 1 2 1 2 2 2 ? 2 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2

? 3?

4 ? 2(2 x1 ? 2 x2 ) 2 x1 ? x2 ? 2(2 x1 ? 2 x2 ) ? 2

? 3?

4 ? 2(2 x1 ? 2 x2 ) 2 ? 2(2 x1 ? 2 x2 ) ? 2

? 2.

(2)由(1)可知,当 x1 ? x2 ? 1 时, y1 ? y2 ? 2 ,

n n 2 1 n n n n n 1 n ?1 n ∴ 2Tn ? [ f (0) ? f ( ] ? [ f ( ) ? f ( )] ? … ?[ f ( ) ? f (0)] ? 2(n ? 1) , n n n n
∴ Tn ? n ? 1 . (3)由(2)得, an ?

由 Tn ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? … ? f ( ) 得, Tn ? f ( ) ? … ? f ( ) ? f ( ) ? f (0) ,

1 n

2 n

1 2 2 ? ,不等式 an ? an ?1 ? an ? 2 ? … ?a2n?1 ? loga (1 ? 2a) Tn n ? 1 2

2 2 2 1 2 2 2 ? ? … ? ? loga (1 ? 2a) ,设 Hn ? ? ?…? , n ?1 n ? 2 2n 2 n ?1 n ? 2 2n 2 2 2 2 2 则 Hn?1 ? , ? ? …? ? ? n?2 n?3 2n 2n ? 1 2n ? 2
即为 ∴ H n ?1 ? H n ?
2 2 2 2 2 ? ? ? ? ?0, 2n ? 1 2(n ? 1) n ? 1 2n ? 1 2n ? 2

∴数列 {H n } 是单调递增数列,∴ ( H n )min ? H1 ? 1 ,
1 要使不等式恒成立,只需 loga (1 ? 2a) ? 1 ,即 loga (1 ? 2a) ? log a a2 , 2
?a ? 1, ?0 ? a ? 1, ? ∴? 或 ?1 ? 2a ? 0, 解得 0 ? a ? 2 ? 1 . ?1 ? 2a ? 0, ? ? 2 2 ?1 ? 2a ? a , ?1 ? 2a ? a
13

故使不等式对于任意正整数 n 恒成立的 a 的取值范围是 (0, 2 ? 1) . 考点:1.构造法;2.不等式恒成立问题;3.对数不等式的求解

14


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