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2017届高考数学二轮复习第2部分专题一三角函数与解三角形必考点文


专题一

三角函数与解三角形
类型一 学会踩点

必考点一 三角函数图象与性质

3 ? π? 2 [例 1] (本题满分 12 分)已知函数 f(x)=cos x?sin?x+ ?- 3cos x+ ,x∈R. 3? 4 ? (1)求 f(x)的最小正周期;

? π π? (2)求 f(x)在闭区间 x∈?- , ?上的最大值和最小值. ? 4 4?
3 1 3 3 ?1 ? 2 解:(1)由已知得 f(x)=cos x?? sin x+ cos x?- 3cos x+ = sin x?cos x- 4 2 2 2 2 ? ? cos x+
2

3 (2 分) 4

1 3 3 1 3 = sin 2x- (1+cos 2x)+ = sin 2x- cos 2x(4 分) 4 4 4 4 4 π? 1 ? = sin?2x- ?.(6 分) 3? 2 ? 2π 所以,f(x)的最小正周期 T= =π .(7 分) 2 π? ? π ? π π? (2)因为 f(x)在区间?- ,- ?上是减函数,在区间?- , ?上是增函数.(10 分) 12? ? 4 ? 12 4 ?

f?- ?=- ,f?- ?=- ,f? ?= .(11 分) 4 ? 12? 2 ?4? 4 ? 4?
1 1 ? π π? 所以,函数 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值为 ,最小值为- .(12 分) 4 2 ? 4 4? 评分细则:得分点及踩点说明 (1)第(1)问无化简过程,直接得到 f(x)= π? 1 ? sin?2x- ?,扣 5 分.每一步用公式正确就得分. 3? 2 ? (2)化简结果错误,但中间某一步正确,给 2 分. 1 ?π ? 1 1 1 ? π? (3)第(2)问只求出 f?- ?=- ,f? ?= 得出最大值为 ,最小值为- ,得 1 分. 4 ?4? 4 4 4 ? 4? (4)若单调性出错,只得 1 分. (5)单调性正确,但计算错误,扣 2 分. π (6)若求出 2x- 的范围,再求函数的最值,同样得分. 3

? π?

1

? π?

1

?π ? 1

1

π? ? 1.已知函数 f(x)=4cos ω x?sin?ω x+ ?(ω >0)的最小正周期为 π . 4? ? (1)求 ω 的值;

? π? (2)讨论 f(x)在区间?0, ?上的单调性. 2? ?
π? ? 解:(1)f(x)=4cos ω xsin?ω x+ ? 4? ? =2 2sin ω xcos ω x+2 2cos ω x = 2(sin 2ω x+cos 2ω x)+ 2 π? ? =2sin?2ω x+ ?+ 2. 4? ? 因为 f(x)的最小正周期为 π ,且 ω >0, 2π 所以 =π ,故 ω =1. 2ω π? ? (2)由(1)知,f(x)=2sin?2x+ ?+ 2. 4? ? π π π 5π 若 0≤x≤ ,则 ≤2x+ ≤ . 2 4 4 4 π π π π 当 ≤2x+ ≤ ,即 0≤x≤ 时,f(x)单调递增; 4 4 2 8 π π 5π π π 当 ≤2x+ ≤ ,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递减. 2 4 4 8 2
2

? π? ?π π ? 综上可知,f(x)在?0, ?上单调递增,在? , ?上单调递减. 8? ? ?8 2?
类型二 学会审题 π π? π ? [例 2] 已知函数 f(x)= 3sin(ω x+φ )?ω >0,- ≤φ < ?的图象关于直线 x= 对 2 2? 3 ? 称,且图象上相邻两个最高点的距离为 π . (1)求 ω 和 φ 的值; 2π ? 3π ? 3 ?π ?α ? ? (2)若 f? ?= ? <α < ?,求 cos?α + ?的值. 3 ? 2 ? ?2? 4 ?6 ? 审题路线图 (1) 条件:f?x?图象上相邻两个最高点距离为π

f?x?的周期为π

2

ω =2 π 条件:f?x?图象关于直线x= 对称 3

π π 2? +φ =kπ + ?k∈Z? 3 2

π φ =- 6 3 ?α ? (2) 条件:f? ?= ?2? 4

π? 1 ? sin?α - ?= 6? 4 ?

π? 15 ? cos?α - ?= 6 4 ? ?

