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2014年浙江省稽阳联谊学校高三联考数学(理科)试题(纯word版)


2014 年稽阳联谊学校高三联考数学(理科)试题
注意:本卷共 22 题,满分 150 分,考试时间 120 分钟
参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 棱柱的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A、B 相互独立,那么

V ? Sh
其中 S 表示棱柱的底面积,h 表示 棱柱的高棱锥的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
k k Pn (k ) ? Cn P (1 ? P) n?k (k ? 0,1,2,?, n)

V ?

1 Sh 3

其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示 棱锥的高棱台的体积公式

V ?

1 h ( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) 3

球的表面积公式

其中 S1 ,S2 分别表示棱台的上下底 面积,h 表示棱台的高

S ? 4?R

2

球的体积公式

4 V球 ? ?R 3 3

其中 R 表示球的半径

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知复数 z 满足 z (1 ? i) ? 2i ,其中 i 为虚数单位,则 | z |? A. 1 B. 2 C. 2 D. 4 ) ( )

2. 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x ? Z || x |? 1}, B ? {x | x2 ? 2x ? 0} ,则 A I ? UB ? ( A. {?1, 0} B. {?1,0,2} C. {0} D.{?1,1} (

3. 已知 A, B, C 为 ?ABC 的三个内角,则 " A ? B " 是 "sin A ? sin B " 的 A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件



D. 既不充分也不必要条件. )

4. 已知空间两条不同的直线 m, n 和两个不同的平面 ? , ? ,则下列命题中正确的是( A.若 m / /? , n ? ? , 则m / / n C.若 m / /? , n / /? , 则m / / n B.若 ?

? ? m, m ? n, 则n ? ?

D.若 m / /? , m ? ? ,?

? ? n, 则m / / n

5. 执行如图所示的程序框图所表示的程序,则输出的结果为 A.9 B.10 C.11 D.13





6. 已知直线 x ? y ? a 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 交于 A, B 两点, O 是 原点,C 是圆上一点,若 OA ? OB ? OC ,则 a 的值为( A. ? 1 B. ? )

2

C. ? 3

D. ? 2

7. 如图是函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b 的部分图象,则函数

g ( x) ? ln x ? f ?( x) 的零点所在的区间是
A. ( , )

(

)

1 1 4 2

B. (1, 2)

C. ( ,1)

1 2

D . (2,3)

8. 已知 ?ABC 中, AB ? 2, AC ? 4 , O 为 ?ABC 的外心, 则 AO ? BC 等于 A.4 B.6 C.8 D.10

x2 y 2 9. 如图,双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点为 a b

F1 , F2 ,抛物线 C2 的顶点为坐标原点 O ,焦点为 F2 . 过 F1 的圆

x2 ? y 2 ? a2 的一切线交抛物线 C2 于点 A ,切点为 M . 若线段 F1 A 的中点恰为 M ,则双曲线 C1 的离心率为(
A. )

1? 5 2

B.

1? 3 2

C.

5 2

D.

3? 5 3

10. 已知点 P 是正方体 ABCD ? A 且满足 | PA |? 2 | PB | . 设 PD1 与 1B 1C1 D 1 的表面上一动点, 平面 ABCD 所成角为 ? ,则 ? 的最大值为 A. ( C. )

? 6

B.

? 4

? 3

D.

? 2

第Ⅱ卷(非选择题部分 共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。

11. 已知二项式 (2 x ?

3

1 8 ) 的展开式中的常数项为 M ,则 M ? ___________. x

?2 x ? y ? 4 ? 12. 已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? x ? y 的最小值为____________. ?x ? 2 y ? 2 ?
13. 将边长为 2 cm 的正方体割除若干部分后得一 几何体,其三视图如图所示,则该几何体的体积 等于__________ cm3 . 14. 设 a 和 b 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数, 用随机变量 ? 表示方程 x ? a ? b x ? 1 ? 0 实根
2

的个数(重根按一个计).则 ? 的数学期望是

.

15. 如图,过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、 B,交其准线于点 C,若 BC ? 2 BF ,且 AF ? 6 ,则此抛物线的方程为_________________. 16. 在 ?ABC 中, ?BAC ? 90? ,以 AB 为一边向 ?ABC 外作等边 ?ABD , 若

?BCD ? 2?ACD , AD ? ? AB ? ? AC , 则 ? ? ? =

.

