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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分15导数的应用(二)


开卷速查(十五)

导数的应用(二)

A 级 基础巩固练 1.从边长为 10 cm×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小 正方形,作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为( A.12 cm3 C.144 cm3 B.72 cm3 D.160 cm3 )

解析:设盒子容积为 y cm3,盒子的高为 x cm,则 x∈(0,5).则 y= (10-2x)(16-2x)x=4x3-52x2+160x, ∴y′=12x2-104x+160.令 y′= 20 0,得 x=2 或 3 (舍去),∴ymax=6×12×2=144(cm3). 答案:C 1 2. 若 a>1, 则函数 f(x)=3x3-ax2+1 在(0,2)内零点的个数为( A.3 C.1 B.2 D.0 )

解析:f′(x)=x2-2ax,由 a>1 可知,f′(x)在 x∈(0,2)时恒为负, 8 即 f(x)在(0,2)内单调递减,又 f(0)=1>0,f(2)=3-4a+1<0,所以 f(x) 在(0,2)内只有一个零点. 答案:C 3.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20 cm,要使体积最大,则 其高为( ) B.100 cm 20 D. 3 cm

20 3 A. 3 cm C.20 cm

解析:设圆锥的体积为 V cm3,高为 h cm, 1 1 则 V=3π(400-h2)h=3π(400h-h3), 1 ∴V′=3π(400-3h2), 20 3 由 V′=0,得 h= 3 . 20 3 所以当 h= 3 cm 时,V 最大. 答案:A 4.若函数 y=aex+3x(x∈R,a∈R),有大于零的极值点,则实数 a 的取值范围是( A.(-3,0)
? 1 ? C.?-3,+∞? ? ?

) B.(-∞,-3) 1? ? D.?-∞,-3?
? ?

解析: 由题可得 y′=aex+3, 若函数在 x∈R 上有大于零的极值点,
? 3? 即 y′=aex+3=0 有正根,显然有 a<0,此时 x=ln?-a?.由 x>0,得 ? ?

参数 a 的范围为 a>-3.综上知,-3<a<0. 答案:A 5.已知 f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf′(x) -f(x)≤0,对任意正数 a,b,若 a<b,则必有( A.af(b)≤bf(a) C.af(a)≤bf(b) )

B.bf(a)≤af(b) D.bf(b)≤af(a)

xf′?x?-f?x? ?f?x?? f ?x ? 解析:设函数 F(x)= x (x>0),则 F′(x)=? ?′= . x2 ? x ?

因为 x>0,xf′(x)-f(x)≤0,所以 F′(x)≤0,故函数 F(x)在(0,+∞) f?a? f?b? 上为减函数. 又 0<a<b, 所以 F(a)≥F(b), 即 a ≥ b , 则 bf(a)≥af(b). 答案:A xf′?x?-f?x? 6. 已知定义在 R 上的偶函数 f(x), f(1)=0, 当 x>0 时有 x2 >0,则不等式 xf(x)>0 的解集为( A.{x|-1<x<0} C.{x|x>0} ) B.{x|x>1 或-1<x<0} D.{x|-1<x<1}

xf′?x?-f?x? 解析:当 x>0 时有 >0 , x2 即?
?f?x?? f ?x ? ?′>0,∴ x 在(0,+∞)上单调递增. ? x ?

∵f(x)为 R 上的偶函数,∴xf(x)为 R 上的奇函数. f ?x ? f ?x ? ∵xf(x)>0,∴x2 x >0,∴ x >0. f ?x ? f?1? ∵ x 在(0,+∞)上单调递增,且 1 =0, ∴当 x>0 时,若 xf(x)>0,则 x>1. 又∵xf(x)为 R 上的奇函数,∴当 x<0 时,若 xf(x)>0,则-1<x< 0. 综上,不等式的解集为{x|x>1 或-1<x<0}. 答案:B 7.设函数 f(x)=6lnx,g(x)=x2-4x+4,则方程 f(x)-g(x)=0 有 __________个实根.

2x2-4x-6 解析: 设 φ(x)=g(x)-f(x)=x -4x+4-6lnx, 则 φ′(x)= x
2



2?x+1??x-3? ,且 x>0.由 φ′(x)=0,得 x=3.当 0<x<3 时,φ′(x) x

<0; 当 x>3 时, φ′(x)>0.∴φ(x)在(0, +∞)上有极小值 φ(3)=1-6ln3 <0.故 y=φ(x)的图像与 x 轴有两个交点,则方程 f(x)-g(x)=0 有两个 实根. 答案:2 8.[2015· 山东潍坊联考]已知函数 f(x)的定义域为[-1,5],部分对 应值如下表: x f (x ) -1 1 0 2 2 1.5 4 2 5 1

f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示.

下列关于函数 f(x)的命题: ①函数 f(x)的值域为[1,2]; ②函数 f(x)在[0,2]上是减函数; ③如果当 x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1<a<2 时,函数 y=f(x)-a 最多有 4 个零点. 其中正确命题的序号是__________.

