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2014大纲【理】官方解答word版


2014 高考数学【大纲卷理】官方参考答案

2014 高考数学【大纲卷理】官方参考答案
一、选择题: 1.D 5.C 9.A 二、填空题 13.70 三、解答题: 17.本题主要考等差数列的证明,通项公式、数列求和,考查运算求解能力.满分 10 分. 解: (Ⅰ)由 an ? 2 ? 2an ?1 ? an ? 2 , an? 2 ? an?1 ? an?1 ? an ? 2 ,即 bn ?1 ? bn ? 2 ,又 b1 ? a2 ? a1 ? 1 , 所以 {bn } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列. (Ⅱ)由(1)得 bn ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ,即 an?1 ? an ? 2n ? 1 , 于是 ? (ak ?1 ? ak ) ? ? (2k ? 1) .
k ?1 k ?1 n n

2.B 6.A 10.C

3 .C 7 .C 11.B

4.B 8.A 12.D

14.5

15.

4 3

16. ?? ?,2?

……5 分

所以 an?1 ? a1 ? n2 ,即 an?1 ? n2 ? a1 ,又 a1 ? 1 所以 {a n } 的通项公式 an ? n2 ? 2n ? 2 .……10 分

18.本题主要考查正弦定理,三角函数的基本关系式、两角和三角公式,考查运算求解能力.满分 12 分. 解:由题设和正弦定理得: 3sin A cos C ? 2sin C cos A ,故 3 tan A cos C ? 2sin C ,

1 1 因为 tan A ? ,所以 cos C ? 2sin C , tan C ? , 3 2
所以 tan B ? tan[180? ? ( B ? C)] ? ? tan( B ? C) ? 即 B ? 135? . 【考点】正弦定理同角基本关系,两角差的正切公式,逻辑分析、运算解题能力.

……6 分 ……10 分 ……12 分

tan A ? tan C ? ?1 tan A tan C ? 1

19.本题主要考查空间几何体的结构特征,空间垂直关系的证明以及二面角的求解,直线和平面的距离的 转化等,考查空间想象能力和逻辑推理能力,满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)因为 A1D ? 平面 ABC , A1 D ? 平面 AA1C1C ,故平面 AA1C1C ? 平面 ABC . 又 BC ? AC ,所以 BC ? 平面 AA1C1C . 连结 A1C ,因为侧面 AA1C1C 为菱形,故 AC1 ? A1C , 由三垂线定理得 AC1 ? A1 B .
1

……3 分

……5 分

2014 高考数学【大纲卷理】官方参考答案

(Ⅱ) BC ? 平面 AA1C1C , BC ? 平面 BCC1 B1 ,故平面 AA1C1C ? 平面 BCC1 B1 . 作 A1 E ? CC1 , E 为垂足,则 A1E ? 平面 BCC1 B1 . 又直线 AA1 ∥平面 BCC1 B1 ,因而 A1 E 为直线 AA1 与平面 BCC1 B1 的距离, A1 E ? 3 . 因为 A1C 为 ?ACC1 的平分线,故 A1 D ? A1 E ? 3 . ……8 分 A1 E C1 B1

作 DF ? AB , F 为垂足,连结 A1 F ,由三垂线定理得 A1 F ? AB . 故 ?A1 FD 为二面角 A1 ? AB ? C 的平面角.
2 2 AC 中点, 由 AD ? AA 1 ? AD ? 1 得 D 为

1 AC ? BC 5 AD DF ? ? ? , tan ?A1 FD ? 1 ? 15 . 2 AB 5 DF

D A ……12 分

C F

B

所以二面角 A1 ? AB ? C 的大小为 arctan 15 .