17. 已知实数 x 满足 | x |? 2 且 x ? ax ? b ? 2 ? 0 ,则 a ? b 的最小值为___________.
2 2 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算 过程. ? 2 ?x ? cos(? x ? ) ? 1 的 18. (本小题满分 14 分)点 A、B 是直线 y ? 0 与函数 f ( x) ? 2 cos 2 3 ? 图像的两个相邻交点,且 | AB |? . 其中 ? ? 0 2
(I)求 ? 的值; (II)在锐角 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,若 f ( A) ? ?

3 , c ? 3, ?ABC 的 2

面积为 3 3 ,求 a 的值.

19.(本小题满分 14 分). 已知等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a3 ? 1, S9 ? 45. 数列 {bn } 满 足 bn ?

an . 3n

(I)求数列 {an } 的通项公式 an ; (II)设数列{bn } 的前 n 项和为 Tn ,求证: ?

10 ? Tn ? ?1 . 9

20( 本小题满 分 15 分 ). 如图 所示, 在四棱 锥 P— ABCD 中,四边形 ABCD 为菱形,

?ABC ? 60? , ?PCB 为正三角形, M , N 分别为 BC, PD 的中点.
(I) 求证: MN // 面 APB ; (II) 若平面 PCB ? 平面 ABCD ,求二面角 B ? NC ? P 的余弦值.

21(本小题满分 15 分). 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 3 ,且过点 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 的离心率为 e ? 2 a b 2

(1,

1 3 ) . 抛物线 C2 : x2 ? ?2 py,( p ? 0) 的焦点坐标为 (0, ? ) . 2 2

(I)求椭圆 C1 和抛物线 C2 的方程; (II)若点 M 是直线 l : 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 上的动点,过 点 M 作抛物线 C2 的两条切线,切点分别为 A, B ,直线

AB 交椭圆 C1 于 P, Q 两点.
i)求证直线 AB 过定点,并求出该定点坐标; ii)当 ?OPQ 的面积取最大值时,求直线 AB 的方程. 22(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx(a, b, c ? R) . (I)当 a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 1 处有极大值 2. 试讨论 f ( x ) 在 [0, 2] 上的单调性. (II)若 f ( x ) 为 [?2, 2] 上的奇函数,且任意的 x ? [?2, 2] 恒有 | f ( x) |? 2 ,求 c 的最大值.

2014 年稽阳联谊学校高三联考 数学(理科)试题参考答案和评分标准 第Ⅰ卷 (选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的,多选或少选概不给分. 1.B 2.A 3.C 4.D 5.C 6.A 7.C 8.B 9.A 10.B 各
1. 解: z ?











2i 2i 2 ? i (1 ? i ) ? ?1 ? i ,则 | z |? 2 . 或| z |?| |? ? 2 . 选 B. 1? i 1? i 2

2 解: 由于 A ? {?1,0,1}, B ? {x | 0 ? x ? 2} , , 则 AI ? ? ? 0 } , U B ? {x | x ? 0或x ? 2} U B ? {1 选 A. 3. 解:由正弦定理得 A ? B ? a ? b ? 2 R sin A ? 2 R sin B ? sin A ? sin B ,选 C. 4. 解:选 D.



5. 解 开始:s ? 0, i ? 1 ; 第一次执行循环体后 s ? 1, i ? 3 ; 第二次执行循环体后 s ? 5, i ? 5 ; 第三次执行循环体后 s ? 15, i ? 7 ; 第四次执行循环体后 s ? 37, i ? 9 ; 第五次执行循环体后

s ? 83, i ? 11;故输出的结果为 11, 选 C.
6. 解:由于 OA ? OB ? OC ,且点 A, B, C 均在圆上,则 ?AOB ?

2? , 故 O 到直线 AB 的距 3

离为

2 |a| 2 ,故 ,从而 a ? ?1 ,选 A. ? 2 2 12 ? 12

7. 解: g ( x) ? ln x ? 2 x ? a ,由 f ( x ) 的图像可知 a ? (?2, ?1) . 显然 f ( x ) 是 (0, ??) 上的单 调递增函数,且 f ( ) ? ? ln 2 ? 1 ? a ? 0 , f (1) ? 2 ? a ? 0 . 从而 f ( x ) 的零点在 ( ,1) 内. 选 C. 8. 解:结合向量数量积的几何意义及点 O 在线段 AB, AC 上的射影为相应线段的中点,从而
AO ? AB ? | AB |2 | AC |2 ? 2, AO ? AC ? ? 8, 故 AO ? BC ? 2 2

