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湖北省枣阳市白水高级中学2015-2016学年高二上学期第三次月考数学试卷

枣阳市白水高级中学 2015-2016 年度高二年级 12 月第三次月考 数学测试卷(文理共用)
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.过不重合的 A(m2 ? 2, m2 ? 3) , B(3 ? m ? m2 , 2m) 两点的直线 l 倾斜角为 45 ,则 m 的 取值为( ) A. m ? ?1 B. m ? ?2 C. m ? ?1 或 2 D. m ? 1 或 m ? ? 2
?

2.已知圆心 ? 2, ?3? ,一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是( A. x2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 8 ? 0 C. x2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 0 B. x 2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 8 ? 0 D. x 2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 0



3.某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据 a1 , a2 , 。 。 。 aN ,其中收入记为正数, 支出记为负数。该店用如下图的程序框图计算月总收入 S 和月净盈利 V,那么在图中空白的 判断框和处理框中,应分别填入下列四个选项中的 A、A>0,V=S-T B、A<0,V=S-T C、A>0, V=S+T D、A<0, V=S+T 4.若根据 10 名儿童的年龄 x(岁)和体重 y(㎏)数据用最小二乘法得到用年龄预报体重 的回归方程是 y = 2 x + 7 ,已知这 10 名儿童的年龄分别是 2、3、3、5、2、6、7、3、4、 5,则这 10 名儿童的平均体重是( ) A.17 ㎏ B.16 ㎏ C.15 ㎏ D.14 ㎏ 5.从 1,2,3,?,20 这 20 个数中任取 2 个不同的数,则这两个 数之和是 3 的倍数的概率为( )

57 3 1 C、 D、 190 38 19 ? ? 6.如图,在 ?ABC 中, ?B ? 60 , ?C ? 45 ,高 AD ? 3 ,在 ?BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M ,则 BM ? 1 的概率为 2 3 1 4 A. B. C. D. 5 5 5 5 2 8 7. ( 3 x ? ) 二项展开式中的常数项为 ( ) x
A、

32 95

B、

A.56 B.112 C.-56 D.-112 8.如果袋中有六个红球,四个白球,从中任取一球,确认颜色后放 回,重复摸取四次,设 X 为取得红球的次数,那么 X 的均值为( ) A.

3 4

B.

12 5

C.

19 7

D.

1 3

9.下列式子成立的是( ) A.P(A|B)=P(B|A) B.0<P(B|A)<1 C.P(AB)=P(A) ?P(B|A) D.P(A∩B|A)=P(B) 10.如图所示的五个区域 中,中心区域是一幅图画,现要 求在 其余四个区域中涂色 ,有四种颜色可供选择.要求每 ......... 个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同, 则不同的 涂色方法种数为( ) A.84 B.72 C.64 D.56 11.已知 ?1 ? x ?
10

? a0 ? a1 ?1 ? x ? ? a2 ?1 ? x ? ? ? a10 ?1 ? x ? ,则 a8 ?
2 10




1

A.-180

B.180

C.45

D.-45 )

12.已知随机变量 X 服从二项分布 X ~ B (6, ) ,则 P( X ? 2) =( A.

3 16

B.

4 243

C.

13 243

1 3 80 D. 243

二、填空题(每题 5 分,共 20 分)
3 2 6 13. (3 x ? 1)( x ? ) 的展开式中常数项为

1 x

14 . 设 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为 P ? X ? k ? ?

c ( c 为常数) , k ? 1, 2,3, 4 , 则 k ? k ? 1?
2 2

P ?1.5? k ? 3.5 ? ? ___ .
15.直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x +y =1 分成长度相等的四段弧,则 a 2 ? b 2 =________. 16.将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方格内,每个小方格内至多填 1 个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法共有 种(用数字作答)。

三、解答题(共 70 分)

?x ? y ? 1 ? 0 ? 17. (本小题满分 10 分)若 x,y 满足 ? x ? y ? 3 ? 0 ,求: ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?
2 2 (1) z ? 2 x ? y 的最小值; (2) z ? x ? y 的范围. (3) z ?

y?x 的最大值; x

18. (本小题满分 12 分) 为了解惠州市的交通状况, 现对其 6 条道路进行评估, 得分分别为: 5,6,7,8,9,10。规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表:
2

(1)求本次评估的平均得分,并参照上表估计该市的总体交通状况等级; (2)用简单随机抽样方法从这 6 条道路中抽取 2 条,它们的得分组成一个样本,求该样本 的平均数与总体 的平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.