3π ? 3+ 15 ? cos?α + ?= 2 ? 8 ? [规范解答] (1)因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为 π , 2π 所以 f(x)的最小正周期为 T=π ,从而 ω = =2.

T

3

π 又因为 f(x)的图象关于直线 x= 对称, 3 π π 所以 2? +φ =kπ + ,k∈Z. 3 2 π π 由- ≤φ < ,得 k=0, 2 2 π 2π π 所以 φ = - =- . 2 3 6 3 ?α ? ? α π? (2)由(1)得 f? ?= 3sin?2? - ?= , 2 6? 4 ?2? ? π? 1 ? 所以 sin?α - ?= . 6? 4 ? π 2π 由 <α < , 6 3 π π 得 0<α - < , 6 2 π? ? 所以 cos?α - ?= 6? ? π? 2? 1-sin ?α - ?= 6? ? 15 ?1?2 1-? ? = . 4 ?4?

π? π? 3π ? ?? ? 所以 cos?α + ?=sin α =sin??α - ?+ ? 6? 6? 2 ? ? ?? π? π π? π ? ? =sin?α - ?cos +cos?α - ?sin 6 6? 6 6 ? ? ? 1 3 15 1 = ? + ? 4 2 4 2 = 3+ 15 . 8

2.(2016?山东临沂一模)已知函数 f(x)=2cos ω x-1+2 3cos ω xsin ω x(0<ω <1), π 直线 x= 是 f(x)图象的一条对称轴. 3 (1)试求 ω 的值; (2)已知函数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 然后再向 π? 6 2π ? ? π? 左平移 个单位长度得到的,若 g?2α + ?= ,α ∈?0, ?,求 sin α 的值. 3? 5 2? 3 ? ? π? ? 2 解:f(x)=2cos ω x-1+2 3cos ω xsin ω x=cos 2ω x+ 3sin 2ω x=2sin?2ω x+ ?. 6? ? π (1)由于直线 x= 是函数 f(x)= 3

2

4

π? ? 2sin?2ω x+ ?图象一条对称轴, 6? ? ∴sin?

?2π ω +π ?=±1. ? 6? ? 3

2π π π ∴ ω + =kπ + (k∈Z), 3 6 2 3 1 ∴ω = k+ (k∈Z). 2 2 1 又 0<ω <1,k∈Z,从而 k=0,∴ω = . 2

? π? (2)由(1)知 f(x)=2sin?x+ ?, 6? ?
由题意可得

g(x)=2sin? ?x+ 3 ?+ ?, ? 6? ?2?
1 即 g(x)=2cos x. 2 π? π? 6 ? ? ∵g?2α + ?=2cos?α + ?= , 3? 6? 5 ? ? π? 3 ? ∴cos?α + ?= . 6? 5 ?

?1?

2π ? π ?

? π? 又 α ∈?0, ?, 2? ?
π π 2π ∴ <α + < , 6 6 3 π? 4 ? ∴sin?α + ?= , 6? 5 ? π? π? ?? ∴sin α =sin??α + ?- ? 6? 6? ?? π? π π? π ? ? =sin?α + ?cos -cos?α + ?sin 6? 6? 6 6 ? ? 4 3 3 1 4 3-3 = ? - ? = . 5 2 5 2 10 类型三 学会规范 [例 3] (本题满分 12 分)已知函数 f(x)=a?(b-a),其中向量 a=(cos ω x,0),b=( 3 sin ω x,1),且 ω 为正实数. (1)求 f(x)的最大值; 1 (2)对任意 m∈R,函数 y=f(x),x∈[m,m+π )的图象与直线 y= 有且仅有一个交点,求 2
5

ω 的值,并求满足 f(x)= [考生不规范示例]

3-1? ?π 7π ?? ?x∈? , ??的 x 值. 2 ? ?12 12 ??

解:(1)∵f(x)=a?(b-a)=a?b-|a| = 3cos ω xsin ω x+0-cos ω x= =
2

2

3 2 sin 2ω x-cos ω x 2

π? 1 3 1+cos 2ω x ? sin 2ω x- =sin?2ω x- ?- 6? 2 2 2 ?

π? 1 ? 又∵-1≤sin?2ω x- ?≤1,∴f(x)的最大值为 . 6? 2 ? 1 (2)函数 f(x)与直线 y= 有且只有一个交点, 2 2π ∴f(x)的周期为 π ,∴ =π ,∴ω =2, ω π? 1 ? ∴f(x)=sin?4x- ?- , 6? 2 ? π? 1 3-1 ? ∴sin?4x- ?- = , 6? 2 2 ? π? 3 ? ∴sin?4x- ?= , 6 2 ? ? ∵x∈?