1 2

1 2

AO ? AC ? AO ? AB ? 8 ? 2 ? 6 , 选 B,

MO 为中位线,且 F1M ? b, OM ? a ,从而 AF2 ? 2a .由抛物线的定 9. 解:在 ?F 1 AF 2 中,
义 , 设 A( x, y), 则 x ? c? 2 a, 从 而 x ? 2 a? c. 又 点 A 到

x 轴的距离为

4b2 ? 4a 2 (利用抛物线的定义过点A作抛物线准线的垂线) ,从而点 A(2a ? c, 4b2 ? 4a2 )
. 考虑到点 A 在抛物线 C2 : y2 ? 4cx , 从而 4b2 ? 4a2 ? 4c(2a ? c) , 即 c2 ? 2a2 ? c(2a ? c) , 即 c ? ac ? a ? 0 ,故 e ? e ? 1 ? 0 ,又 e ? 1 ,解得 e ?
2 2 2

1? 5 ,选 A. D1 2
A1 B1 G D M E1 N

C1

10. 解:如图,点 P 的轨迹为:以点 P 为球心,以半径为

4 的 3

球与正方体表面的交线,即为如图的弧段 EMG, GSF , FNE , 要使得 PD1 与底面 ABCD 所成角最大,则 PD1 与底面 ABCD
A 1

S F B 2 Q 3

C

的交点 R 与点 D 的距离最短,从而点 P 在弧段 ENF 上,故 点 P 在弧段 ENF 上,且在 QD 上. 设正方体的边长为 2,从而 DQ=

tan ? 最大值为 1,故 ? 最大值为

? .选 B 4

10 4 ? ? 2 ,从而 3 3

第Ⅱ卷(非选择题部分 共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11. 112 12. 2 13.
8 3 8 9

14. 题

15. y 2 ? 6x 16. 细 解 答

1 3 ? 2 2

17.

4 5





k 11. 解:二项式展开式的通项为 Tk ?1 ? C8 (2 x)8?k (?

4k 8? 1 k k 8? k k 3 ) ? ( ? 1) ? 2 ? C ? x ,0 ? k ? 8 8 3 x

从而令 8 ?

4k 6 ? 0 ,故 k ? 6 . 从而常数项 M ? T7 ? (?1)6 ? 22 ? C8 ? 112 . 3

12. 解:利用线性规划的求解方式容易得当 x ? 2, y ? 0 时, z 有最小值为 2. 13. 解:该几何体的直观图如图所示,为四棱锥 P ? ABCD 则其体积为 ? (2 ? 2 2) ? 2 ?

C B

1 3

8 . 3

16 , 36 8 12 D P , P (? ? 2) ? P (| a ? b |? 2) ? , P(? ? 1) ? P(| a ? b |? 2) ? 36 36 8 ? 24 8 ? . 故 E (? ) ? A 36 9 15. 解: 由于 | BC |? 2 | BB ' | ,则直线 l 的斜率为 3 , 故| A C|? 2| A A'| 1 2 ? ,从而 | BF |? 2 , p | CF | 1 从而 | AB |? 8 .故 ? ? ,即 p ? 3 ,从而抛物线的方程为 y 2 ? 6x . | AA ' | | CA | 2 16. 如图,设点 D 关于 AC 的对称点为 D ' ,且 DD ' 交 AC 于点 E . 设 ?DCA ? ? ,则 B 中利用正弦定理 ?BCD ? 2? , ?CD ' D ? 90? ? ? , ?CBD ? 150? ? 3? , 在 ?DCD ', ?BCD m CD BD DD ' CD 150° -3θ 得 从 ? ? ? sin(150? ? 3? ) sin 2? sin 2? sin(90? ? ? ) D ? ? ? m 而得 sin(150 ? 3? ) ? sin(90 ? ? ) ,从而 150 ? 3? ?
14. 解: ? 的可能取值为 0,1, 2 ,则 P(? ? 0) ? P(| a ? b |? 1) ?

