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北师大版数学选修1-1教案:第3章-拓展资料:导数在证明恒等式中的应用

拓展资料:导数在证明恒等式中的应用
一、预备知识 定理 1 若函数 f(x)在区间 I 上可导,且 x∈I,有 f′(x)=0,则 x∈I,有 f(x) =c(常数). 证明 在区间 I 上取定一点 x0 及 x∈I.显然,函数 f(x)在[x0,x]或[x,x0] 上满足拉格朗日定理,有 f(x)-f(x0)=f′(ξ)(x-x0),ξ 在 x 与 x0 之间. 已知 f′(ξ)=0,从 f(x)-f(x0)=0 或 f(x)=f(x0) 设 f(x0)=c,即 x∈I,有 f(x)=c. 定理 2 若 x∈I(区间),有 f′(x)=g′(x),则 x∈I,有 f(x)=g(x)+c,其中 c 是常数. 二、应用例题

证法 f(x)=arcsinx+arccosx,在(-1,1)上是常值函数. 证明 设 f(x)=arcsinx+arccosx,x∈(-1,1),有

f′(x)=(arcsinx+arccosx)′ 由定理 1 知,f(x)=c,即 arcsinx+arccosx=c 其中 c 是常数.

证明 设 f(x)=arctanx+arccotx,c∈R,有

由定理 1 知,arctanx+arccotx=c,其中 c 是常数.

例 3 证明:arccos(-x)+arccosx=π,x∈[-1,1]. 证明 设 f(x)=arccos(-x)+arccosx,x∈[-1,1], 于是 f′(x)=(arccos(-x)+arccosx)′

由定理 1 知,arccos(-x)+arccosx=c,其中 c 是常数. 令 x=1,则 c=arccos(-1)+arccos1=π, 于是 arccos(-x)+arccosx=π.

x∈(1,+∞)有

例 5 证明:sin(3arcsinx)+cos(3arccosx)=0,x∈[-1,1] 证明 设 f(x)=sin(3arcsinx)+cos(3arccosx),则 x∈[-1,1],有 f′(x)=(sin(3arcsinx)+cos(3arccosx))′

由定理 1 知,sin(3arcsinx)+cos(3arccosx)=c,其中 c 是常数. 令 x=-1,则 c=sin(3arcsin(-1)+cos(3arccos(-1))=0 于是, x∈[-1,1],有 sin(3arcsinx)+cos(3arccosx)=0.

于是,

x∈[0,1],有

证明

x∈R,有

即 x∈R,有

与 g′(x)=0. 从而 f′(x)=g′(x),由定理 1 知,f(x)=g(x)+c

与 g′(x)=-1. 从而,f′(x)=g′(x),由定理 1 知,f(x)=g(x)+c.

从而,c=0.于是,

解 设 F(x)=f1(x)-f2(x)

由定理 1 知,

x∈R(x≠±1),有

(2)

x∈(-1,1),令 x=0,则

于是, 例 11 求证:logaxy=logax+logay,其中 x>0,y>0. 证明 将 a,y 看作固定常数,x 看作变量,设 f(x)=logaxy-logax-logay,x∈(0,+∞).

则 x∈(0,+∞),有

由定理 1 知, (x)=c 或 logaxy-logax-logay=c. 令 x=1, 则 c=logay-logay =0,从而 logaxy-logax-logay=0, 即 logaxy=logax+logay. 例 12 求 x∈R,满足等式 acosx-cos(ax+b2)=a-1-b2 的所有实数对(a, b)全体, 解 设 f(x)=acosx-cos(ax+b2), x∈R, 要使 x∈R, 有 f(x)=a-1-b2(常数), 则根据定理 1, x∈R,应有 f′(x)=0,即 f′(x)=-asinx+asin(ax+b2)

(1)a=0,由题设等式知,-cosb2=-1-b2 或 cosb2=1+b2. 解得 b=0,所以求得符合要求的一个实数对为(0,0).

(a-1)x+b2=2kπ 或 (a-1)x=2kπ-b2,k∈Z 解得 a=1,b2=2kπ,并代入题设等式,有 cosx-cos(x+2kπ)=-2kπ, 并且仅当 k=0,上式才成立,从而 b=0,所以求得符合要求的实数对为(1, 0),

(a+1)x+b2=(2k+1)π,k∈Z 解得 a=-1,b2=(2k+1)π,并代入题设等式,有 cosx+cos[(2k+1)π-x] =2+b2,即 2+b2=0, 显然,这样的 b 不存在. 综上所述,所求实数对的集合为{(0,0),(1,0)}.

例 14 证明: -sinxsiny

x, y∈Rsin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny,cos(x+y)=cosxcosy

证明 设 f(x,y)=sin(x+y)-sinxcosy-cosxsiny,g(x,y)=cos(x+y)- cosxcosy+sinxsiny.只须证明 f(x,y)=g(x,y)=0 即可. 用反证法.假设 f(x,y)≠0,由于 f′x(x,y)=cos(x+y)-cosxcosy+sinxsiny=g(x,y), f′y(x,y)=cos(x+y)+sinxsiny-cosxcosy=g(x,y), 则 df(x,y)=f′x(x,y)dx+f′y(x,y)dy=g(x,y)d(x+y), (3) 同理,dg(x,y)=-f(x,y)d(x+y). (4)

由(3)与(4),得

或 -g(x,y)dg(x,y)=f(x,y)df(x,y), 从而 f2(x,y)+g2(x,y)=c. 由假设 f(x,y)≠0,则 c 为不等零的常数. 令 x=y=0,代入上式,有 f2(0,0)+g2(0,0)=0,这与 c≠0 矛盾.于是, f(x,y)=0,由(3)式知,g(x,y)=0.

例 15 已知

x≠2kπ,k∈Z.

求证: 证明 已知

对上式两端同时求导,有

类似可证: 已知 求证:

x≠2kπ, k∈Z,

例 16 证明:

2sinxcosx+4sin2xcos2x+…+2nsinnxcosnx= 证明 已知

对上式两端求导,得 2sinxcosx+4sin2xcos2x+…+2nsinnxcosnx

注 欲证等式的左端 2sinxcosx+4sin2xcos2x+…+2nsinnxcosnx 恰为 sin2x+sin22x+…+sin2nx 的导函数,所以证明开始应用了公式

例 17 已知

证明 对已知等式取自然对数,有

对上式两端求导,有

对上式两端求导,得 令 x=1,则 令 x=-1,则 例 19 证明:若(a+b+c)2=3(bc+ca+ab),则 a=b=c,其中 a,b,c 为常 数. 证明 将 a 看作变量,b,c 看作固定常量,等式两端同时对 a 求导,有

由已知条件知,a、b、c 为对称的,所以有

将(2)代入(1),化简得 a=c.同理 a=b,从而,a=b=c.


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