?π ,7π ?,∴4x∈?π ,7π ?, ? ?3 ? 3 ? ?12 12 ? ?

π ?π 13π ? ∴4x- ∈? , , 6 ? 6 ?6 ? π π 2π π 5π ∴4x- = 或 ,即 x= 或 x= . 6 3 3 8 24 [规范解答] (1)∵a?b= 3cos ω xsin ω x+0?1 = 3 sin 2ω x.(2 分) 2
2

∴f(x)=a?(b-a)=a?b-|a| = = = 3 2 sin 2ω x-cos ω x 2 3 1+cos 2ω x sin 2ω x- 2 2

3 1 1 sin2ω x- cos 2ω x- (4 分) 2 2 2

π? 1 ? =sin?2ω x- ?- . 6? 2 ?
6

π? 1 ? ∵-1≤sin?2ω x- ?≤1,∴f(x)的最大值为 .(6 分) 6? 2 ? 1 1 (2)函数 f(x)的最大值为 ,y=f(x),x∈[m,m+π )的图象与直线 y= 有且仅有一个交点, 2 2 (8 分) ∴函数 f(x)的周期 T 为 π . 2π ∴ =π ,∴ω =1. 2ω π? 1 ? ∴f(x)=sin?2x- ?- , 6? 2 ? π? 1 3-1 ? ∴sin?2x- ?- = , 6 2 ? ? 2 π? 3 ? ∴sin?2x- ?= .(10 分) 6? 2 ? ∵x∈?

?π ,7π ?,∴2x∈?π ,7π ?, ? ?6 6 ? ?12 12 ? ? ?

π π π 2π π 5π ∴2x- ∈[0,π ],∴2x- = 或 ,即 x= 或 x= .(12 分) 6 6 3 3 4 12 [终极提升]——登高博见 将三角函数化为 y=Asin(ω x+φ )之后 π (1)令 ω x+φ =kπ + (k∈Z),可求得对称轴方程. 2 方法诠释 (2)令 ω x+φ =kπ (k∈Z),可求得对称中心的横坐标. (3)将 ω x+φ 看作整体,可求得 y=Asin(ω x+φ )的单调区间,注意 ω 的符号. (4)讨论意识:当 A 为参数时,求最值应分情况讨论 A>0,A<0.

限时规范训练一 三角函数图象与性质 (建议用时 45 分钟) 解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 1 1.已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)- . 2 π 2 (1)若 0<α < ,且 sin α = ,求 f(α )的值; 2 2 (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间.

7

π 2 2 解:(1)因为 0<α < ,sin α = ,所以 cos α = . 2 2 2 所以 f(α )= 2? 2 2? 1 1 ? + ?-2=2. 2 ?2 2 ?

1 1 1 1+cos 2x 1 2 (2)因为 f(x)=cos x(sin x+cos x)- =sin xcos x+cos x- = sin 2x+ - 2 2 2 2 2 π? 1 1 2 ? 2π = sin 2x+ cos 2x= sin?2x+ ?,所以 T= =π . 4? 2 2 2 2 ? π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π π? ? 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? 2.已知向量 a=(cos x,sin x),向量 b=(cos x,-sin x),f(x)=a?b. (1)求函数 g(x)=f(x)+sin 2x 的最小正周期和对称轴方程;

? π? (2)若 x 是第一象限角且 3f(x)=-2f′(x),求 tan?x+ ?的值. 4? ?
解:(1)∵g(x)=f(x)+sin 2x=cos x-sin x+sin 2x =cos 2x+sin 2x π? ? = 2sin?2x+ ?, 4? ? 2π ∴函数 g(x)=f(x)+sin 2x 最小正周期 T= =π . 2 π π 当 2x+ = +kπ (k∈Z)时, 4 2
2 2

kπ π x= + .
2 8 ∴函数 g(x)=f(x)+sin 2x 的对称轴方程为 x=



π + (k∈Z). 2 8

(2)由 3f(x)=-2f′(x),得 3cos 2x=4sin 2x. 3cos x-3sin x-8sin xcos x=0. (3cos x+sin x)(cos x-3sin x)=0. 又 x 是第一象限角, 1 ∴cos x=3sin x,故 tan x= . 3
2 2