90? ? ? 或 150? ? 3? ? 90? ? ? ? 180? 从而得 ? ? 15? . 显 DE 1 AE 3 1? 3 C ? ,? ? ? ?? 然? ? ,故 ? ? ? ? . AB 2 AC 2 2
2 2

2θ θ

θ

A 90° -θ

E m D'

17. 解:由于 x ? ax ? b ? 2 ? 0 ,则 ax ? b ? x ? 2 ? 0 ,从而

( x 2 ? 2)2 (t ? 3)2 9 2 2 2 令 ,从而 a ?b ? ,| x |? 2 t ? 1 ? x ? 5 a ?b ? ? t ? ? 6, t ? 5 ,从 2 1? x t t
2 2

9 4 4 ? 6 ? . 当且仅当 x ? ?2 取等号. 故 a 2 ? b 2 的最小值为 . 5 5 5 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算 过程.
而 a 2 ? b2 ? 5 ? 18. 解: (1) f ( x) ? 1 ? cos?x ? 由函数的图象及 AB ?

1 3 ? cos?x ? sin ?x ? 1 ? ? 3 sin(?x ? ) ……3 分 2 2 3
2?

?
2

,得到函数的周期 T ?

?

? 2?

?
2

解得 ? ? 2 ……5 分

(2)? f ( A) ? ? 3 sin(2 A ? 又? ?ABC 是锐角三角形, ?

?
?
3

3 ? 3 ……7 分 ) ? ? ? sin(2 A ? ) ? 3 2 3 2
? 2A ?

?
3

?

2? ? ? ? ,? 2 A ? ? 即 A ? ……9 分 3 3 3 3

由 S ?ABC ?
2 2

1 3b 3 bc sin A ? ? ? 3 3 ,得 b ? 4 ……11 分 2 2 2
2 2 2

得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 4 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ?

1 ? 13 即 a ? 13 ……13 分 2

9(a1 ? a9 ) ? ?a5 ? 5 ? 9a5 ? 45 ?S9 ? 19. 解: (I ) 由于 ? , 故? , 故等差数列的公差 d ? 2 , a1 ? ?3 2 a3 ? 1 ? ? a3 ? 1 ?
故数列 {an } 的通项公式 an ? 2n ? 5 .

an ?1 an a a2 ? Tn ? 1 ? 2 ? ? n ? ? an ? 3 3 3 ?1 3n (II)由于 bn ? n ,则 ? 两式相减即得 a a 3 a 1 n ? 1 n 1 ? T ?      ? ?   ? n ? n+1 n ? 32 3 3 ?3
2Tn a1 1 1 ? ? 2( 2 ? 3 ? 3 3 3 3
Tn ? ?1 ? n ?1 . 3n n ?1 ?1 n ?1 n n ? 1 ?n ? 3n ? 3 2n ? 3 ) ? (?1 ? n ) ? ? n ?1 ? n ? ? n ?1 n ?1 3 3 3 3 3n ?1 3

1 1 (1 ? n?1 ) an a a1 1 2 2n ? 2 3 ? n ) ? n?1 ? ? 2 ? 9 ? nn ? ? ? n?1 ,从而 ?1 1 3 3 3 3 3 3 1? 3

由于 Tn ?1 ? Tn ? (?1 ?

故当 n ? 2 时 Tn?1 ? Tn ,从而 T1 ? T2 , T2 ? T3 , T3 ? T4 ,

,从而 T2 ? Tn ? ?1 , 即

?

10 ? Tn ? ?1 9

20 解: (1) 取 AP 中点 Q ,连接 NG,MG,由 N Q 平行且等于 BM,得四边形 N Q BM 为平 行四边形,从而 MN//B Q , 则 MN//面 PAB; ……7 分 (2) 建立空间直角坐标系如图,则有 P(0,0, 3) A( 3,0,0) , , B (0,?1,0) , C (0,1,0) ,

3 3 D( 3,2,0) 由 N 为 PD 中点,∴ N ( ,1, ) 2 2
令平面 PNC 的法向量 n ? (x, y, z) ,

z
……9 分

P N A M C y Q B

? x ?n ? EN ? 0 由? ,令 x ? ?1 ,则 n ? (?1, 3, 1) . ……11 分 ? ?n ? EP ? 0 D 同理可知平面 BNC 的法向量可取 n2 ? ( 3,0, ? 3) ……13 分
则 cos ? n, n2 ??

n ? n2 | n | ? | n2 |

??

10 10 , 则所求二面角的余弦值为 ;……15 分 5 5

方法二:连接 PM,QM,AM, ? NQ // ? MC ,? 四边形 QNCB 为平行四边形,
? NQ // CB 且 NC//QM? BC ? PM , BC ? AM ?BC ? 平面 PAM ? BC ? MQ 即 BC ? NC

从而 NC ? NQ , 又 NC ? NP 所以 ?PNQ 为二面角 P ? NC ? B 的平面角 设 BC = a ,则 ?PNQ 中, NQ ?
PQ ? 1 6 PA ? a 2 4
NP 2 ? NQ 2 ? PQ 2 10 ? 2 NP ? NQ 5
10 5

1 10 a a, , NP ? DP ? 2 2 4

所以 cos ?PNQ ?

