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北京市海淀区学高二下期中考试数学文试题含答案

海淀区高二年级第二学期期中练习
数 学(文科)

学校

班级

姓名

成绩

2016.4

本试卷共 100 分.考试时间 90 分钟.

一、选择题:本大题共 8 小题, 每小题 4 分,共 32 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

目要求的.
1.复数 z ?1? 2i 的虚部是( A. ?2 B. 2 C. ?2i
2.下列导数运算错.误.的是(

)
D. 2i )

A. (x?2 )' ? ?2x?1 B. (cos x)' ? ?sin x C. (sin x)' ? cos x D. (ex ) ' ? ex

3. 函数 f (x) 的图象如图所示,则 f (x) 的极大值点的个数为( )

y

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

O

x

4.已知函数 f (x) 的导函数 f '(x) ? (1 ? x)e?x .若 f (x) 在 (m, m ? 2) 上单调

递增,则实数 m 的取值范围是(

A. [1, ??)

B. (??,1]

) C. [?1, ??)

D. (??, ?1]

5. 已知两个命题:

p : “若复数 z1, z2 满足 z1 ? z2 ? 0 ,则 z1 ? z2 .”

q :“存在唯一的一个实数对 (a,b) 使得 a ? bi ? i(2 ? i) .”

其真假情况是( ) A. p 真 q 假 B. p 假 q 假

C. p 假 q 真

D. p 真 q 真

6. 一个高为 H 容积为 V 的鱼缸的轴截面如图所示.现向空鱼缸内注水,直到注满

为止.当鱼缸水深为 h 时,水的体积记为 v.函数 v=f(h)的大致图象可能是( )

v

v

v

v

V

V

V

V

O A Hh O B Hh O C Hh O D Hh

7.已知函数 f (x) 在 R 上可导,其部分图象如图所示,设 f (2) ? f (1) ? a ,则下列不等式正确的是 2 ?1

()

A. f ?(1) ? f ?(2) ? a

y

B. f ?(1) ? a ? f ?(2)

C. f ?(2) ? f ?(1) ? a D. a ? f ?(1) ? f ?(2)

1 2x

8.已知函数 f (x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ,其导函数的图象如图所示,则函数 f (x) 的图象只可能是( )

y

1

O1

x

y

y

y

y

O1

x

O1

x

O1

x

O1

x

A.

B.

C.

D.

二、填空题:本大题共 4 小题, 每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上.

9.计算 1+2i =_________. i
10.已知 f (x) ? x ,则 f '(x) ? ______________. x ?1
11. 若函数 y ? ax ? cos x 是增函数,则实数 a 的范围是_______________.
12. 已知数列{an} 满足 an ? 2an?1 ? 7 ? 3n?1,且 a1 ? 1 ,则 a3 ? ________,通项 an ? ______________(用
n 表示).

三、解答题:本大题共 5 小题,共 52 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

13.(本小题 12 分)

已知函数 f (x) ? ax3 ? bx2 ? cx ,其导函数为 f ' (x) 的部分值如下表所示:

x

-2

0

1

3

8

f '(x) -10

6

8

0

-90

根据表中数据,回答下列问题:
(Ⅰ)实数 c 的值为___________;当 x ? ________时, f (x) 取得极.大.值.(将答案填写在横线上). (Ⅱ)求实数 a , b 的值. (Ⅲ)求 f (x) 的单调区间.

14.(本小题 10 分) 如图,四棱锥 B ? ACDE 的底面 ACDE 满足 DE //AC,AC=2DE.
(Ⅰ)若 DC⊥平面 ABC, AB⊥BC,求证:平面 ABE⊥平面 BCD; (Ⅱ)求证:在平面 ABE 内不存在直线与 DC 平行; 某同学用分析法证明第(1)问,用反证法证明第 (2)问,证明过程如 下,请你在横线上填上合适的内容. (Ⅰ)证明:欲证平面 ABE ? 平面 BCD,
只需证_______________________________,
A
由已知 AB⊥BC,只需证________________, 由已知 DC⊥平面 ABC 可得 DC⊥AB 成立, 所以平面 ABE⊥平面 BCD. (Ⅱ)证明:假设______________________________________, 又因为 DC ? 平面 ABE ,所以 DC / / 平面 ABE . 又因为平面 ACDE 平面 ABE = AE ,
所以__________________, 又因为 DE //AC,所以 ACDE 是平行四边形,
所以 AC ? DE ,这与_____________________________矛盾, 所以假设错误,原结论正确.

