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学海导航数学(文)总复习(第1轮)课件 第14讲 函数模型及其应用_图文

了解指数函数、对数函数、幂函数、 分段函数等函数模型的意义,并能 建立简单的数学模型,利用这些知 识解决应用问题. 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型, 不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述. 那么,面临一个实际问题,应当如何选择恰当 的函数模型来刻画它呢?事实上,要顺利地建 立函数模型,首先要深刻理解基本函数的图象 和性质,熟练掌握基本函数和常用函数的特点, 并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识. 一般而言,有以下8种函数模型: ①一次函数模型:f ? x ? ? kx ? b(k、b为常数,k ? 0); k ②反比例函数模型:f ? x ? ? ? b(k、b为常数,k ? 0); x ③二次函数模型:f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c (a、b、c为常数,a ? 0),二次函数模型是高中阶段应用 最为广泛的模型,在高考的应用题考查中最为常见的; ④指数型函数模型:f ? x ? ? ka x ? b (k、a、b为常数,k ? 0,a ? 0且a ? 1); ⑤对数型函数模型:f ? x ? ? m log a x ? n (m、n、a为常数,m ? 0,a ? 0且a ? 1); ⑥幂函数型模型:f ? x ? ? ax n ? b (a、b、n为常数,a ? 0,n ? 0); ⑦“勾”函数模型:f ? x ? ? x ? (k为常数,k ? 0), 这种函数模型应用十分广泛,因其图象是一个 “勾号”,故我们把它称之为“勾”函数模型; ⑧分段函数模型:这个模型实则是以上两种或 多种模型的综合,因此应用也十分广泛. 1.f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当 x∈(4,+∞)时,对 这三个函数的增长速度进行比较,下列选项正确的是( B ) A.f(x)>g(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) B.g(x)>f(x)>h(x) D.f(x)>h(x)>g(x) 2.在某种新型材料的研制中, 实验人员获得了如下一 组数据: x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数 据的规律,其中最接近的一个是( A.y=2x-2 C.y=log2x ) 1 2 B.y=2(x -1) 1x D.y=(2) 【解析】 将各组数据代入验证,选 B. 3.某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入客运, 据市场分析,每辆客车营运的总利润 y 万元与营运年数 x (x ∈N*)的关系为 y=-x2+12x-25, 则为使其营运年平均利润 最大,每辆客车营运年数为( A.2 C.5 B.4 D.6 ) y -x2+12x-25 【解析】 平均利润 = x x 25 =12-(x+ ) x ≤12-10=2, 25 当且仅当 x= ,即 x=5 时,等号成立,故选 C. x y 易错点:平均利润为 确定其最大值条件,易错解为求 y x 取最值的条件. 4.如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始 时,漏斗盛满液体,经过 3 分钟漏完.已知圆柱中液面上 升的速度是一个常量,H 是圆锥形漏斗中液面下落的高度, 则 H 与下落时间 t(分)的函数关系表示的图象只可能是( ) 【解析】采用“取中判定法”,由于所给的圆锥形漏 1 斗上口大于下口,当时间取 t 时,漏斗中液面下落的高度不 2 1 会达到漏斗高度的 ,对比四个选项的图象可知选 B. 2 5.某种商品降价 20%后, 欲通过三次提价恢复原价, 3 则平均应提价 10 2 -1 . 【解析】设每次应提价 x(0<x<1),令原价为 a 元, 10 10 则 80%a×(1+x) =a?(1+x) = ?x= -1. 8 2 3 3 3 一 已知函数模型问题 【例 1】 (2012· 厦门云中)某公司对营销人员有如下规定: (ⅰ ) 年销售额 x 在 8 万元以下,没有奖金;(ⅱ)年销售额 x(万元),x ∈[8,64]时,奖金为 y 万元,且 y=logax,y∈[3,6],且年销售额 越大, 奖金越多; (ⅲ)年销售额超过 64 万元, 按年销售额的 10% 发奖金. (1)求奖金 y 关于 x 的函数解析式; (2)某营销人员争取年奖金 y∈[4,10](万元),年销售额 x 在什么范围内. 【分析】 奖金 y 随销售额 x 的不同取值而适用不 同函数模型,故为分段函数,找准各段内对应解析式, 分段研究,分段求值. 【解析】 (1)依题意 y=logax 在 x∈[8,64]上为增函 ?loga8=3 数,所以有? ?a =2 , ?loga64=6 ?0 ?0≤x<8? ? ?log2x ?8≤x≤64? 所以 y=? ?1 x ?x>64? ? 10 ? (2)易知 x≥8. 当 8≤x≤64 时,要使 y∈[4,10], 则 4≤log2x≤10?16≤x≤1024, 所以 16≤x≤64. 1 当 x>64 时,要使 y ∈ [4,10] ,则 x ∈ [4,10] ? 10 40≤x≤100,所以 64<x≤100. 综上可得,当年销售额 x 在[16,100](万元)内时,y ∈[4,10](万元). 【点评】已知函数模型问题应根据题中条件找准对应 量,列出函数解析式;再转化为给定定义域上的“给值求 值、给定范围求范围或最值”问题,对自变量的分类很重 要! 素材1 某地区的一种特色水果上市时间能持续 5 个月,预测 上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势,而 中期又将出现供大于求使价格连续下跌,现有三种价格模 拟函数:f(x)=p· qx,f(x)=logqx+p,f(x)=(x-1)(x-q)2+ p(以上三式中 p,q 均为常数,且 q>2). (1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数,

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