解法二: 以 C 为坐标原点,射线 CA 为 x 轴的正半轴,以 CB 的长为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系
C ? xyz ,由题设知 A1 D 与 z 轴平行, x 轴在平面 AA1C1C 内.

z

C1

B1

(Ⅰ)设 A1 ? a,0, c ? ,由题设有 a≤2 , A ? 2,0,0 ? , B ? 0,1,0? ,则

A1

AB ? ? ?2,1,0? , AC ? ? ?2,0,0? , AA1 ? ? a ? 2,0, c ? .
AC1 ? AC ? AA1 ? ? a ? 4,0, c ? , BA1 ? ? a, ?1, c ? .
由 | AA1 |? 2 得 ……2 分 D A x C B y

? a ? 2?

2

? c 2 ? 2 ,即 a 2 ? 4a ? c 2 ? 0 . ①

于是 AC1 ? BA1 ? a2 ? 4a ? c2 ? 0 ,所以 AC1 ? A1B . ……5 分

(Ⅱ)设平面 BCC1 B1 的法向量 m ? ? x, y, z ? ,则 m ? CB , m ? BB1 ,即 m ? CB ? 0 , m ? BB1 ? 0 . 因 CB ? ? 0,1,0? , BB1 ? AA1 ? ? a ? 2,0, c ? ,故 y ? 0 ,且 ? a ? 2? x ? cz ? 0 . 令 x ? c ,则 z ? 2 ? a , m ? ? c,0, 2 ? a ? ,点 A 到平面 BCC1 B1 的距离为

| CA | ? | cos ? m, CA ?|?

| CA ? m | 2c ? ?c. 2 2 |m| c ? ?2 ? a?

又依题设, A 到平面 BCC1 B1 的距离为 3 ,所以 c ? 3 . 代入① 解得 c ? 3 (舍去)或 a ? 3 . ……8 分

2

2014 高考数学【大纲卷理】官方参考答案

于是 AA1 ? ?1, 0, 3 . 设平面 ABA1 的法向量 n ? ? p , q , r ? ,则 n ? AA1 , n ? AB ,即 n? AA1 ? 0 , n? AB ? 0 .

?

?

? p ? 3r ? 0 ,且 ?2 p ? q ? 0 ,令 p ? 3 ,则 q ? 2 3 , r ? 1, n ?
又 p ? ? 0,0,1? 为平面 ABC 的法向量,故
cos ? n, p ?? n? p 1 ? . | n || p | 4

?

3 , 2 3 ,1 .

?

1 所以二面角 A1 ? AB ? C 的大小为 arccos . ……12 分 4 20.考查独立事件、互斥事件的概率,以及分类讨论思想,逻辑推理能力,满分 12 分.
解:记 Ai 表示事件:同一工作日乙、丙中恰有 i 人需要使用设备, i ? 0,1, 2 .

B 表示事件:甲需使用设备, C 表示事件:丁需使用设备, D 表示事件:同一工作日至少 3 人需使用设备, E 表示事件:同一工作日 4 人需使用设备, F 表示事件:同一工作日需使用设备的人数大于 k .
(Ⅰ) D ? A1 ? B ? C ? A2 ? B ? A2 ? B ? C ,
P ? B ? ? 0.6 , P ? C ? ? 0.4 , P ? Ai ? ? C 2 ? 0.52 , i ? 0,1, 2 ,
i

……3 分

所以 P ? D ? ? P A1 ? B ? C ? A2 ? B ? A2 ? B ? C

?

? ? ? ?
……6 分

? P ? A1 ? B ? C ? ? P ? A2 ? B ? ? P A2 ? B ? C

?

? P ? A1 ? P ? B ? P ? C ? ? P ? A2 ? P ? B ? ? P ? A2 ? P B P ?C ? ? 0.31 .