E

D

C B

15.(本小题 12 分) 已知函数 f (x) ? aln x ? x ( a ?R ).
(Ⅰ)若直线 y ? 2x ? b 是函数 f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线,求实数 a,b 的值; (Ⅱ)若对任意的 x ? (0,??) ,都有 f (x) ? 0 成立,求实数 a 的取值范围.

16. (本小题 10 分) 请阅读问题 1 的解答过程,然后借鉴问题 1 的解题思路完成问题 2 的解答:
问题 1:已知数集 A ? ?a1, a2 , an??1 ? a1 ? a2 ? ? an , n ? 2? 具有性质 P :

对任意的 i,

j ?1 ? i ?

j

?

n

?

,ai

a

j



aj ai

两数中至少有一个属于 A .若数集?a1, 2,3, a4? 具有性质 P ,

求 a1, a4 的值.

解:对于集合中最大的数 a4 ,因为 a4 ? a4 ? a4 , 3? a4 ? a4 , 2 ? a4 ? a4 .

所以 a4 , a4 , a4 都属于该集合. a4 3 2

又因为1 ? a1

?2?3?

a4

,所以

a4 a4

?

a4 3

?

a4 2

?

a4

.

所以 a1

?

a4 a4

?1,

a4 3

? 2, a4 2

? 3 ,故 a1

?1, a4

?6.

问题 2:已知数集 A ? ?a1, a2 , an??0 ? a1 ? a2 ? ? an , n ? 2? 具有性质 P : 对任意的 i, j ?1 ? i ? j ? n? , ai ? a j 与 a j ? ai 两数中至少有一个属于 A .若数集?a1,1,3, a4? 具有性

质 P ,求 a1, a4 的值.

17. (本小题 8 分)

阅读下面的一段文字,并解决后面的问题:

我们可以从函数的角度来研究方程的解的个数的情况,例如,研究方程 2x3 ? 3x2 ? 6 ? 0 的解的

情况:因为方程 2x3

? 3x2

?6

?

0 的同解方程有

x3

?

3 2

x2

? 3 , 2x

?3?

6 x2

等多种形式,所以,我们

既可以选用函数 y ? x3, y ? 3 x2 ? 3 ,也可以选用函数 y ? 2x ? 3, y ? 6 ,通过研究两函数图象的位

2

x2

置关系来研究方程的解的个数情况.因为函数的选择,往往决定了后续研究过程的难易程度,所以从

函数的角度来研究方程的解的情况,首先要注意函数的选择.

请选择合适的函数来研究该方程

1 x

?

ax ? ex

b

的解的个数的情况,记

k

为该方程的解的个数.请写

出 k 的所有可能取值,并对 k 的每一个取值,分别指出你所选用的函数,画出相应图象(不需求出 a,b

的数值).

海淀区高二年级第二学期期中练习参考答案

数 学(文科)
一、选择题:本大题共 8 小题, 每小题 4 分,共 32 分.

2016.4

AABD CABD

二、填空题:本大题共 4 小题, 每小题 4 分,共 16 分.

9. 2 ? i

1 10. ?
(x ?1)2

11. [1,??)

12. 9 3n?1

(说明:一题两空的题目,每空 2 分)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 52 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

13.(本小题 12 分)

(Ⅰ)6,3.

-----------------------------------------------------------------4 分

(Ⅱ)解: f '(x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,-------------------------------------------------------------5 分

由已知表格可得

? ? ?

f f

'(1) '(3)

? ?

8, 0,

解得

??a ? ? 2 ?3 ?? b ? 2.

,

--------------------------------------------7



(Ⅲ)解:由(Ⅱ)可得 f '(x) ? ?2x2 ? 4x ? 6 ? ?2(x ? 3)(x ?1) ,---------------------8 分
因为 x?(??,?1) 和 x?(3,??) 时 f '(x) ? 0, x ?(?1,3) 时 f '(x) ? 0 ,-------10 分 所以 f (x) 的单调增区间为 (?1,3) ,单调减区间为 (??,?1) 和 (3,??) .--------12 分

14.(本小题 10 分)
(Ⅰ)证明:欲证平面 ABE ? 平面 BCD, 只需证 AB ?平面 BCD , ------------------------------------------------------------2 分 由已知 AB⊥BC,只需证 AB ? DC ,-------------------------------------------------4 分 由已知 DC⊥平面 ABC 可得 DC⊥AB 成立, 所以平面 ABE⊥平面 BCD.

