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第二章 函数概念与基本初等函数 I

§2.3 函数的奇偶性与周期性

1

知识梳理
定义 图象特点

1.奇偶性 函数的奇偶性

偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有___________,那么函数f(x)是偶函数 f(-x)=f(x) 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有____________,那么函数f(x)是奇函数 f(-x)=-f(x)

关于____对称
y轴 关于____对称 原点
答案

奇函数

题型一

判断函数的奇偶性

例1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3-x;

解 定义域为R,关于原点对称,
又f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x), ∴函数为奇函数.

解析答案

(2)f(x)=(x+1)

1-x ; 1+x

1-x 解 由 ≥0 可得函数的定义域为(-1,1]. 1+x
∵函数定义域不关于原点对称, ∴函数为非奇非偶函数.

解析答案

2 ? ?x +x, (3)f(x)=? 2 ? ?-x +x,

x<0, x>0.

解 当x>0时,-x<0,f(x)=-x2+x, ∴f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x); 当x<0时,-x>0,f(x)=x2+x, ∴f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x). ∴对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=-f(x). ∴函数为奇函数.

思维升华

解析答案

跟踪训练1
(1)同时满足以下两个条件:①定义域内是减函数;②定义域内是奇函数 的函数是( A.f(x)=-x|x| C.f(x)=sin x ) B.f(x)=x3 ln x D.f(x)= x

解析答案

解析

2 ? ?-x ,x>0, A 中,f(x)=? 2 由函数性质可知符合题中条件,故 ? x , x ≤ 0 , ?

A 正确;
B中,对于比较熟悉的函数f(x)=x3可知不符合题意,故B不正确;
C中,f(x)=sin x在定义域内不具有单调性,故C不正确; D中,定义域关于原点不对称,故D不正确.故选A.

答案 A

(2)函数f(x)=loga(2+x),g(x)=loga(2-x)(a>0且a≠1),则函数F(x)=f(x)+ g(x),G(x)=f(x)-g(x)的奇偶性是( B ) A.F(x)是奇函数,G(x)是奇函数

B.F(x)是偶函数,G(x)是奇函数
C.F(x)是偶函数,G(x)是偶函数 D.F(x)是奇函数,G(x)是偶函数

解析 F(x),G(x)定义域均为(-2,2),
由已知F(-x)=f(-x)+g(-x)=loga(2-x)+loga(2+x)=F(x), G(-x)=f(-x)-g(-x)=loga(2-x)-loga(2+x)=-G(x),

∴F(x)是偶函数,G(x)是奇函数.
解析答案

2.周期性
(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定 (x) 义域内的任何值时,都有 f(x+T)=f,那么就称函数 y=f(x)为周期函数, 称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,
那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

答案

题型二

函数的周期性
(1)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的函数,当 x∈[-2,1)时,f(x)

例2

2 ? ?5? ?4x -2,-2≤x≤0, ? =? 则 f? ? ?等于( ?2? ? ?x,0<x<1,

D )
D.-1

A.0

B.1

1 C. 2

解析 因为f(x)是周期为3的周期函数,

所以

?5? ? ? ? 1 ? 1? 1? ? ? ? ? ? ? ? 2 f?2?=f?-2+3?=f?-2?=4×?-2? ? -2=-1.故选 ? ? ? ? ? ? ? ?

D.

解析答案

1 (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 并且 f(x+2)=- , 当 2≤x≤3 时, f?x? 2.5 f(x)=x,则 f(105.5)=____.

解析 由已知,可得f(x+4)=f[(x+2)+2]
=- 1 1 =- =f(x). 1 f?x+2? - f?x?

故函数的周期为4. ∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5).

∵2≤2.5≤3,由题意,得f(2.5)=2.5.
∴f(105.5)=2.5.
思维升华 解析答案

跟踪训练2
设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sin
?23π? ? 2 x.当 0≤x<π 时 f(x)=0, 则 f? ? ?=___. ? 6 ?

1

解析 ∵f(x+2π)=f(x+π)+sin(x+π)=f(x)+sin x-sin x=f(x), ∴f(x)的周期T=2π,
?5π? ? 又∵当 0≤x<π 时,f(x)=0,∴f? ? ?=0, ?6? ? ? ? π ? π? π? ? ? ? ? ? 即 f?-6+π?=f?-6?+sin?-6? ?=0, ? ? ? ? ? ?
? ?23π? ? ? π? π? π? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ∴f?-6?= ,∴f? 6 ?=f?4π-6?=f?-6?= . 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ?
解析答案

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( × )
(2)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.( √ ) (3)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期为2a(a>0)的周期

函数.( √ )
(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.( √ ) (5)如果函数 f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x) +g(x)是偶函

