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成都市2015届高中毕业班第二次诊断性检测数学(文科)


成都市 2015 级高中毕业班第二次诊断性检测 数学(文科)
本试卷分选择题和非选择题两部分。第Ⅰ卷(选择题)1 至 2 页,第Ⅱ卷(非选择 题)3 至 4 页,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1、答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。 2、 答选择题时, 必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号。 3、答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4、所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5、考试结束后,只将答题卡交回。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项 中,只有一项题符合题目要求的。 1、设集合 P A、 ( ? 1 ,
1 2 )
?

?x |

x ? 1 ? 1? , Q ?

?x

| ? 1 ? x ? 2? ,

则P D、 ( 0

Q ?
, 2)





B、 ( ? 1 , 2 )

C、 (1 , 2 )

2、已知向量 a A、-8

? ( 2 , 1) , b ? ( 3 , 4 ) , c ( k , 2 )

。若 ( 3 a

? b ) // c

,则实数 k 的值为(



B、-6

C、-1
i) z ? 1 ? 2i
3

D、6 ,则 | z | 等于(
2 2

3、若复数 z 满足 (1 ? A、
10 2



B、

3 2

C、

D、

1 2
? 20 , a5 ? 10

4、设等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 4 A、-32 B、12 C、16 D、32 5、已知 m , n 是空间中两条不同的直线, ? 列命题正确的是( A、若 m C、若 m
? ?

,则 a 1 6 =(



,?

为空间中两个互相垂直的平面,则下


? ?

,则 m

B、若 m
// a

? ? ,n ? ?

,则 m

? n ??

? ? ,m ? ?

,则 m

D、若 ?
2 ,? 2)

? ? m ,n ? m

,则 n
3

6、 在平面直角坐标系中,经过点 P ( 2 ( A、 )
x
2

且离心率为

的双曲线的标准方程为

4

?

y

2

2

?1

B、

x

2

7

?

y

2

14

?1

C、

x

2

3

?

y

2

6

?1

D、

y

2

14

?

x

2

7

?1

7、已知函数

f ( x ) ? A s in ( ? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |?

?
2

)

的部分图象如图所示,现将函



f ( x ) 图象上的所有点向右平移

?
4

个单位长度得到函数 g ( x ) 的图象,则函数 g ( x ) 的解

析式为( A、 g ( x )


? 2 s in ( 2 x ?

?
4

)

B、 g ( x )

? 2 s in ( 2 x ?

3? 4

)

C、 g ( x )

? 2 cos 2 x

D、 g ( x )

? 2 s in ( 2 x ?

?
4
2

)

8、若 x 为实数,则“ A、充分不必要条件 C、充要条件

2 2

? x ? 2

2

”是 2

2 ?

x ? 2 x

? 3

成立的(



B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

9、 《九章算术》中将底面为长方形,且有一条侧 棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马” ,现有一阳马, 其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形,若该阳 马的顶点都在同一个球面上, 则该球的体积为 ( A、
8 6? 3



B、8

6?

C、6?

D、2 4 ?

10、执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 56,则判 断框中的条件可以是( A、 n C、 n
? 7?


? 7?

B、 n D、 n

? 6?

? 6?
n ? 2

11 、 已 知 函 数 ? a n ? 满 足 : 当
a n ? a n ?1 ? ( ? 1 ) ?
n



n? N

*

时,有 )

3 。则数列 ? a n ? 的前 200 项的和为(

A、300

B、200
f (x) ? m x

C、100

D、0 在区间 [1 , e ] 内有唯一零点,则

12 、已知函数
n ? 2 m ?1

? 1 ? n ln x ( m ? 0 , 0 ? n ? e )

的取值范围为(
e? 2 e ? e?1
2

) B、 [
2 e?1 , e 2 ? 1]

A、 [

,

e 2

? 1]

C、 [

2 e ?1

, 1]

D、 [1 ,

e 2

?1]

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡上。
1

13、已知 a

? 2

3

,b ? (

1 2

2

)3

,则 lo g 2 ( a b ) =



14、如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢蓝 球运动的等高条形图, 阴影部分的高表示喜欢该项运动的 频率,已知该年级男生女生各 500 名(假设所有学生都参 加了调查) ,现从所有喜欢蓝球运动的同学中按分层抽样 的方式抽取 32 人,则抽取的男生人数为 。 2 15、 已知抛物线 C : y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点为 F , 准线 l 与 x 轴的交点为 A , P 是抛物线 C 上的点,且 P F ? x 轴,若以 A F 为直径的圆截直线 A P 所得的弦长为 2,则实数 p 的值为 。 16、 已知函数
f (x) ? ? 1 2 x ? cos x
2

, 则不等式

f ( x ? 1) ? f (1 ? 3 x ) ? 0

的解集为



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (本小题满分 12 分) 已知函数
f (x) ? 3 s in x 2 cos x 2 ? cos
2

x 2

?