(Ⅱ)证明:假设在平面 ABE 内存在直线与 DC 平行,---------------------------------6 分

又因为 DC ? 平面 ABE ,所以 DC / / 平面 ABE .

又因为平面 ACDE 平面 ABE = AE ,

所以 DC // AE ,

---------------------------------------8 分

又因为 DE //AC,所以 ACDE 是平行四边形,

所以 AC ? DE ,这与 AC ? 2DE 矛盾,---------------------------------------------10 分

所以假设错误,原结论正确.

15.(本小题 12 分) (Ⅰ)解:因为 f '(x) ? a ?1, x ? 0 .----------------------------------------------------------2 分
x 由已知可得 f '(1) ? a ?1 ? 2 ,解得 a ? 3.----------------------------------------3 分

因为 f (1) ? ?1,所以 ?1? 2 ? b ,解得 b ? ?3.--------------------------------4 分

2

2

(Ⅱ)解 1:当 a ? 0 时,因为 f (ea ) ? 2 ? ea ? 0 ,所以不合题意.----------------------6 分

当 a ? 0 时, f (x) ? ?x 对任意 x ? (0,??) ,都有 f (x) ? 0 成立.--------7 分

当 a ? 0 时,令 f '(x) ? 0 ,解得 x ? a ,

f '(x), f (x) 情况如下:

x

(0, a)

f '(x)

?

f (x)

a

(a ? ?)

0

?

---------------------------------------9 分

所以 f (x) 的最大值为 f (a) . -------------------------------------------------10 分

所以,依题意有 f (a) ? aln a ? a ? a(ln a ?1) ? 0 ,------------------------11 分

因为 a ? 0 ,所以 ln a ?1 ,即 a ? e .

综上,所求 a 的取值范围为[0,e] .----------------------------------------------12 分

解 2:对任意的 x ? (0,??) ,都有 f (x) ? 0 成立,即 a ln x ?1 成立,
x

设 g(x) ? a ln x , x ? 0 , x



a

?

0

时,因为

g

(e

1 a

)

?

e

?

1 a

? 1,显然

a ln x

? 1 不恒成立.---------------6



x

当 a ? 0 时,不等式显然成立.-----------------------------------------------------7 分



a

?

0

时,,则

g

'(x)

?

a(1? ln x2

x)



g

'(x),

g(x)

的情况如下:

(0, e) x

g '(x)

?

g(x)

e

(e ? ?)

0

?

-------------------------------9 分

所以 g(x) 的最大值为 g(e) ? ae?1 ,--------------------------------------------10 分

故只需 ae?1 ?1 ,即 a ? e .---------------------------------------------------------11 分

综上,所求 a 的取值范围为[0,e] .----------------------------------------------12 分 16. (本小题 10 分) 解:对于集合中最大的数 a4 ,因为 a4 ? a4 ? a4 , 3 ? a4 ? a4 ,1? a4 ? a4 ------------2 分

所以 a4 ? a4 , a4 ? 3 , a4 ?1, a4 ? a1 都属于该集合.---------------------------------------4 分

又因为 0 ? a1 ?1 ? 3 ? a4 ,所以 a4 ? a4 ? a4 ? 3 ? a4 ?1 ? a4 ? a1 .------------------6 分

所以 a1 ? a4 ? a4 ? 0 , a4 ? 3 ? 1,-------------------------------------------------------------8 分

即 a1 ? 0, a4 ? 4 .-------------------------------------------------------------------------------10 分

17. (本小题 8 分)

解: k 的可能取值为 0,1,2,3.

k 的可能取值

所选用的函数

k ?0

y ? ex 与 y ? ax2 ? bx

图象位置关系

y

2分

k ?1

y ? ex 与 y ? ax2 ? bx

k ?2

y ? ex 与 y ? ax2 ? bx

O

x

y 2分

O

x

y 2分

O

x

k ?3

y ? ex 与 y ? ax ? b x

y

2分

O

x

说明:其它选择函数的方法相对应给分即可。


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