2014大纲【理】官方解答word版

2014 高考数学【大纲卷理】官方参考答案

2014 高考数学【大纲卷理】官方参考答案
一、选择题： 1．D 5．C 9．A 二、填空题 13.70 三、解答题： 17．本题主要考等差数列的证明，通项公式、数列求和，考查运算求解能力．满分 10 分． 解： （Ⅰ）由 an ? 2 ? 2an ?1 ? an ? 2 ， an? 2 ? an?1 ? an?1 ? an ? 2 ，即 bn ?1 ? bn ? 2 ，又 b1 ? a2 ? a1 ? 1 ， 所以 {bn } 是首项为 1，公差为 2 的等差数列． （Ⅱ）由（1）得 bn ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ，即 an?1 ? an ? 2n ? 1 ， 于是 ? (ak ?1 ? ak ) ? ? (2k ? 1) ．
k ?1 k ?1 n n

2．B 6．A 10．C

3 ．C 7 ．C 11．B

4．B 8．A 12．D

14．5

15．

4 3

16． ?? ?,2?

……5 分

所以 an?1 ? a1 ? n2 ，即 an?1 ? n2 ? a1 ，又 a1 ? 1 所以 {a n } 的通项公式 an ? n2 ? 2n ? 2 ．……10 分

18．本题主要考查正弦定理，三角函数的基本关系式、两角和三角公式，考查运算求解能力．满分 12 分． 解：由题设和正弦定理得： 3sin A cos C ? 2sin C cos A ，故 3 tan A cos C ? 2sin C ，

1 1 因为 tan A ? ，所以 cos C ? 2sin C ， tan C ? ， 3 2
所以 tan B ? tan[180? ? ( B ? C)] ? ? tan( B ? C) ? 即 B ? 135? ． 【考点】正弦定理同角基本关系，两角差的正切公式，逻辑分析、运算解题能力．

……6 分 ……10 分 ……12 分

tan A ? tan C ? ?1 tan A tan C ? 1

19．本题主要考查空间几何体的结构特征，空间垂直关系的证明以及二面角的求解，直线和平面的距离的 转化等，考查空间想象能力和逻辑推理能力，满分 12 分． 解法一： （Ⅰ）因为 A1D ? 平面 ABC ， A1 D ? 平面 AA1C1C ，故平面 AA1C1C ? 平面 ABC ． 又 BC ? AC ，所以 BC ? 平面 AA1C1C ． 连结 A1C ，因为侧面 AA1C1C 为菱形，故 AC1 ? A1C ， 由三垂线定理得 AC1 ? A1 B ．
1

……3 分

……5 分

2014 高考数学【大纲卷理】官方参考答案

（Ⅱ） BC ? 平面 AA1C1C ， BC ? 平面 BCC1 B1 ，故平面 AA1C1C ? 平面 BCC1 B1 ． 作 A1 E ? CC1 ， E 为垂足，则 A1E ? 平面 BCC1 B1 ． 又直线 AA1 ∥平面 BCC1 B1 ，因而 A1 E 为直线 AA1 与平面 BCC1 B1 的距离， A1 E ? 3 ． 因为 A1C 为 ?ACC1 的平分线，故 A1 D ? A1 E ? 3 ． ……8 分 A1 E C1 B1

作 DF ? AB ， F 为垂足，连结 A1 F ，由三垂线定理得 A1 F ? AB ． 故 ?A1 FD 为二面角 A1 ? AB ? C 的平面角．
2 2 AC 中点， 由 AD ? AA 1 ? AD ? 1 得 D 为

1 AC ? BC 5 AD DF ? ? ? ， tan ?A1 FD ? 1 ? 15 ． 2 AB 5 DF

D A ……12 分

C F

B

所以二面角 A1 ? AB ? C 的大小为 arctan 15 ．

解法二： 以 C 为坐标原点，射线 CA 为 x 轴的正半轴，以 CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
C ? xyz ，由题设知 A1 D 与 z 轴平行， x 轴在平面 AA1C1C 内．

z

C1

B1

（Ⅰ）设 A1 ? a,0, c ? ，由题设有 a≤2 ， A ? 2,0,0 ? ， B ? 0,1,0? ，则

A1

AB ? ? ?2,1,0? ， AC ? ? ?2,0,0? ， AA1 ? ? a ? 2,0, c ? ．
AC1 ? AC ? AA1 ? ? a ? 4,0, c ? ， BA1 ? ? a, ?1, c ? ．
由 | AA1 |? 2 得 ……2 分 D A x C B y

? a ? 2?