8

π 1 tan x+tan 1+ 4 3 ? π? ∴tan?x+ ?= = =2. 4? π 1 ? 1-tan xtan 1- 4 3 π? π? ? ? 2ω x 3.(2016?山东枣庄质检)已知函数 f(x)=sin?ω x+ ?+sin?ω x- ?-2cos ,x ∈ 6? 6? 2 ? ? R(其中 ω >0). (1)求函数 f(x)的值域; π (2)若函数 f(x)的图象与直线 y=-1 的两个相邻交点间的距离为 ,求函数 f(x)的单调递 2 增区间. 解:(1)f(x)= =2? 3 1 3 1 sin ω x+ cosω x+ sin ω x- cos ω x-(cos ω x+1) 2 2 2 2

1 ? 3 ? sin ω x- cos ω x?-1 2 2 ? ?

π? ? =2sin?ω x- ?-1. 6? ? π? ? 由-1≤sin?ω x- ?≤1, 6? ? π? ? 得-3≤2sin?ω x- ?-1≤1, 6? ? 所以函数 f(x)的值域为[-3,1]. (2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知,

f(x)的周期为 π ,所以

2π =π ,即 ω =2. ω

π? ? 所以 f(x)=2sin?2x- ?-1, 6? ? π π π 再由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + (k∈Z), 2 6 2 π π 解得 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z). 6 3 π π? ? 所以函数 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 6 3? ? π? ? 4.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )?x∈R,A>0,ω >0,0<φ < ?的部分图象如图所示, 2? ?

P 是图象的最高点,Q 为图象与 x 轴的交点,O 为坐标原点.若 OQ=4,OP= 5,PQ= 13.

9

(1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 2 个单位后得到函数 y=g(x)的图象, 当 x∈(-1,2)时, 求函数 h(x)=f(x)?g(x)的值域. 4 +? 5? -? 13? 5 解:(1)由条件知 cos∠POQ= = ,所以 P(1,2). 5 2?4? 5 2π π 由此可得 A=2,周期 T=4?(4-1)=12,又 =12,则 ω = .将点 P(1,2)代入 f(x)= ω 6
2 2 2

?π ? 2sin? x+φ ?, ?6 ?
得 sin?

?π +φ ?=1,∴π +φ =2kπ +π ,φ =2kπ +π (k∈Z). ? 6 2 3 ?6 ?

π? π π ?π 因为 0<φ < ,所以 φ = ,于是 f(x)=2sin? x+ ?. 3? 2 3 ?6 (2)由题意得 g(x)=2sin?

?π ?x-2?+π ?=2sinπ x. 3? 6 ?6 ?

π? π ?π 所以 h(x)=f(x)?g(x)=4sin? x+ ??sin x 6 3 6 ? ? =2sin
2

π π π π x+2 3sin x?cos x=1-cos x+ 6 6 6 3

π? π ?π 3sin x=1+2sin? x- ?. 6? 3 ?3 π π ? π π? 当 x∈(-1,2)时, x- ∈?- , ?, 3 6 ? 2 2? π? π? ?π ?π 所以 sin? x- ?∈(-1,1), 即 1+2sin? x- ?∈(-1,3). 于是函数 h(x)的值域为(- 6? 6? ?3 ?3 1,3). 必考点二 解三角形 类型一 学会踩点 [例 1] (本题满分 12 分)△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 是△ADC 面积的 2 倍. sin B (1)求 . sin C (2)若 AD=1,DC= 2 ,求 BD 和 AC 的长. 2
10

1 解:(1)S△ABD= AB?ADsin∠BAD,(1 分) 2

S△ADC= AC?ADsin∠CAD(2 分)
因为 S△ABD=2S△ADC, ∠BAD=∠CAD, 所以 AB=2AC.(4 分) sin B AC 1 由正弦定理可得 = = .(6 分) sin C AB 2 (2)因为△ABD 与△ADC 等高, 所以 S△ABD∶S△ADC=BD∶DC, 所以 BD= 2.(8 分) 在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知,

