当前位置:首页 >> 高考 >>

《全程复习方略》2016届高考数学教师用书配套课件热点专题突破系列(二)三角函数与平面向量的综合应用


热点专题突破系列(二) 三角函数与平面向量的综合应用

考点一

三角函数的求值与平面向量的综合

【考情分析】以平面向量为载体利用诱导公式、同角三角函数关系式、 两角和与差的三角函数及倍角公式等解决三角函数的条件求值问题, 是高考的重要考向,考查学生分析问题、解决问题的能力.

【典例1】(2015·海滨模拟)已知m=(sinx, 3 cosx),n=(sinx,sinx), f(x)=m·n. (1)求 f( ? ) 的值. (2)当x∈[0, ? ]时,求函数f(x)的最大值与最小值.
2 12

【解题提示】(1)利用向量的坐标计算两向量的数量积,从而得f(x), 把x= ? 代入可得.
12

(2)利用x的范围确定角的范围,从而得三角函数的最大值与最小值.

【规范解答】(1)由已知得. f(x)=m·n=(sinx, 3 cosx)·(sinx,sinx) =sin2x+ =
1 ? cos 2x 3 cosxsinx= ? sin 2x 3 2 2

3 sin2x- 1 cos2x+ 1 =sin(2x- ? )+ 1 . 2 6 2 2 2 故 f( ? ) ? sin(2 ? ? ? ? ) ? 1 ? 1 . 12 12 6 2 2

(2)当x∈[0, ? ]时, 2x ? ? ? [? ? , 5? ],

2 6 6 6 故当2x- ? = ? ,即x= ? 时,f(x)max=1+ 1 = 3 , 2 6 2 2 3 当2x- ? =- ? ,即x=0时, 6 6 f(x)min=sin(- ? )+ 1 =- 1 + 1 =0. 2 2 2 6

【规律方法】平面向量在三角函数求值中的应用步骤

(1)此类题目的特点是所给向量的坐标用关于某角的正、余弦给出,把
向量垂直或共线转化为关于该角的三角函数的等式.

(2)利用三角恒等变换进行条件求值.

【变式训练】(2015·南京模拟)已知向量a=(sinθ,-2)与 b=(1,cosθ)互相垂直,其中θ∈(0, (1)求cosθ,sinθ的值. (2)若5cos(θ-φ)=3 5 cosφ,0<φ< ,求cosφ的值. 2
? ? ). 2

【解析】(1)因为a⊥b,所以a·b=sinθ-2cosθ=0, 即sinθ=2cosθ. 又sin2θ+cos2θ=1, 所以4cos2θ+cos2θ=1,即cos2θ= 1 . 因为θ∈(0, ),所以cosθ=
? 2 5

5 ,sinθ=2cosθ= 2 5 . 5 5

(2)由5cos(θ-φ)=3 5 cosφ,得
5(cosθcosφ+sinθsinφ)=3 5 cosφ,

即 5 cosφ+2 5 sinφ=3 5 cosφ,所以sinφ=cosφ.
因为φ∈(0, ),所以cosφ=
? 2

2 . 2

【加固训练】设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c= (cosβ,-4sinβ). (1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值.

(2)求|b+c|的最大值.
(3)若tanαtanβ=16,求证:a∥b.

【解析】(1)因为b-2c=(sinβ-2cosβ,4cosβ+8sinβ),a与b-2c垂

直,
所以4cosα(sinβ-2cosβ)+sinα(4cosβ+8sinβ)=0, 即sinαcosβ+cosαsinβ =2(cosαcosβ-sinαsinβ), 所以sin(α+β)=2cos(α+β),所以tan(α+β)=2.

(2)因为b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),
所以|b+c|=
(sin? ? cos?)2 ? (4cos? ? 4sin?) 2

= 1 ? 2sin?cos? ? 16 ? 32cos? sin? ? 17 ? 15sin 2? ,
所以当sin2β=-1时,|b+c|取最大值,且最大值为 32 ? 4 2.