19. (本小题 12 分)某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取 60 名同学将其成绩(百分制, 均为整数)分成六组后,得到频率分布直方图(如图) ,观察图形中的信息,回答下列问题. (1)从频率分布直方图中,估计本次考试成绩的中位数; (2)若从第 1 组和第 6 组两组学生中,随机抽取 2 人,求所抽取 2 人成绩之差的绝对值大 于 10 的概率.

20.求二项式

(3 x ?

2 15 ) x 的展开式中:

(1)常数项(答案可保留组合数) ; (2)有几个有理 项; (3)有几个整式项.

21.(本小题满分 12 分)某批发市场对某种商品的 日销售量(单位:吨)进行统计,最近 50 天的统计结果如下: 日销售量(吨) 1 频数 频率 10 0.2 1.5 25 a 2 15 b

(1)求表中的 a , b 的值; (2)若以上表频率作为概率,且每天的销售量相互独立.求:
3

① 5 天中该种商品恰好有 2 天的销售量为 1.5 吨的概率; ② 已知每吨该商品的销售利润为 2 千元, ? 表示该种商品两天销售利润的和(单位:千元) 求 ? 的分布列和期望.

22.某区要进行中学生篮球对抗赛,为争夺最后一个小组赛名额,甲、乙、丙三支篮球队要 进行比赛,根据规则:每两支队伍之间都要比赛一场;每场比赛胜者得 3 分,负者得 0 分, 没有平局,获得第一名的将夺得这个参赛名额.已知乙队胜丙队的概率为 一名的概率为

1 ,甲队获得第 5

1 1 ,乙队获得第一名的概率为 . 6 15

(Ⅰ)求甲队分别战胜乙队和丙队的概率 P 1 , P2 ; (Ⅱ)设在该次比赛中,甲队得分为 X ,求 X 的分布列及期望.

枣阳市白水高级中学 2015 年秋季高二 12 月月考考答题卷 13. 17.(10 分) 14 15. 16

4

18.(12 分)

19.(12 分)

20.(12 分)

5

21.(12 分)

22.(12 分)

参考答案 1.B

试题分析: 根据两点斜率坐标公式, 可得

m 2 ? 3 ? 2m ? tan 45? ? 1 , 解得 m ? ?1 或 m2 ? 2 ? 3 ? m ? m2

m ? ?2 ,当 m ? ?1 时,两点重合,当 m ? ?2 时,满足条件,故选 B.
考点:两点斜率坐标公式. 2.D 试题分析: 设直径的两个端点分别为 A ? a,0? , B ? 0, b ? . 圆心为 ? 2, ?3? , 由中点坐标公式得,

a ? 4, b ? ?6,? r ?

1 2 AB ? 13 ,则此圆的方程是 ( x ? 2)2 ? ? y ? 3? ? 13 . 2
6

考点:圆的标准方程 3.C 月总收入为 S,因此 A>0 时归入 S,判断框内填 A>0 支出 T 为负数,因此月盈利 V=S+T 4.C

试题分析:年龄的平均值为

2 ? 3? 3? 5? 2? 6? 7 ? 3? 4? 5 ? 4 ,所以中心点坐标为 10

? 4, y ? 代入回归方程成立,因此 y ? 2 ? 4 ? 7 ? 15 ,即平均体重为 15
考点:回归方程 5.A
2 C20 ? 190 ,1,2,3?.20 这 20 个数中由 6 个是 3 的倍数,被

试题分析:所有的取法共有

3 除余 1 的有 7 个,被 3 除余 2 的有 7 个,取 2 个不同的数两个数之和是 3 的倍数,包括两 类:1 类这两个数都是 3 的倍数;2 类这两个数中一个被 3 除余 1,一个被 3 除余 2,所以满

足条件的取法有

C ? 7 ? 7 ? 64 ,所以两个数之和是 3 的倍数的概率为
2 6

P?