(II)由(I)知,若 k ? 2 ,则 P ? F ? ? 0.31 ? 0.1 . 又 E ? B ? C ? A2 , P ? E ? ? P ? B ? C ? A2 ? ? P ? B ? P ?C ? P ? A2 ? ? 0.06 . 若 k ? 3 ,则 P ? F ? ? 0.06 ? 0.1. 所以 k 的最小值为 3. ……12 分

21.本题主要考查二次函数的基本性质、导数的应用等基本知识,考查综合运用数学思想方法分析与解决 问题的能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x ? 3, f ?( x) ? 0 的判别式 ? ? 36(1 ? a) (ⅰ)若 a≥1, 则 f ?( x)≥0, 且 f ?( x) ? 0 当且仅当 a ? 1, x ? ?1. 故此时 f ( x) 在 R 上是增函数 (ⅱ)由于 a ? 0 ,故当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 有两个根:
3

2014 高考数学【大纲卷理】官方参考答案

x1 ?

?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a , x2 ? a a

若 0 ? a ? 1, 则当 x ? (??, x2 ) 或 x ? ( x1 , ??) 时 f ?( x) ? 0, 故 f ( x) 分别在 (??, x2 ), ( x1 , ??) 是增函数; 当 x ? ( x2 , x1 ) 时 f ?( x) ? 0, 故 f ( x) 在 ( x2 , x1 ) 是减函数; 若 a ? 0, 则当 x ? (??, x1 ) 或 x ? ( x2 , ??) 时 f ?( x) ? 0, 故 f ( x) 分别在 (??, x1 ), ( x2 , ??) 是减函数; 当 x ? ( x1 , x2 ) 时 f ?( x) ? 0, 故 f ( x) 在 ( x1 , x2 ) 是增函数 (2)当 a ? 0, x ? 0 时, f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x ? 3 ? 0, 故当 a ? 0 时, f ( x) 在区间 (1, 2) 是增函数

5 当 a ? 0 时, f ( x ) 在区间 (1, 2) 是增函数当且仅当 f ?(1)≥0且f ?(2)≥0, 解得 ? ≤a ? 0 4 5 综上, a 的取值范围是 [? ,0) 4 (0, ??).

22.本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查运算求解能 力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)设 Q( x0 , 4) ,代入 y 2 ? 2 px 得 x0 ? 所以 PQ ? 由题设得
8 . p

8 p p 8 , QF ? ? x p ? ? . p 2 2 p

p 8 5 8 ? ? ? .解得 p ? ?2 或 p ? 2 . 2 p 4 p

所以 C 的方程为 y 2 ? 4 x . (2)依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x ? my ? 1 ( m ? 0 ) . 代入 y 2 ? 4 x 得 y 2 ? 4my ? 4 ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? 4m , y1 y2 ? ?4 . 故 AB 的中点为 D(2m 2 ? 1, 2m) . AB ? m 2 ? 1 y2 ? y1 ? 4(m 2 ? 1) . 又 l ' 的斜率为 ? m ,所以 l ' 的方程为 x ? ? 将上式代入 y 2 ? 4 x ,并整理得 y 2 ?
1 y ? 2m 2 ? 3 . m

4 y ? 4(2m 2 ? 3) ? 0 . m 4 , y3 y4 ? ?4(2m 2 ? 3) . m

设 M ( x3 , y3 ) , N ( x4 , y4 ) ,则 y3 ? y4 ? ? 故 MN 的中点为 E (
2 2 ? 2m 2 ? 3, ? ) . 2 m m

MN ?

1 4(m 2 ? 1) 2m 2 ? 1 . ? 1 y ? y ? 4 3 m2 m2
4

2014 高考数学【大纲卷理】官方参考答案

由于 MN 垂直平分 AB ,故 A 、 M 、 B 、 N 四点在同一圆上等价于 AE ? BE ? 从而

1 MN , 2

1 1 2 2 4(m 2 ? 1) 2 (2m 2 ? 1) 2 2 2 2 . AB ? DE ? MN ,即 4(m 2 ? 1) 2 ? (2m ? ) 2 ? ( 2 ? 2) 2 ? 4 4 m m m2

化简得 m 2 ? 1 ? 0 ,解得 m ? 1 或 m ? ?1 . 所求直线 l 的方程为: x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 .

5


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