(3)因为tanαtanβ=16,所以 sin? sin? =16,
cos? cos?

即sinαsinβ=16cosαcosβ, 所以(4cosα)·(4cosβ)=sinαsinβ, 即a=(4cosα,sinα)与b=(sinβ,4cosβ)共线, 所以a∥b.

考点二

三角函数的性质与平面向量的综合

【考情分析】以平面向量的坐标运算为载体,引入三角函数,通过三角
恒等变换化为一个角的三角函数,重点考查三角函数的单调性、周期 性、最值、取值范围及三角函数的图象变换等.

【典例2】(2015·沈阳模拟)已知向量m=(sinx,-1),n=(cosx,

3 ), 2

f(x)=(m+n)·m.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.

(2)当x∈[0, ? ]时,求f(x)的值域.
(3)将f(x)的图象左移 3? 个单位后得g(x)的图象,求g(x)在 [? ? , ? ]
8 3 3 2

上的最大值.

【解题提示】(1)利用向量坐标运算得f(x)的解析式可求周期及增区

间.
(2)利用已知求得角的范围后可求f(x)的值域. (3)利用图象平移变换可得g(x),再利用角的范围求解最大值.

【规范解答】(1)由已知可得m+n=(sinx+cosx, ),

1 2

故f(x)=(m+n)·m
=(sinx+cosx, 1 )·(sinx,-1) =sin2x+sinxcosx- 1 = 1 sin2x- 1 cos2x =
2 ? sin(2x ? ). 2 4
2 2 2 2

故f(x)的最小正周期T= 2 ? =π,
由2kπ- ? ≤2x- ? ≤2kπ+ ? ,k∈Z,
2 4 2 得kπ- ? ≤x≤kπ+ 3? ,k∈Z. 8 8 2

故f(x)的单调递增区间是[kπ- ? ,kπ+ 3? ](k∈Z).
8 8

(2)当x∈[0, ? ]时,2x- ? ∈ [ ? ? , 3? ],
2 4 4 4

2 ≤sin(2x- ? )≤1, 2 4 故- 1 ≤ 2 sin(2x- ? )≤ 2 . 2 2 4 2 所以当x∈[0, ? ]时,f(x)的值域为 [? 1 , 2 ]. 2 2 2

故-

(3)由已知得g(x)=

2 3? ? sin[2(x ? ) ? ] 2 8 4

=

2 ? 2 sin(2x ? ) ? cos 2x. 2 2 2
3 3 3 3

故当x∈ [? ? , ? ] 时,2x∈ [? 2? , 2? ]. 所以当2x=0即x=0时,g(x)max=
2 cos0= 2 . 2 2

【规律方法】平面向量与三角函数性质的综合问题的解法 (1)利用平面向量的数量积把向量问题转化为三角函数的问题. (2)利用三角函数恒等变换公式(尤其是辅助角公式)化简函数解析式. (3)根据化简后的函数解析式研究函数的性质.

【变式训练】(2015·东营模拟)已知m=(bsinx,acosx),n=(cosx,
-cosx),f(x)=m·n+a,其中a,b∈R,且满足 f( ) =2,f′(0)=2 3 .
? 6

(1)求a,b的值.
(2)若关于x的方程f(x)- log 1 k =0在[0, 2 ? ]上总有实数解.求k的取
3

3

值范围.

【解析】(1)由已知得,f(x)=m·n+a=bsinxcosx-acos2x+a

= b sin 2x ? a cos 2x ? a . 由 f( ? ) =2得a+
2 2 2 6

3 b=8. 3 ,

又因为f′(x)=bcos2x+asin2x且f′(0)=2 所以b=2
3 ,所以a=2.

(2)由(1)得f(x)=

3 sin2x-cos2x+1

=2sin(2x- ? )+1,
6

所以x∈ [0, 2? ] 时,2x- ? ∈ [ ? ? , 7? ], 所以-1≤2sin(2x- ? )≤2,
6 3 6 6 6

所以f(x)∈[0,3].