64 32 ? 190 95 ,故

选择 A 考点:1.古典概型;2.计数原理 6.A

? ? 试题分析:由三角形内角和定理可知 A ? 75 ? AD ? 3 ? BD ? 1 ??BAD ? 30 ,因

此 BM ? 1 的概率为 P ? 考点:几何概型概率 7.B

?BAD 30 2 ? ? ?BAC 75 5

r 试题分析:展开式的通项为 Tr ?1 ? C8

? ?
3

x

8? r

8? 4 r 8 ? 4r r ? 2? r ? ? C ? 2 x ? 3 ,令 3 ? 0 可得 8 ? ? ? ? x?

r

r ? 2.
2 所以展开式的常数项为 C8 ? ?2 ? ? 112 .故 B 正确. 2

考点:二项式. 8.B

3 ,取得红球次数 X 可 5 3 能取的值为 0,1,2,3,4,由以上分析,知随机变量 ξ 服从二项分布 ξ ~ B (4, ) , 5
试题分析:采用有放回的取球,每次取得红球的概率都相等,均为
7

∴ E (? ) ? 4 ?

3 12 12 ? ,则 X 的均值为 ,故选:B. 5 5 5

考点:离散型随机变量的期望与方差. 9.C 试题分析:由于 P(AB)是全体事件中,A、B 同时发生的概率。所以是 A、B 同时发生的事 件数量÷全体事件数量;P(A|B)是发生了 B 事件后,再发生 A 事件的概率,所以是 A、B 同 时发生的事件数量÷B 事件发生的数量; 同理 P(B|A)是发生了 A 事件后, 再发生 B 事件的概 率。所以是 A、B 同时发生的事件数量÷A 事件发生的数量. 由 P( B A) ?

P( AB) P( AB) 得 P( AB) ? P(B A)P( A) ,而 P( A B) ? 知 A 不正确,C 正确; P( A) P( B)

当 P(B)为零时知 P( B A) ? 0 ,所以 B 也不正确;P(A∩B|A)的含义应是事件A与事件 B|A 同时发生,所以应有 P(A∩B|A)=P(B|A) ,故D不正确;故选C. 考点:条件概率. 10.A 试题分析:分成两类:A 和 C 同色时有 4×3×3=36(种) ;A 和 C 不同色时 4×3×2×2=48 (种) ,∴一共有 36+48=84(种) . 考点:计数原理 11.B 试题分析:由题意得 ? ? 2 ? ?1 ? x ? ? ?
8

10

? a0 ? a1 ?1 ? x ? ? a2 ?1 ? x ? ? ??? ? a10 ?1 ? x ?
2

10



8 2 所以 a8 ? C10 2 ? ?1? ? 180 ,故选 B

考点:本题考查二项式定理及其应用 点评:解决本题的关键是灵活应用二项式定理 12.D
2 4

2 试题分析: P? X ? 2? ? C6 ? ? ? ? ?

?1? ? 2? ? 3? ? 3 ?

80 243

考点:二项分布的概率计算 13.-33

1 1 r r 12 ?3 r ( x 2 ? ) 6 展开式通项为 T ? C6 ( x 2 )6? r (? ) r ? (?1) r C6 x ,令 12-3r=0 得:r=4,它的常 x x
4 5 数项是 (?1)4 C6 ? ?6 ; ? 15, 令 12-3r=-3 得:r=5,它的 x 项系数为: (?1)5 C6
3 2 6 故 (3 x ? 1)( x ? ) 的展开式中常数项为: 3 ? (?6) ? (?1) ?15 ? ?33
?3

1 x

14.

8

P? X ? k ? ?
试题分析: 由随机变量 X 的分布列为

c k ? k ? 1?

( c 为常数) , k ? 1, 2,3, 4 ,



c c c c ? ? ? ?1 1? ?1 ? 1? 2 ? ? 2 ? 1? 3 ? ? 3 ? 1? 4 ? ? 4 ? 1?
c? 5 4.





P ?1.5 ? k ? 3.5 ? ? P ? X ? 2 ? ? P ? X ? 3? ?

5 5 5 ? ? 24 48 16 .

故答案为: . 考点:1.离散型随机变量的期望与方差;2.分布列的特点. 15. 2

1 试题分析:由题意可得,圆心 到两条直线的距离相等,且每段弧长都是圆周的 , (0, 0) 4

?

a b 2 ? ? cos 45? ? , ? a 2 ? b 2 ? 2, 2 2 2

考点:直线与圆的位置关系 16.3960 2 2 使 2 个 a 既不同行也不同列的填法有 C4 A4 =72 种, 同样, 使 2 个 b 既不同行也不同列的填法 2 2 2 也有 C4 A4 =72 种,故由乘法原理,这样的填法共有 72 种,其中不符合要求的有两种情况: 2 个 a 所在的方格内都填有 b 的情况有 72 种;2 个 a 所在的方格内仅有 1 个方格内填有 b 1 2 2 的情况有 C16 A9 =16×72 种。所以,符合题设条件的填法共有 72 ? 72? 16×72=3960 种。 17. (1) zmin ? 4 ,(2) z ? ? ,25? ,(3) 3 2

?9 ?