1 2

AB2=AD2+BD2-2AD?BDcos∠ADB,(9 分) AC2=AD2+DC2-2AD?DCcos∠ADC,(10 分)
故 AB +2AC =3AD +BD +2DC =6.(11 分) 由(1)知 AB=2AC,所以 AC=1.(12 分) 评分细则:得分点及踩点说明 (1)第(1)问,正确列出面积公式各得 1 分 (2)得出 AB=2AC,得 2 分 (3)将正弦比转化为边长比得 2 分,错误结果扣 1 分. (4)第(2)问,正确得出 BD 的值得 2 分,面积比转化正确,值算错扣 1 分 (5)正确利用余弦定理各得 1 分 (6)两式相加消去角得 1 分
2 2 2 2 2

1.(2016?高考全国乙卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2cos C(acos

B+bcos A)=c.
(1)求 C; (2)若 c= 7,△ABC 的面积为 解:(1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C, 即 2cos Csin(A+B)=sin C, 故 2sin Ccos C=sin C. 3 3 ,求△ABC 的周长. 2

11

1 π 可得 cos C= ,所以 C= . 2 3 1 3 3 (2)由已知得 absin C= . 2 2 π 又 C= ,所以 ab=6. 3 由已知及余弦定理得 a +b -2abcos C=7, 故 a +b =13,从而(a+b) =25. 所以△ABC 的周长为 5+ 7. 类型二 学会审题 [例 2] △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 审题路线图:
2 2 2 2 2

[规范解答]

(1)由已知及正弦定理得 sin A=sin Bcos C+sin C?sin B. ①

又 A=π -(B+C), 故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①②和 C∈(0,π )得 sin B=cos B. π 又 B∈(0,π ),所以 B= . 4 1 2 (2)△ABC 的面积 S= acsin B= ac. 2 4 π 2 2 由已知及余弦定理得 4=a +c -2accos . 4 4 2 2 又 a +c ≥2ac,故 ac≤ ,当且仅当 a=c 时,等号成立. 2- 2 因此△ABC 面积的最大值为 2+1.

12

2.(2016?高考山东卷)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 2(tan A+tan

B)=

tan A tan B + . cos B cos A

(1)证明:a+b=2c; (2)求 cos C 的最小值. 解:(1)证明:由题意知 2?

?sin A+sin ?cos A cos

B? sin A sin B = + , ? B? cos Acos B cos Acos B

化简得 2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B, 即 2sin(A+B)=sin A+sin B. 因为 A+B+C=π , 所以 sin(A+B)=sin(π -C)=sin C, 从而 sin A+sin B=2sin C, 由正弦定理得 a+b=2c. (2)由(1)知 c=

a+b
2



a2+b2-c2 所以 cos C= = 2ab
3?a b? 1 1 = ? + ?- ≥ , 8?b a? 4 2

a2+b2-?

?a+b?2 ? ? 2 ?

2ab

当且仅当 a=b 时,等号成立, 1 故 cos C 的最小值为 . 2 类型三 学会规范 [例 3] (本题满分 12 分)已知 a,b, c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,sin B=2sin Asin
2

C.
(1)若 a=b,求 cos B; (2)设 B=90°,且 a= 2,求△ABC 的面积. [考生不规范示例] (1)∵b =ac,a=b ∴cos B=
2 2

a2+c2-b2 1 = 2ac 4
2 2

(2)∵a +c =b ,a= 2∴c=a= 2∴S=1 [规范解答] (1)由题设及正弦定理可得 b =2ac.(2 分) 又 a=b,可得 b=2c,a=2c.
13
2

由余弦定理可得 cos B= (2)由(1)知 b =2ac.
2

a2+c2-b2 1 = .(6 分) 2ac 4

因为 B=90°,由勾股定理得 a +c =b .(8 分) 故 a +c =2ac,得 c=a= 2. 1 1 所以△ABC 的面积为 S= ac= ? 2? 2=1.(12 分) 2 2 [终极提升]——登高博见 求解三角形的基本量的技巧:先将几何问题转化为代数问题,正确分析已知等式中的边角关 系, 利用正弦定理、 余弦定理、 任意三角形面积公式等进行三角形中边角的互化. 若要把“边” 化为“角”,常利用“a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C”,若要把“角”化为“边”, 常利用“sin A= ,sin B= ,sin C= ,cos C= 2R 2R 2R
2 2

2

2

2

a

b

c

a2+b2-c2 ”等,然后利用三角形的内 2ab

角和定理、大边对大角及三角函数等知识求出三角形的基本量.

限时规范训练二 解三角形 (建议用时 45 分钟) 解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 1.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB= 3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°.