即二面角 P ? NC ? B 的的余弦值为 21. 解: (I)由于椭圆 C1 中, e ?

x2 3 3 ? y 2 ? ? ? 0 ,由于点 (1, ) 在椭 ,则设其方程为 4 2 2 x2 p 1 ? ,故 p ? 1 , ? y 2 ? 1. 对抛物线 C2 中, 2 2 4

圆上,故代入得 ? ? 1 . 故椭圆 C1 的方程为

从而椭圆 C1 的方程为 (II)

x2 ? y 2 ? 1,抛物线 C2 的方程为 x2 ? ?2 y . 4

i)设点 M ( x0 , y0 ) ,且满足 2x0 ? 4 y0 ? 3 ? 0 ,点 A(x1, y1), B( x 2, y 2) ,则切线 MA 的斜率为

? x1 ,从而 MA 的方程为 y ? ? x1 ( x ? x1 ) ? y1 ,考虑到 y1 ? ?

x12 ,则切线 MA 的方程为 2

x1x ? y ? y1 ? 0 ,同理切线 MB 的方程为 x2 x ? y ? y2 ? 0 ,由于切线 MA, MB 同过点 M ,
从而有 ?

? x2 x0 ? y0 ? y2 ? 0 ,由此点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 在直线 x0 x ? y ? y0 ? 0 上. 又点 M ? x2 x0 ? y0 ? y2 ? 0
上 0 , 则 2x0 ? 4 y0 ? 3 ? 0 , 故 直 线 AB 的 方 程 为 , 显然直线 AB 过定点 ( ?

在 直 线 2x ? 4 y? ? 3

即 y0 ( (4 y0 ? 3) x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 , 4x ? 2 ) ( 2 ? y 3? ) x 0?

1 3 ,? ) . 2 4

ii)设 P( x3 , y3 ), Q( x4 , y4 ) ,考虑到直线 AB 的方程为 x0 x ? y ? y0 ? 0 ,则联立方程

? x2 ? y2 ? 1 ? 2 2 ,消去 y 并简化得 (1 ? 4x0 ) x2 ? 8x0 y0 x ? 4 y0 ? 4 ? 0 ,从而 ? 4 ?x x ? y ? y ? 0 0 ? 0
2 4 y0 ?4 8x0 y0 , x3 x4 ? ? ? 16(4x ? y ?1) ? 0 , x3 ? x4 ? ? 2 2 4 x0 ? 1 4 x0 ? 1
2 0 2 0
2 2 16(4 x0 ? y0 ? 1) , 2 1 ? 4 x0

2 2 2 从而 | PQ |? 1 ? k PQ | x3 ? x4 |? 1 ? k PQ ? ( x3 ? x4 ) 2 ? 4 x3 x4 ? 1 ? x0

点 O 到 PQ 的距离 d ?

2 2 16(4 x0 ? y0 ? 1) | y0 | 2 , 从而 S?OPQ ? 1 ? | PQ | ?d ? 1 ? 1 ? x0 ? 2 2 2 2 2 1 ? 4 x0 1 ? x0 1 ? x0

| y0 |

?2

2 2 2 2 2 2 1 y0 ? (4 x0 ? y0 ? 1) y0 2 2 2 2 2 ? (4 x0 ? y0 ? 1) 当且仅当 y0 ? 4x0 ? y0 ? 1 , 即 y0 ? 2 x0 ? ? ?1 , 2 2 2 1 ? 4 x0 1 ? 4 x0

又由于 2x0 ? 4 y0 ? 3 ? 0 ,从而消去 x0 得 2 y0 ? (4 y0 ? 3) ? 1,即 7 y0 ?12 y0 ? 5 ? 0 ,从
2 2 2

1 ? 1 ? x0 ? ? ? 5 ? ?x ? 14 ,从而所求的直线为 而求得 y0 ? 1或y0 ? ,从而 ? 0 2 或 ? 5 7 ? ? ? y0 ? 1 ? y0 ? 7 ?
x ? 2 y ? 2 ? 0 或 x ? 14 y ? 10 ? 0
22. 解: (I) f '( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,由于 f ( x ) 在 x ? 1 处有极大值 2,则 ?