? ?

试题分析: (1)先做出可行域,再结合 z=2x+y 的几何意义是纵截距, (2)所求的几何意义 是可行域到原点距离的平方的取值范围, 数形结合即可, (3) 目标函数 z ? 表示区域中的点与坐标原点连线的斜率,结合图形计算即可. 试题解析:

y y ? 1, 记k ? . k x x

9

作出满足已知条件的可行域为△ABC 内(及边界)区域,其中 A(1,2) ,B(2,1) ,C(3, 4) . (1)目标函数 z ? 2 x ? y ,表示直线 l : y ? ?2 x ? z , z 表示该直线纵截距,当 l 过点 A (1,2)时纵截距有最小值,故 zmin ? 4 . (2)目标函数 z ? x ? y 表示区域内的点到坐标系点的距离的平方,又原点 O 到 AB 的距
2 2

离d ?

| 3| 2

?

3 2 ?3 3? ?9 ? 2 2 且垂足是 D ? , ? 在线段 AB 上,故 OD ? z ? OC ,即 z ? ? ,25? 2 ?2 2? ?2 ?
y y ? 1 ,记 k ? . x x

(3)目标函数 z ?

则 k 表示区域中的点与坐标原点连线的斜率,当直线过点 A 时,斜率最大,即 kmax ? 2 ,即

? y? x? zmax ? ? ? ? 3. ? x ?max
考点:线性规划在解题中的应用. 18. (1)7.5 ,合格; (2)

7 . 15

试题分析:本题主要考查等可能事件的概率、古典概型、简单随机抽样、平均数、随机事件 等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,由已知 中对其六条道路进行评估,得分分别为:5,6,7,8,9,10,计算出得分的平均分,然后将所得 答案与表中数据进行比较,即可得到答案;第二问,我们列出从这 6 条道路中抽取 2 条的所 有情况, 及满足样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过 0.5 的情况, 然后代入古 典概型公式中即可得到答案. 试题解析: (Ⅰ)6 条道路的平均得分为

1 (5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10) ? 7.5 6

∴该市的总体交通状况等级为合格. (Ⅱ)设 A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 ”. 从 6 条道路中抽取 2 条的得分组成的所有基本事件为:

(5,6) , (5,7) , (5,8) , (5,9) , (5,10) , (6,7) , (6,8) , (6,9) , (6,10) , (7,8) , (7,9) , (7,10) , (8,9) , (8,10) , (9,10) ,共 15 个基本事件
10

事件 A 包括 (5,9) , (5,10) , (6,8) , (6,9) , (6,10) , (7,8) , (7,9) 共 7 个基本事件, ∴ P ( A) ?

7 . 15
7 . 15

答:该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为

考点:等可能事件的概率、古典概型、简单随机抽样、平均数、随机事件. 19. (I)估计本次考试成绩的中位数为 的概率为

220 ; (II)所抽取 2 人成绩之差的绝对值大于 10 3

1 . 2

试题分析: (I)由频率分布直方图知,前三组的频率和,所以中位数在第四组,设中位数为

0 . 0 3 0 .? 5 0 . 70+x, 则4

x?

x?
, 解得

10 10 220 70 ? ? 3 , 3 3 ;(II) 从而得组数据的中位数为

求出第 1 组和第 6 组的频数分别为为:6 人、3 人;从这 9 人中任取 2 人,共有 36 个基本事 件,满足抽取 2 人成绩之差的绝对值大于 10 的基本事件有 18 个,所以,所求的概率为

P?

18 1 ? . 36 2

试题解析: (Ⅰ)由频率分布直方图知,前三组的频率之和为 0.1 ? 0.15 ? 0.15 ? 0.4 ,

∴中位数在第四组,设中位数为 70+x,则 0.4 ? 0.030 x ? 0.5 ,解得 ∴该组数据的中位数为 70 ?

x?

10 3 ,
6分

10 220 ? ; 3 3

(Ⅱ)第 1 组的频数为:60×0.1=6 人(设为 1,2,3,4,5,6) , 第 6 组的频数为:60×0.1=3 人(设为 A,B,C) ;从这 9 人中任取 2 人,共有 36 个基本事 件, 满足抽取 2 人成绩之差的绝对值大于 10 的基本事件有 18 个, 所以,所求的概率为 P ?

