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四川省成都市高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程课件新人教A必修2_图文

4.1.2 圆的一般方程

复 习: (1) 圆心为C(a,b),半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时 a=b=0,圆的标准方程为: x2 + y2 = r2 (2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数,因 此必须具备三个独立的条件才能确定圆;对于由已知 条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标 列方程的问题一般采用圆的标准方程。 (3) 注意圆的平面几何知识的运用。

将圆的标准方程 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
展开,得

x ? y ? 2 ax ? 2 by ? a ? b ? r ? 0
2 2 2 2 2

可见,任何一个圆的方程都可以写成下面的形式:

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 反过来, x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 所表示的曲线是圆吗? 将方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 左边配方,得
D 2 E 2 D 2 ? E 2 ? 4F (x ? ) ? ( y ? ) ? 2 2 4

D 2 E 2 D 2 ? E 2 ? 4F x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ? ( x ? ) ? ( y ? ) ? 2 2 4
2 2

(1) 当 D2 ? E2 ? 4F ? 0 时,
2 2 D ? E ? 4F 为半径的圆 ; D E 方程表示以 (? , ? ) 为圆心、 2 2 2

(2) 当 D2 ? E2 ? 4F ? 0 时,

方程只有实数解x ? ? D 、y ? ? E , 方程表示一个点(? D , ? E); 2 2 2 2

(3) 当 D2 ? E2 ? 4F ? 0 时,
因而它不表示任何图形 . 方程没有实数解,

综上:当 D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 时,
方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示一个圆,

此方程叫做圆的一般方 程 .

结 论: 任何一个圆的方程都可以写成:

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的形式 ,
反过来, 当 D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 时,

方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示一个圆 .
比较圆的标准方程和圆的一般方程:
2 2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 圆的标准方程
2 2 2 2 圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F ? 0)

圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径, 而圆的一般方程和 Ax 2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0比较突出了方 程形式上的特点: (1) x2 和 y2 的系数相同且不为0 ,即A=C≠0;

(2)没有 xy 这样的二次项,即B=0 .

二元二次方程 Ax 2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
表示圆 ? (1) x2 和 y2 的系数相同且不为 0 ,即A=C≠0;

(2)没有 xy 这样的二次项,即B=0 .
(3) D2 + E2 - 4AF > 0
D E F x ? y ? x? y? ?0 A A A
2 2

D 2 E 2 F (3)( ) ? ( ) ? 4( ) ? 0 A A A

例1.

解: (1) 点(0,0)

(2)以(1,-2)为圆心, 11为半径的圆

2 2 a ? b ? 0 时,以(-a,0)为圆心, a 2 (3)当

? b2 为半径的圆

当 a ? 0且b=0时,表示(0,0)点

例2.判断 O(0,0)、A(1,1)、B(4,2) 、 C(7,1) 四点是否共圆,若共圆,求出圆的半径和圆心坐标. 解:设过O、A、B的圆的方程为: ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 则由O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)都在圆上得, 2 2 2 y (0 ? a) ? (0 ? b) ? r ① ③ .O ?a ? 4 由①-②得: a ? b ? 1 ? 0 ? 得 ? b ? ?3 由②-③得: 3a ? b ? 9 ? 0 ?r ? 5 ? ∴过O、A、B圆方程为 ( x ? 4 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? 5 2 . ( 7 ? 4 ) 2 ? (1 ? 3 ) 2 ? 5 2 成立. 将C(7,1)代入方程:

(1 ? a)2 ? (1 ? b)2 ? r 2 (4 ? a)2 ? (2 ? b)2 ? r 2



A

.

.B

.C
x

? 3) ,半径5 . ∴ O、A、B、 C 四点共圆,圆心(4 ,

例2.判断 O(0,0)、A(1,1)、B(4,2) 、 C(7,1) 四点是否共圆,若共圆,求出圆的半径和圆心坐标.
解 2: 设过O、A、B的圆方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
F ?0 ?F ? 0 则 ? ? ? ? ? D ? ?8 ?D ? E ? F ? 2 ? 0 ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 ? E ? 6 ? ?
y
A

∴过O、A、B的圆方程为:

.O

.

.B

.C
x

x2 ? y2 ? 8x ? 6 y ? 0 将C(7,1)代入方程:7 2 ? 12 ? 8 ? 7 ? 6 ? 1 ? 0 成立.

圆心(4 , ? 3) ,半径5 . ∴ O、A、B、 C 四点共圆,
2 2 2 2 ? E 2 ? 4F D E D ( x(? ?(y ? 3) ? 5 . 圆心 ? 4) , ? ) 、半径 . 2 2 2

例2.判断 O(0,0)、A(1,1)、B(4,2) 、 C(7,1) 四点是否共圆,若共圆,求出圆的半径和圆心坐标. 解3: 由已知得,线段 OA、OB 的中点坐标分别为 1 1 1 kOM ? 1 , kOM ? . 斜率为: P( , ) 、 Q( 2 , 1) , 2 2 2 y ∴ 线段 OA、OB 中垂线方程分别为
1 2

1 1 y ? ? ?( x ? ) 2 2

A

y ? 1 ? ?2( x ? 2)
y ? ?3 . 解方程组得: x ? 4 ,

.O

.

.B
.C

.C
x

? 圆心C (4 , ? 3) , 半径r ?| OC |? 5 .

∴过O、A、B的圆方程为 ( x ? 4)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 .

说明:一般地,求圆的方程有两种方法:

(1) 待定系数法:即设出圆的标准方程或一般方程, 利用条件求系数 . (2) 几何分析法:即利用平面几何中的有关性质求解 .

小 结:
但是方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的曲线不一定是圆 ,
只有在 D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 时,
2 2 D ? E ? 4F 为半径的圆 ; D E 方程表示以 (? , ? ) 为圆心、 2 2 2

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的形式 , (1)任何一个圆的方程都可以写成:

(2)利用待定系数法求圆的方程,对于由已知条件容易求出圆心 坐标或需用圆心坐标列方程的问题,一般采用圆的标准方程,否则 用圆的一般方程。 (3) 一般地,求圆的方程有两种方法: ① 待定系数法:即设出圆的标准方程或一般方程,利用条件求系数 . ② 几何分析法:即利用平面几何中的有关性质求解 .

(4)要画出圆的图象,必须要知道圆心坐标和半径,因此应 掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程的方法。

课后作业
1. 教材第90页 习题4.1 B组 2. 《启迪》 4.1.2 3. 预习4.2


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