2

? c 2 ? 2 ，即 a 2 ? 4a ? c 2 ? 0 ． ①

于是 AC1 ? BA1 ? a2 ? 4a ? c2 ? 0 ，所以 AC1 ? A1B ． ……5 分

（Ⅱ）设平面 BCC1 B1 的法向量 m ? ? x, y, z ? ，则 m ? CB ， m ? BB1 ，即 m ? CB ? 0 ， m ? BB1 ? 0 ． 因 CB ? ? 0,1,0? ， BB1 ? AA1 ? ? a ? 2,0, c ? ，故 y ? 0 ，且 ? a ? 2? x ? cz ? 0 ． 令 x ? c ，则 z ? 2 ? a ， m ? ? c,0, 2 ? a ? ，点 A 到平面 BCC1 B1 的距离为

| CA | ? | cos ? m, CA ?|?

| CA ? m | 2c ? ?c． 2 2 |m| c ? ?2 ? a?

又依题设， A 到平面 BCC1 B1 的距离为 3 ，所以 c ? 3 ． 代入① 解得 c ? 3 （舍去）或 a ? 3 ． ……8 分

2

2014 高考数学【大纲卷理】官方参考答案

于是 AA1 ? ?1, 0, 3 ． 设平面 ABA1 的法向量 n ? ? p , q , r ? ，则 n ? AA1 ， n ? AB ，即 n? AA1 ? 0 ， n? AB ? 0 ．

?

?

? p ? 3r ? 0 ，且 ?2 p ? q ? 0 ，令 p ? 3 ，则 q ? 2 3 ， r ? 1， n ?
又 p ? ? 0,0,1? 为平面 ABC 的法向量，故
cos ? n, p ?? n? p 1 ? ． | n || p | 4

?

3 , 2 3 ,1 ．

?

1 所以二面角 A1 ? AB ? C 的大小为 arccos ． ……12 分 4 20．考查独立事件、互斥事件的概率，以及分类讨论思想，逻辑推理能力，满分 12 分．
解：记 Ai 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有 i 人需要使用设备， i ? 0,1, 2 ．

B 表示事件：甲需使用设备， C 表示事件：丁需使用设备， D 表示事件：同一工作日至少 3 人需使用设备， E 表示事件：同一工作日 4 人需使用设备， F 表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于 k ．
（Ⅰ） D ? A1 ? B ? C ? A2 ? B ? A2 ? B ? C ，
P ? B ? ? 0.6 ， P ? C ? ? 0.4 ， P ? Ai ? ? C 2 ? 0.52 ， i ? 0,1, 2 ，
i

……3 分

所以 P ? D ? ? P A1 ? B ? C ? A2 ? B ? A2 ? B ? C

?

? ? ? ?
……6 分

? P ? A1 ? B ? C ? ? P ? A2 ? B ? ? P A2 ? B ? C

?

? P ? A1 ? P ? B ? P ? C ? ? P ? A2 ? P ? B ? ? P ? A2 ? P B P ?C ? ? 0.31 ．

（II）由（I）知，若 k ? 2 ，则 P ? F ? ? 0.31 ? 0.1 ． 又 E ? B ? C ? A2 ， P ? E ? ? P ? B ? C ? A2 ? ? P ? B ? P ?C ? P ? A2 ? ? 0.06 ． 若 k ? 3 ，则 P ? F ? ? 0.06 ? 0.1． 所以 k 的最小值为 3． ……12 分

21．本题主要考查二次函数的基本性质、导数的应用等基本知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决 问题的能力．满分 12 分． 解： （Ⅰ） f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x ? 3, f ?( x) ? 0 的判别式 ? ? 36(1 ? a) （ⅰ）若 a≥1, 则 f ?( x)≥0, 且 f ?( x) ? 0 当且仅当 a ? 1, x ? ?1. 故此时 f ( x) 在 R 上是增函数 （ⅱ）由于 a ? 0 ，故当 a ? 1 时， f ?( x) ? 0 有两个根：
3

2014 高考数学【大纲卷理】官方参考答案

x1 ?