18 1 ? . 36 2

12 分

考点:1、频率分布直方图;2、中位数;3、概率. 20. (1)T7=2
6

6 C15 (2)有 3 个有理项(3)两个整式项.

2 r r r 3 15 ? r r ( ? 1 ) C ( x ) ( ) = (?1) r 2 r C15 x 15 试题分析:展开式的通项为:Tr+1= x
6 30 ? 5r 6C =0,得 r=6,即常数项为 T7=2 15 ; 6 5 30 ? 5r (2)设 Tr+1 项为有理项,则 =5- r 为整数,∴r 为 6 的倍数, 6 6

30 ?5 r 6

(1)设 Tr+1 项为常数项,则

又∵0≤r≤15,∴r 可取 0,6,12 三个数,故共有 3 个有理项.

11

(3) 5-

5 r 为非负整数,得 r=0 或 6,∴有两个整式项. 6

考点:二项式定理的运用 点评: 解决的关键是对于通项公式的准确表示, 并通过幂指数来确定所求的项, 属于基础题。 21.(1) a ? 0.5,b ? 0.3 ; (2)① 0.3125 ,②分布列见解析, E? ? 6.2 . 试题分析:第一问根据频率等于频数除以样本容量,得出 a ? 0.5,b ? 0.3 ,第二问根据题意 可知为二项分布,利用二项分布的公式,求得
2 P( X ? 2) ? C5 ? 0.52 ? (1 ? 0.5)3 ? 0.3125,

将 ? 的取值找到,求得对应的概率,做出相应的分布列,利用期望公式求得结果. 试题解析:(1)由题意知: a ? 0.5,b ? 0.3 (2)①依题意,随机选取一天,销售量为 1.5 吨的概率 p ? 0.5 , 设 5 天中该种商品有 X 天的销售量为 1.5 吨,

P( X ? 2) ? C5 ? 0.5 ? (1 ? 0.5) ? 0.3125 则 X ~ B(5,0.5) ,
2 2 3

②两天的销售量可能为 2,2.5,3,3.5,4.所以 ? 的可能取值为 4,5,6,7,8 , 则: P(? ? 4) ? 0.2 ? 0.04, P(? ? 5) ? 2 ? 0.2 ? 0.5 ? 0.2
2

P(? ? 6) ? 0.52 ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.37, P(? ? 7) ? 2 ? 0.3 ? 0.5 ? 0.3 P(? ? 8) ? 0.32 ? 0.09 ,
? ? 的分布列为:
?

4 0.04

5 0.2

6 0.37

7 0.3

8 0.09

p

∴ E? ? 4 ? 0.04 ? 5 ? 0.2 ? 6 ? 0.37 ? 7 ? 0.3 ? 8 ? 0.09 ? 6.2 考点:频率,二项分布,离散型随机变量的分布列,期望. 22. (1)甲队战胜乙队的概率为

11 2 1 ,甲队战胜丙队的概率 ; (2)分布列略, E ( X ) ? . 4 3 4

试题分析: (1)由独立事件同时发生的概率公式进行求解; (2)利用随机变量的分布列的求 解步骤进行求解,再利用随机变量的期望公式进行求解. 试题解析: (Ⅰ)由题意,甲队获得第一名,则甲队胜乙队且甲队胜丙队,
12

? 甲队获得第一名的概率为 P1 ? P2 ?

1 ; ① 6 1 1 同理:乙队获得第一名的概率为 (1 ? P1 ) ? ? . ② 5 15 2 1 由①②得: P1 ? , P2 ? . 3 4 2 1 所以甲队战胜乙队的概率为 ,甲队战胜丙队的概率 . 3 4
(Ⅱ) X 可能取的值为: 0,3,6 .

2 1 1 P( X ? 0) ? (1 ? )(1 ? ) ? ; 3 4 4 2 1 2 1 7 P( X ? 3) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ; 3 4 3 4 12 2 1 1 P( X ? 6) ? ? ? 3 4 6 X 的分布列为: 0 3 X 1 7 P 4 12 E( X ) ? 0 ? 1 7 1 11 ? 3? ? 6 ? ? . 4 12 6 4

6 1 6

考点:1.独立事件同时发生的概率公式;2.随机变量的分布列与数学期望.

13


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