解析:由导数图像可知,当-1<x<0 或 2<x<4 时,f′(x)>0, 函数单调递增,当 0<x<2 或 4<x<5 时,f′(x)<0,函数单调递减, 当 x=0 和 x=4 时,函数取得极大值 f(0)=2,f(4)=2,当 x=2 时,函 数取得极小值 f(2),又 f(-1)=f(5)=1,所以函数的最大值为 2,最小 值为 1,值域为[1,2],①正确;②正确;因为当 x=0 和 x=4 时,函数 取得极大值 f(0)=2,f(4)=2,要使当 x∈[-1,t]时函数 f(x)的最大值是 2,当 2≤t≤5 时,t 的最大值为 5,所以③不正确;由 f(x)=a 知,因 为极小值 f(2)=1.5, 极大值为 f(0)=f(4)=2, 所以当 1<a<2 时, y=f(x) -a 最多有 4 个零点,所以④正确.故真命题的序号为①②④. 答案:①②④ 9.若函数 f(x)=2x3-9x2+12x-a 恰好有两个不同的零点,则 a 的值为__________. 解析:由题意得 f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2),由 f′(x) >0,得 x<1 或 x>2,由 f′(x)<0,得 1<x<2,所以函数 f(x)在(- ∞,1),(2,+∞)上单调递增,在(1,2)上单调递减,从而可知 f(x)的极 大值和极小值分别为 f(1), f(2), 若欲使函数 f(x)恰好有两个不同的零点, 则需使 f(1)=0 或 f(2)=0,解得 a=5 或 a=4. 答案:5 或 4 1 10. 若函数 f(x)=3x3-a2x 满足: 对于任意的 x1, x2∈[0,1]都有|f(x1) -f(x2)|≤1 恒成立,求 a 的取值范围.

解析:由题意得,在[0,1]内,f(x)max-f(x)min≤1.f′(x)=x2-a2,则 1 函数 f(x)=3x3-a2x 的极小值点是 x=|a|.若|a|>1,则函数 f(x)在[0,1]上 4 2 3 单调递减, 故只要 f(0)-f(1)≤1, 即只要 a2≤3, 即 1<|a|≤ 3 ; 若|a|≤1, 1 2 1 此时 f(x)min=f(|a|)=3|a|3-a2|a|=-3a2|a|,由于 f(0)=0,f(1)=3-a2, 3 1 2 故当 |a|≤ 3 时, f(x)max = f(1) ,此时只要 3 - a2 + 3 a2|a|≤1 即可,即
?2 ? 2 3 2 2 3 a2?3|a|-1?≤3,由于|a|≤ 3 ,故3|a|-1≤3× 3 -1<0,故此式成立; ? ?

3 2 当 3 <|a|≤1 时,此时 f(x)max=f(0),故只要3a2|a|≤1 即可,此不等式
? 2 3 2 3? ?. 显然成立.综上,a 的取值范围是?- 3 , 3 ? ?

B级

能力提升练

11.已知函数 f(x)=sinx(x≥0),g(x)=ax(x≥0). (1)若 f(x)≤g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; 1 (2)当 a 取(1)中的最小值时,求证:g(x)-f(x)≤6x3. 解析:(1)令 h(x)=sinx-ax(x≥0),则 h′(x)=cosx-a. ①若 a≥1,h′(x)=cosx-a≤0, h(x)=sinx-ax(x≥0)单调递减,h(x)≤h(0)=0, 则 sinx≤ax(x≥0)成立. π? ? ②若 0<a<1,存在 x0∈?0,2?,使得 cosx0=a,
? ?

当 x∈(0,x0),h′(x)=cosx-a>0,h(x)=sinx-ax(x∈(0,x0))单调 递增,h(x)>h(0)=0,不合题意. ③若 a≤0,结合 f(x)与 g(x)的图像可知显然不合题意. 综上可知,a 的取值范围是[1,+∞). (2)当 a 取(1)中的最小值为 1 时, g(x)-f(x)=x-sinx. 1 设 H(x)=x-sinx-6x3(x≥0), 1 则 H′(x)=1-cosx-2x2. 1 令 G(x)=1-cosx-2x2, 则 G′(x)=sinx-x≤0(x≥0), 1 所以 G(x)=1-cosx-2x2 在[0,+∞)上单调递减,此时 G(x)=1- 1 cosx-2x2≤G(0)=0, 1 即 H′(x)=1-cosx-2x2≤0, 1 所以 H(x)=x-sinx-6x3 在 x∈[0,+∞)上单调递减. 1 所以 H(x)=x-sinx-6x3≤H(0)=0, 1 则 x-sinx≤6x3(x≥0). 1 所以,当 a 取(1)中的最小值时,g(x)-f(x)≤6x3.

12.已知函数 f(x)=ex-m-x,其中 m 为常数. (1)若对任意 x∈R 有 f(x)≥0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)当 m>1 时,判断 f(x)在[0,2m]上零点的个数,并说明理由. 解析:(1)依题意,可知 f(x)在 R 上连续, 且 f′(x)=ex-m-1, 令 f′(x)=0,得 x=m. 故当 x∈(-∞,m)时,ex-m<1,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(m,+∞)时,ex-m>1,f′(x)>0,f(x)单调递增. 故当 x=m 时,f(m)为极小值也是最小值. 令 f(m)=1-m≥0,得 m≤1, 即对任意 x∈R,f(x)≥0 恒成立时,m 的取值范围是(-∞,1]. (2)当 m>1 时,f(m)=1-m<0. ∵f(0)=e-m>0,f(0)· f(m)<0,且 f(x)在(0,m)上单调递减. ∴f(x)在(0,m)上有一个零点. 又 f(2m)=em-2m,令 g(m)=em-2m, ∵当 m>1 时,g′(m)=em-2>0, ∴g(m)在(1,+∞)上单调递增. ∴g(m)>g(1)=e-2>0,即 f(2m)>0. ∴f(m)· f(2m)<0, ∴f(x)在(m,2m)上有一个零点.

故 f(x)在[ 0,2m]上有两个零点.


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