1 (1)若 PB= ,求 PA; 2 (2)若∠APB=150°,求 tan∠PBA. 解:(1)由已知得,∠PBC=60°,所以∠PBA=30°. 1 1 7 7 2 在△PBA 中,由余弦定理得 PA =3+ -2? 3? cos 30°= .故 PA= . 4 2 4 2 (2)设∠PBA=α ,则∠BCP=α , 在 Rt△BCP 中,PB=BCsin α =sin α , 3 sin α 在△PBA 中,由正弦定理得 = , sin 150° sin?30°-α ? 化简得 3cos α =4sin α . 所以 tan α = 3 3 ,即 tan∠PBA= . 4 4

14

π 2.如图,在△ABC 中,∠B= ,AB=8,点 D 在 BC 边上,且 CD=2, 3 1 cos∠ADC= . 7

(1)求 sin∠BAD; (2)求 BD,AC 的长. 解:(1)在△ADC 中,因为 1 4 3 cos∠ADC= ,所以 sin∠ADC= . 7 7 所以 sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B 4 3 1 1 3 3 3 = ? - ? = . 7 2 7 2 14 (2)在△ABD 中,由正弦定理得 8?3 3 14 AB?sin∠BAD BD= = =3. sin∠ADB 4 3 7 在△ABC 中,由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2AB?BC?cos B
1 2 2 =8 +5 -2?8?5? =49. 2 所以 AC=7. π 1 2 2 2 3.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 A= ,b -a = c . 4 2 (1)求 tan C 的值; (2)若△ABC 的面积为 3,求 b 的值. 1 2 1 2 2 2 解:(1)由 b -a = c 及正弦定理得 sin B- = 2 2 1 2 2 sin C,所以-cos 2B=sin C. 2

15

π 3 又由 A= ,即 B+C= π ,得 4 4 -cos 2B=-cos[2?

?3π -C?]=-cos?3π -2C?=sin 2C=2sin Ccos C, ? ? 2 ? ? 4 ? ? ?
2

∴2sin Ccos C=sin C 解得 tan C=2. 2 5 (2)由 tan C=2,C∈(0,π )得 sin C= , 5 cos C= 5 . 5

3 10 ?π ? 又因为 sin B=sin(A+C)=sin? +C?,所以 sin B= . 10 ?4 ?

b c 2 2 由正弦定理 = ,得 c= b, sin B sin C 3
π 1 又因为 A= , bcsin A=3,所以 bc=6 2,故 b=3. 4 2 4.△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.向量 m=(a, 3b)与 n=(cos A,sin B) 平行. (1)求 A; (2)若 a= 7,b=2,求△ABC 的面积. 解:(1)因为 m∥n,所以 asin B- 3bcos A=0,由正弦定理,得 sin Asin B- 3sin Bcos

A=0,
又 sin B≠0,从而 tan A= 3, π 由于 0<A<π ,所以 A= . 3 π 2 2 2 (2)法一:由余弦定理 a =b +c -2bccos A,及 a= 7,b=2,A= , 3 得 7=4+c -2c,即 c -2c-3=0, 因为 c>0,所以 c=3. 1 3 3 故△ABC 的面积为 bcsin A= . 2 2 7 2 法二:由正弦定理,得 = , π sin B sin 3 从而 sin B= 21 , 7
2 2

2 7 又由 a>b,知 A>B,所以 cos B= . 7
16

? π? 故 sin C=sin(A+B)=sin?B+ ? 3? ?
π π 3 21 =sin Bcos +cos Bsin = . 3 3 14 1 3 3 所以△ABC 的面积为 absin C= . 2 2 专题一 规范滚动训练(一) (建议用时 45 分钟) 解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 1.在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,且 3a=2csin A. (1)求角 C 的大小; (2)若 c=2,且△ABC 的面积为 3,求 a+b 的值. 解:(1)由题意得 3a 3sin A =sin A,由正弦定理得 =sin A, 2c 2sin C 3 ,又 0°<C<90°, 2

又 sin A≠0,∴sin C= ∴C=60°.

1 (2)∵S△ABC= absin 60°= 3,∴ab=4. 2 又 c=2,∴由余弦定理得 c =a +b -2abcos 60°, 1 2 2 2 即 4=a +b -2ab? ,即 4=(a+b) -2ab-ab, 2 ∴(a+b) =4+3ab=16,∴a+b=4. 2.已知函数 f(x)=2cos π x?cos 分图象如图所示.
2 2 2 2 2

π? φ ? +sin[(x+1)π ]?sin φ -cos π x?0<φ < ?的部 2? 2 ?