又因为f(x)- log 1 k =0在 [0, 2? ] 上总有实数解,即f(x)= log 1 k 有解,所
3

3

3

以0≤ log 1 k ≤3, 即-3≤log3k≤0,所以 1 ≤k≤1.
27
3

故k的取值范围是 [ 1 ,1].
27

【加固训练】已知向量a=(sin(π-ωx),sin(

? -ωx)), b=(cosωx, 2

cosωx)(ω>0),若f(x)=a·b,且f(x)的最小正周期为π. (1)求ω的值. (2)试述由y=sinx的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到f(x)的图象. (3)求y=f(x)的值域.

【解析】(1)f(x)=a·b

=sin(π-ωx)cosωx+sin( ? -ωx)cosωx
2

=sinωxcosωx+cos2ωx= 1 sin2ωx+ 1 ? cos 2?x ? 2 sin(2?x ? ? ) ? 1 , 所以 2? =π,即ω=1.
2? 2

2

2

4

2

2 ? 1 sin(2x ? ) ? . 首先把y=sinx的图象向左平移 2 4 2 ? 个单位,得y=sin(x+ ? )的图象;其次把y=sin(x+ ? )的图象纵坐标 4 4 4 不变,横坐标变为原来的 1 倍,得y=sin(2x+ ? )的图象;然后把y= 4 2 sin(2x+ ? )的横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得y= 2 sin(2x ? ? ) 2 4 4 2 1 的图象;最后,把y= 2 sin(2x ? ? ) 的图象向上平移 个单位,得f(x)= 2 2 4 2 ? 1 sin(2x ? ) ? 的图象. 2 4 2

(2)由(1),得f(x)=

(3)因为f(x)min= ? 2 ? 1 , f(x)max=
2 2

2 1 ? , 2 2

所以f(x)的值域是 [? 2 ? 1 , 2 ? 1 ].
2 2 2 2

考点三

平面向量在三角形计算中的应用

【考情分析】以平面向量的线性运算、数量积为载体考查三角形中正、 余弦定理的应用及简单的三角恒等变换,主要解决三角形中求边、求 角及求三角形面积等.考查分析问题,解决问题的能力.

【典例3】(2015·武汉模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为

a,b,c,m=(a,b),n=(sinB,-cosA)且m·n=0.
(1)求内角A的大小. (2)若a=10,求△ABC的面积的最大值. 【解题提示】(1)利用向量数量积运算得边角关系,利用正弦定理边化 角后可解. (2)利用余弦定理求得bc的最大值后可解.

【规范解答】(1)由已知得m·n=asinB-bcosA=0.

由正弦定理可得sinAsinB-sinBcosA=0,
即sinB(sinA-cosA)=0. 因为0<B<π,所以sinB≠0. 所以sinA=cosA即tanA=1,又0<A<π,故A= ? .
4

(2)因为a=10,所以a2=b2+c2-2bccosA=102.

由(1)知A= ? ,所以b2+c24

2 bc=100.
100 , 2? 2

又c2+b2≥2bc,所以100+ 2 bc≥2bc.所以bc≤ 所以S= 1 bcsinA=
2

2 bc≤ 2 100 ? 25 4 2? 2 4

?

2 ?1 .

?

等号当且仅当b=c时取得. 故△ABC面积的最大值为25(
2 +1).

【规律方法】平面向量与三角形计算综合问题的解法

(1)利用平面向量数量积的计算公式,把问题转化为三角形中的计算问
题,在三角形中,结合三角形内角和公式、正余弦定理、三角形的面积

公式进行相关计算.
(2)先在三角形中利用相关公式进行计算,再按要求求向量的数量积、

夹角、模等.
提醒:解决三角形中向量夹角问题的思维误区是不注意向量的方向,从

而弄错向量的夹角.

【变式训练】(2015·安庆模拟)已知△ABC的面积是30,三内角A,B,C

所对边长分别为a,b,c,cosA= 12 .
13

(1)求 AB AC. (2)若c-b=1,求a的值.