1 2



(Ⅰ)求函数 (Ⅱ)若△
sin B ? 2 sin C

f ( x ) 的单调递减区间。

ABC

的内角

A , B ,C

所对的边分别为

a , b , c , f ( A) ?

1 2

,a ?

3 ,

,求 c 。 18、 (本小题满分 12 分) 近年来,共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活,并慢慢改变了人们的出行 方式, 为了更好地服务民众, 某共享单车公司在其官方 APP 中设置了用户评价反馈系统, 以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价,现从评价系统中选出 200 条较为详细的评价 信息进行统计,车辆状况和优惠活动评价的 2×2 列联表如下: 对优惠活动好评 对优惠活动不满意 合计 对车辆状况好评 100 30 130 对车辆状况不满意 40 30 70 合计 140 60 200 (Ⅰ)能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评 间有关系? (Ⅱ)为了回馈用户,公司通过 APP 向用户随机派送骑行券。用户可以将骑行券用于 骑行付费,也可以通过 APP 转赠给好友。某用户共获得了 5 张骑行券,其中只有 2 张是 一元券。 现该用户从这 5 张骑行券中随机选取 2 张转赠给好友, 求选取的 2 张中至少有 1 张是一元券的概率。 参考数据:
P(K
2

? k)

0.150 2.072

0.100 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

参考公式: K 2

?

n (ad ? bc )

2

( a ? b )( c ? d )( a ? c )(b ? d )

,其中 n

? a ?b?c?d



19、 (本小题满分 12 分) 如 图 , D 是 A C 的 中 点 , 四 边 形 B D E F是 菱 形 , 平 面 ? FBD ? 60? , AB ? BC , AB ? BC ? 2 。 (Ⅰ)若点 M 是线段 B F 的中点,证明: B F ? 平面 A M C ; (Ⅱ)求六面体 A B C E F 的体积。 20、 (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C
: x a
2 2

B D E F?

平面

ABC



+

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的左右焦点分别为 F1
2 ?1 2

, F2

,左

顶点为 A ,上顶点为 B ( 0 , 1) ,△ A B F1 的面积为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l :
y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C



相交于不同的两点 M , N

, P

是线段 M N 的中点,

若经过点 F 2 的直线 m 与直线 l 垂直于点 Q ,求 | P Q 21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x ln x ? a x ? 1 , a ? R 。 (Ⅰ)当 x ? 0 时,若关于 x 的不等式 f ( x ) (Ⅱ)当 x ? (1 , ?
?)

| | F1Q | 的取值范围。

? 0

恒成立,求 a 的取值范围;
2

时,证明:

e ( x ? 1) e
x

? ln x ? x ? x



请考生在第 22、 23 题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分。 作答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 x O y 中,曲线 C 的参数方程为 ?
? ? ( 0 , ? ) 。在以坐标原点 O
?x ? 2 ? 3 cos ? ? ? y ? 2 s in ?

,其中 ? 为参数,

为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点 P 的极坐标
?

为(4

2 ,

?
4

)

,直线 l 的极坐标方程为 p s in ( ?

?
4

)?5

2 ? 0



(Ⅰ)求直线 l 的直角坐标方程与曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)若 Q 是曲线 C 上的动点, M 为线段 P Q 的中点,求点 M 到直线 l 的距离的最大值。 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ? 2 x ? 1 ? x ? 1 。 (Ⅰ)解不等式 f ( x ) ? 3 。 ( Ⅱ ) 记函数
a ? b ? c
2 2 2

f (x)

的最小值为 m ,若 a

,b ,c

均为正实数,且

1 2

a ? b ? 2c ? m

,求

的最小值。


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