(1)求 φ 的值及图中 x0 的值; 1 (2)将函数 f(x)的图象上的各点向左平移 个单位长度, 再将所得图象上各点的横坐标不变, 6

? 1 1? 纵坐标伸长到原来的 3倍,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间?- , ?上的最大值 ? 2 3?
和最小值.
17

解 : (1)f(x) = 2cos π x?cos π x??2cos

2

φ + sin[(x + 1)π ]?sin φ - cos π x = cos 2

? ?

2

φ -1? ?-sin π x?sin φ 2 ?

=cos π x?cos φ -sin π x?sin φ =cos(π x+φ ). 由题图可知,cos φ = 3 π π ,又 0<φ < ,所以 φ = . 2 2 6

π? 3 π 11π ? 又 cos?π x0+ ?= ,所以 π x0+ = , 6? 2 6 6 ? 5 所以 x0= . 3 π? 1 ? (2) 由 (1) 可知 f(x) = cos ?π x+ ? ,将图象上的各点向左平移 个单位长度得到 y = 6 6 ? ?

? ? 1? π ? cos?π ?x+ ?+ ? ? ? 6? 6 ?
π? ? =cos?π x+ ?的图象,然后将各点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 3倍后得到 g(x) 3? ? π? ? = 3cos?π x+ ?的图象. 3? ? π π 2π ? 1 1? 因为 x∈?- , ?,所以- ≤π x+ ≤ . 6 3 3 ? 2 3? π 1 所以当 π x+ =0,即 x=- 时,g(x)取得最大值 3; 3 3 π 2π 1 3 当 π x+ = ,即 x= 时,g(x)取得最小值- . 3 3 3 2 3.已知在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,向量 m=(2b,1),n=(2a-c,cos

C),且 m∥n.
(1)若 b =ac,试判断△ABC 的形状; 2cos 2A (2)求 y=1- 的值域. 1+tan A 解:(1)由已知,m∥n,则 2bcos C=2a-c, 由正弦定理,得 2sin Bcos C=2sin(B+C)-sin C, 即 2sin Bcos C=2sin Bcos C+2cos Bsin C-sin C, π 在△ABC 中,sin C≠0,因而 2cos B=1,则 B= . 3 又 b =ac,b =a +c -2accos B, 因而 ac=a +c -2accos
2 2 2 2 2 2 2

π 2 ,即(a-c) =0, 3
18

所以 a=c,△ABC 为等边三角形. 2cos 2A (2)y=1- 1+tan A 2?cos A-sin A? =1- sin A 1+ cos A =1-2cos A(cos A-sin A) =sin 2A-cos 2A π? π ? ? 2π ? = 2sin?2A- ?,由已知条件 B= 知 A∈?0, ?. 4? 3 ? 3 ? ? π ? π 3π ? 所以,2A- ∈?- , ?. 4 ? 4 ? 4 因而所求函数的值域为(-1, 2].
2 2

? π? ? π? 4.已知函数 f(x)=2sin?x- ?sin?x+ ?,x∈R. 6? 3? ? ?
(1)求函数 f(x)的最小正周期; π ?C π ? 1 (2)在△ABC 中,若 A= ,c=2,且锐角 C 满足 f? + ?= ,求△ABC 的面积 S. 4 ?2 6 ? 2 解:(1)由题意得,

f(x)=2sin?x- ?sin?x+ ? 6 3

? ?

π?

?

? ?

π?

?

? π ? ?π ? π ?? =2sin?x- ?sin? +?x- ?? 6 ?? 6? ? ?2 ? ? π? ? π? =2sin?x- ?cos?x- ? 6? 6? ? ?
π? ? =sin?2x- ?, 3? ? 2π 所以函数 f(x)的最小正周期为 =π . 2

? ?C π ? π ? ?C π ? (2)由(1)得,f? + ?=sin?2? + ?- ?=sin C, 2 6 ? ? ? ?2 6 ? 3 ?
1 π 所以 sin C= ,又角 C 为锐角,所以 C= . 2 6 π sin 4 a sin A 由正弦定理,得 = = = c sin C π sin 6 又 c=2,所以 a=2 2. 2 2 = 2, 1 2

19

又 sin B=sin[π -(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= 1 1 6+ 2 所以△ABC 的面积 S= acsin B= ?2 2?2? =1+ 3. 2 2 4

6+ 2 , 4

20


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