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2.2.1对数与对数运算(第1课时)课件1 新人教A版必修1


2.2.1 对数与对数运算
(第 一 课 时)

恩格斯说,对数的发明与解析几何的创立、微积分的建立是 17 世纪数学史上 的 3 大成就。

伽利略说,给我空间、时间及对数,我可以创造一个宇宙。

布里格斯(常用对数表的发明者)说,对数的发明,延长了天文学家的寿命。

问题 1:在新课标高中数学 A 版必修①中 P57 第二章 2.1.2 的例 8 中,我们能从

y ? 13?1.01x 中,算出任意一个年头 x 的人口总数.反之,如果问”哪一年的
人口达到 18 亿,20 亿,30 亿……”,该如何解决?

2

问题 2:在这些式子中, x 分别等于多少?
在这三个式子中,都是已知底数和幂,求指数 x。如何求指数 x?这是本 节课要解决的问题。这一问题也就是:

若a x ? N,已知a和N如何求指数x(其中,a ? 0且a ? 1 ) ?
为了解决这一类问题古代的数学家们创造了“对数”来表示 x,即
对数的定义: 一般地,若 a x ? N (a ? 0, 且a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数, 记作

x ? loga N

a 叫做对数的底数,N 叫做真数.

注意: ①底数的限制:a>0 且 a≠1; ②对数的书写格式;
log 3 对数恒等式: a ○
a

N

?N.

log a N
两种特殊的对数: 1.常用对数:以 10 为底的对数;

log10 N简记为lg N
2.自然对数:以无理数 e

? 2.71828 ...为底的对数;

loge N 简记为 ln N

问题 3: 由对数的定义知, 对数由指数式转化而来, 那么指数式 a x ? N 与对数式 x ? loga N 之间的明确的关系是什么?怎样应用?

我们可以由指数式得到对数式,也可以由对数式得到指数式,即





即 指数式 对数式 ? 幂底数 ← a → 对数底数 指数 ← x → 对数 幂 ←

N →

真数

a x ? N 中的 a ? 0且a ? 1 , 问题 4: 我们要注意到, 因此, log a N ? x 也要求 a ? 0且a ? 1 ;
还有 log a N ? x 中的真数 N 能取什么样的数呢?这是为什么?

因为 a ? 0且a ? 1 ,所以 a ? N ? 0 。因此, loga N ? x 中真数 N 也要求大于零,即
x

负数与零一定没有对数。

例 1 指数式化为对数式: (1) 41 ? 4,61 ? 6,7.81 ? 7.8 (2) 4 ? 1,6 ? 1,7.8 ? 1
0 0 0

解: 对数式是 (1) log4 4 ? 1,log6 6 ? 1,log7.8 7.8 ? 1 (2) log4 1 ? 0,log6 1 ? 0,log7.8 1 ? 0

问题 5:由例 1 中的 log4 4 ? 1,log6 6 ? 1,log 7.8 7.8 ? 1 与 log4 1 ? 0,log6 1 ? 0,log7.8 1 ? 0 , 我们大胆猜测,可以发现什么规律?怎么证明?
结论: loga 1 ? 0,loga a ? 1(其中,a ? 0且a ? 1 ). 证明: 把a ? a, a ? 1(其中,a ? 0且a ? 1 )化为对数式.即得到上式结论。
1 0

例 2.求下列各式的值 (1) 2
log2 3 4 log 100 ; 0 . 5 0 . 5 ? _ _ _。 ? ___ ; 3l o 3g ? ___ __

(2) log2 23 ? ___ ;

4 log ? 3 3

; __ _ log0.5 0.5100 ? _____ 。

解: (1)3; 4; 100. (2)3; 4; 100.

问题 6:由例 2 中的 2 个小题,请同学们大胆猜测,可以发现什么规律? 怎样证明?

结论:对数恒等式, a

log a N

? N , loga an ? n 。

证明: (1)由 a x ? N 与 x ? loga N 得 a (2)由 a ? a 得 a
n n log a N

log a N

?N;

?N。

例 3. 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1)5 =625
4

(2) 2 ?6 ?

(4)

log3 9 ? 2

1 64 (5) log5 125 ? 3

1 m ( (3) ) ? 5.73 3 (6) log 1 16 ? ?4
2

解:(1)log5 625 ? 4

1 (2) lo g ?? 2 64

6

(3) lo .3 m7 1 g 5?
3

(4) 32 ? 9

( 5 )35?

125

1 ( 6 ) ( ?4)? 2

16

例 4. 求下列各式中 x 的值:

2 (1) log 64 x ? ? 3

(2) log 8 x ?

l g 1 0? 0 x (4)- ln e2 ? x 6 (3)

2 2 ? ? 1 2 3 ?2 解: (1)因为 log 64 x ? ? ,则 x ? 64 3 ? (4 ) 3 ? 4 ? 3 16

(2)因为 log x 8 ? 6 ,所以 x ? 8, x ? 8 ? (2 ) ? 2 ?
6

1 6

1 3 6

1 2

2

(3)因为 lg100 ? x , 所以 10 ? 100,10 ? 10 , 于是x=2
x x 2
2 (4)因为 - ln e ? x ,所以 ln e ? ? x,e ? e ,于是x ? ?2

2

2

?x

小结:

1.对数定义(关键)

2.指数式与对数式互换(重点) 3.求值(重点)

作 :



1. P68 题 1,2,3,4; 2.课外阅读:P68 对数的发明.


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