? f '(1) ? 0 ,即 f (1) ? 2 ?

?3a ? 2b ? c ? 0 a?4 ,则 c ? a ? 4,b ? ? 2? 2a . 从而 f '( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ? 3a( x ? 1)( x ? ). ? 3a ? a?b?c ? 2
由于 f ( x ) 在 x ? 1 处有极大值,且 a ? 0 ,则 ①当 0 ? a ?

a?4 ? 1 ,即 0 ? a ? 2 . 3a

4 a?4 ? 2 ,从而当 x ? [0,1] 时, f '( x) ? 0 ; x ? [1, 2] 时, f '( x) ? 0 , 时,则 5 3a

从而 f ( x ) 在 [0,1] 上单调递增,在 [1, 2] 上单调递减. ②当

a?4 4 a?4 ? 2 , 从 而 当 x ?[ 0 , 1 ] [ ? a ? 2 时 , 则 1? ,时 2 ], f ' (x )? 0; 3a 5 3a a?4 a?4 x ? [1, ] 时, f '( x) ? 0 ,从而 f ( x) 在 [0,1] 上单调递增,在 [1, ] 上单调递减,在 3a 3a a?4 [ , 2] 上单调递增. 3a

(II)由于 f ( x ) 为 [?2, 2] 上的奇函数,从而 b ? 0 ,从而 f ( x) ? ax3 ? cx, 要使得任意的 x ? [?2, 2] 恒有 | f ( x) |? 2 ,则只需任意的 x ? [0, 2] 时 | f ( x) |? 2 恒成立. 显然要使得 c 取最大值,则 c ? 0 . ①当 a ? 0 时,则当 x ? [0, 2]时, f '(x ) ? 0,故 f ( x ) 在 [0, 2] 上单调递增 . 由于任意的 恒有 | f ( x) |? 2 ,则只需 f (2) ? 8a ? 2c ? 2 ,从而 c ? 1 ? 4a ? 1,即 c 的最大可 x ? [0, 2] 能值为 1 .
2 ②当 a ? 0 时,则 f '( x) ? 3ax ? c ,令 x0 ?

c . ?3a

i)当

c ? 2 时,当 x ? [0, 2] 时,恒有 f '( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 [0, 2] 上单调递增. 要使得 ?3a

任意的 x ? [0, 2] 恒有 | f ( x) |? 2 ,则只需 f (2) ? 8a ? 2c ? 2 ,从而 c ? 1 ? 4a .

考虑到

c c c 3 3 ? 2 ,即 ?4a ? ,从而 c ? 1 ? ,故 c ? ,即 c 的最大可能值为 . 3 3 2 2 ?3a c c c ? 2 时,则当 x ? [0, ] 时,有 f '( x) ? 0 ;当 x ? [ , 2] 时,有 ?3a ?3a ?3a c c ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减,故要使得任意 ?3a ?3a c 2c c )? ? 2 ,且 f (2) ? 8a ? 2c ? ?2 ?3a 3 ?3a

ii)当 0 ?

f '( x) ? 0 ,从而 f ( x) 在 [0,

的 x ? [0, 2] 恒有 | f ( x) |? 2 ,则只需 f ( 即 c3 ? ?27a ,且 0 ? ? a ?

1? c 1 c 3 ,故 c ? ? ,即 (c ? 3)(4c2 ? 12c ? 9) ? (c ? 3)(2c ? 3)2 ? 0 4 4 4 故 c ? 3 ,即 c 的最大可能值为 3 . 由上述可知, c 的最大可能值 为 3 .下面我们再证明 c ?3 是可取的,令
3 f ( x)? ? x ? 3 x, x? [? 2 ,,则 2 ] f '( x) ? ?3x2 ? 3 ? ?3( x ?1)( x ? 1) ,则当 f '( x) ? 0 时有

?1 ? x ? 1 ,故 f ( x) 在 [?2, ?1] 单调递减,在 [?1,1] 上单调递增,在 [1, 2] 上单调递减,故

fmax ? max{ f (?2), f (1)} ? max{2, 2} ? 2 ,fmin ? min{ f (?1), f (2)} ? min{?2, ?2} ? ?2
从而任意的 x ? [?2, 2] 恒有 | f ( x) |? 2 成立. 综合上述,实数 c 的最大值为 3 .


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