?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a , x2 ? a a

若 0 ? a ? 1, 则当 x ? (??, x2 ) 或 x ? ( x1 , ??) 时 f ?( x) ? 0, 故 f ( x) 分别在 (??, x2 ), ( x1 , ??) 是增函数； 当 x ? ( x2 , x1 ) 时 f ?( x) ? 0, 故 f ( x) 在 ( x2 , x1 ) 是减函数； 若 a ? 0, 则当 x ? (??, x1 ) 或 x ? ( x2 , ??) 时 f ?( x) ? 0, 故 f ( x) 分别在 (??, x1 ), ( x2 , ??) 是减函数； 当 x ? ( x1 , x2 ) 时 f ?( x) ? 0, 故 f ( x) 在 ( x1 , x2 ) 是增函数 （2）当 a ? 0, x ? 0 时， f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x ? 3 ? 0, 故当 a ? 0 时， f ( x) 在区间 (1, 2) 是增函数

5 当 a ? 0 时， f ( x ) 在区间 (1, 2) 是增函数当且仅当 f ?(1)≥0且f ?(2)≥0， 解得 ? ≤a ? 0 4 5 综上， a 的取值范围是 [? ,0) 4 (0, ??).

22．本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能 力．满分 12 分． 解： （Ⅰ）设 Q( x0 , 4) ，代入 y 2 ? 2 px 得 x0 ? 所以 PQ ? 由题设得
8 ． p

8 p p 8 ， QF ? ? x p ? ? ． p 2 2 p

p 8 5 8 ? ? ? ．解得 p ? ?2 或 p ? 2 ． 2 p 4 p

所以 C 的方程为 y 2 ? 4 x ． （2）依题意知 l 与坐标轴不垂直，故可设 l 的方程为 x ? my ? 1 （ m ? 0 ） ． 代入 y 2 ? 4 x 得 y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ． 设 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，则 y1 ? y2 ? 4m ， y1 y2 ? ?4 ． 故 AB 的中点为 D(2m 2 ? 1, 2m) ． AB ? m 2 ? 1 y2 ? y1 ? 4(m 2 ? 1) ． 又 l ' 的斜率为 ? m ，所以 l ' 的方程为 x ? ? 将上式代入 y 2 ? 4 x ，并整理得 y 2 ?
1 y ? 2m 2 ? 3 ． m

4 y ? 4(2m 2 ? 3) ? 0 ． m 4 ， y3 y4 ? ?4(2m 2 ? 3) ． m

设 M ( x3 , y3 ) ， N ( x4 , y4 ) ，则 y3 ? y4 ? ? 故 MN 的中点为 E (
2 2 ? 2m 2 ? 3, ? ) ． 2 m m

MN ?

1 4(m 2 ? 1) 2m 2 ? 1 ． ? 1 y ? y ? 4 3 m2 m2
4

2014 高考数学【大纲卷理】官方参考答案

由于 MN 垂直平分 AB ，故 A 、 M 、 B 、 N 四点在同一圆上等价于 AE ? BE ? 从而

1 MN ， 2

1 1 2 2 4(m 2 ? 1) 2 (2m 2 ? 1) 2 2 2 2 ． AB ? DE ? MN ，即 4(m 2 ? 1) 2 ? (2m ? ) 2 ? ( 2 ? 2) 2 ? 4 4 m m m2

化简得 m 2 ? 1 ? 0 ，解得 m ? 1 或 m ? ?1 ． 所求直线 l 的方程为： x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 ．

5