【解析】(1)由cosA= 12 ,得sinA=
13

1 ? cos 2 A ?

1 S△ABC= bcsinA= 5 bc=30,bc=156. 2 26 12 12 AB AC ? AB AC cos A ? cb ? 156 ? ? 144. 13 13

5 . 13

(2)因为c-b=1,bc=156,
所以a2=b2+c2-2bccosA=(c-b)2+2bc- 24 bc =1+ 2 〓156=25,即a=5.
13 13

【加固训练】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tanC=3 7 .

(1)求cosC的值.
(2)若 CB CA ? 5 ,且a+b=9,求c的长.
2

【解析】(1)因为tanC=3 7 ,所以 sin C ? 3 7.

cos C 又因为sin2C+cos2C=1,解得cosC=〒 1 . 8 1 因为tanC>0,所以C是锐角.所以cosC= . 8 (2)因为 CB CA ? 5 ,所以abcosC= 5 ,解得ab=20. 2 2

又因为a+b=9,所以a2+b2=41. 所以c2=a2+b2-2abcosC=36,所以c=6.


赞助商链接
相关文章:
上海市2016届高考数学一轮复习-专题突破训练-三角函数-理
上海市2016届高考数学一轮复习-专题突破训练-三角函数-理_高三数学_数学_高中教育_教育专区。上海市 2016 届高三数学理一轮复习专题突破训练 三角函数一、填空、...
上海市2016届高考数学一轮复习 专题突破训练 三角函数 ...
上海市2016届高考数学一轮复习 专题突破训练 三角函数 理-含答案_数学_高中教育_教育专区。上海市 2016 届高三数学理一轮复习专题突破训练 三角函数-含答案 一、...
高考数学解答题专项突破系列(二)三角函数与解三角形的...
高考数学解答题专项突破系列(二)三角函数与解三角形的综合应用问题_高考_高中教育_教育专区。热点题型 1 三角函数与三角恒等变换的综合 典例 3 设函数 f(x)= ...
2018-2019年浙江版高考数学二轮复习教师用书第1部分 重...
2018-2019浙江版高考数学二轮复习教师用书第1部分 重点强化专题 专题1 突破点1 三角函数问题及答案_数学_高中教育_教育专区。专题三角函数与平面向量 建知识...
2016届高三二轮复习三角函数大题突破
2016届高三二轮复习三角函数大题突破_数学_高中教育_教育专区。2016届高三二轮...3 3 6 3 二.近五年浙江高考题回放(2011-2015) (11)18.已知函数 f ( x...
(全国通用)2019届高考数学大一轮复习第五章平面向量高...
(全国通用)2019届高考数学大一轮复习第五章平面向量高考专题突破二高考中的三角函数与平面向量问题学案_高考_高中教育_教育专区。高考专题突破二 【考点自测】 高考...
三角函数2017届高三数学文科一轮复习专题突破训
三 角 函 数 2017 届高三数学文科一轮复习专题突破训练一、选择、填空题 1、 (2016 年北京高考)将函数 y ? sin(2 x ? ? ) 图象上的点 P( , t ) ...
2018年高考数学专题突破练3三角函数与其他知识的综合应...
2018年高考数学专题突破练3三角函数与其他知识的综合应用试题理_数学_高中教育_教育专区。专题突破练(3) 一、选择题 三角函数与其他知识的综合应用 ) 1. 若 f(...
高三数学(文)一轮复习专题突破训练:三角函数
高三数学(文)一轮复习专题突破训练:三角函数_数学_高中教育_教育专区。高三数学文一轮复习专题突破训练 三角函数 一、选择、填空题 1、(2016 年全国 I 卷高考)...
浙江省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练:三角函数
浙江省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练:三角函数_数学_高中教育_教育专区...且与 c 无关 D.与 b 无关,但与 c 有关 2(2016 年浙江省高考)已知 ...
更多相关文章:

相关文章