数.( √ )
(6)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.( √ )
答案

2
A.y= x

考点自测

1.(2015· 福建)下列函数为奇函数的是( D ) B.y=|sin x| D.y=ex-e-x

C.y=cos x

解析 对于D,f(x)=ex-e-x的定义域为R,f(-x)=e-x-ex=-
f(x), 故 = e x- e-x为奇函数 而yy = x的定义域为 {x.|x≥0},不具有对称性,

故 y= x为非奇非偶函数.
y=|sin x|和y=cos x为偶函数.故选D.
1 2 3 4 5
解析答案

1 2.已知函数 f(x)为奇函数, 且当 x>0 时, f(x)=x + , 则 f(-1)等于( A ) x
2

A.-2

B.0

C.1

D.2

解析 f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2.

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解析答案

3.(2015· 天津)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数, 记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( B ) A.a<b<c C.a<c<b B.c<a<b D.c<b<a

解析 由函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数,得m=0, 所以f(x)=2|x|-1,当x>0时,f(x)为增函数, log0.53=-log23,所以log25>|-log23|>0,

所以b=f(log25)>a=f(log0.53)>c=f(2m)=f(0),故选B.

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解析答案

4.(2014· 天津)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[-1,1)
2 ? - 4 x +2, -1≤x<0, ? 3 时,f(x)=? 则 f(2)=__. 1 ? ?x, 0≤x<1,

解析 函数的周期是2,

3 3 1 所以 f(2)=f(2-2)=f(-2),
1 12 根据题意得 f(-2)=-4×(-2) +2=1.

1

2

3

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5

解析答案

5.(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),

x(1-x) 则x<0时,f(x)=________.
解析 当x<0时,则-x>0, ∴f(-x)=(-x)(1-x). 又f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x)=(-x)(1-x), ∴f(x)=x(1-x).

1

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3

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解析答案

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题型三

函数性质的综合应用

命题点1 函数奇偶性的应用 例3 A.-3 (1)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)= B.-1 C.1 D.3

x3+x2+1,则f(1)+g(1)等于( C )
解析 因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,

所以f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.
故选C.

解析答案

1 (2)(2015· 课标全国Ⅰ)若函数 f(x)=xln(x+ a+x2)为偶函数, 则 a=___.

解析 f(x)为偶函数,则 ln(x+ a+x2)为奇函数,
所以 ln(x+ a+x2)+ln(-x+ a+x2)=0,
即ln(a+x2-x2)=0,∴a=1.

解析答案

命题点2 单调性与奇偶性、周期性结合
例4

2a-3 (1)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数, 若 f(1)<1, f(5)= , a+1 ) B.(-2,0) D.(-1,2)

则实数 a 的取值范围为( A.(-1,4) C.(-1,0)

解析答案

(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是 增函数,则( ) A.f(-25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25)D.f(-25)<f(80)<f(11)

解析答案

3 -2 (1)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a=_____.
解析 函数f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数, 故f(-x)=f(x),即ln(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax,

跟踪训练3

1+e3x 化简得 ln 3x 6x=2ax=ln e2ax, e +e 1+e3x 即 3x 6x=e2ax, e +e
整理得 e3x+1=e2ax+3x(e3x+1),

3 所以 2ax+3x=0,解得 a=-2.
解析答案

(2) 已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时, f(x) = x2 - 4x ,则不等式
f(x)>x的解集用区间表示为________.

解析答案

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易错警示系列

易错警示系列

2.忽视定义域致误

典例

k-2x (1)若函数 f(x)= 在定义域上为奇函数, 则实数 k=____. 1+k· 2x

易错分析 解题中忽视函数f(x)的定义域,直接通过计算f(0)=0得k=1.

易错分析

解析答案

2 ? ?x +1,x≥0, (2)已知函数 f(x)=? 则满足不等式 f(1-x2)>f(2x)的 x 的取 ? ?1,x<0,

值范围是________.
易错分析 本题易出现以下错误: 由f(1-x2)>f(2x)得1-x2>2x,忽视了1-x2>0导致解答失误.

易错分析

解析答案

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思想方法 感悟提高

方法与技巧

1. 判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于原点对称 . 定义 域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2.利用函数奇偶性可以解决以下问题 ①求函数值;②求解析式;③求函数解析式中参数的值;④画函数图象, 确定函数单调性.

3.在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)
也是函数的周期”的应用.

失误与防范

1.f(0)=0既不是f(x)是奇函数的充分条件,也不是必要条件.应用时要注意 函数的定义域并进行检验.

2.判断分段函数的奇偶性时,要以整体的观点进行判断,不可以利用函数
在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性.

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练出高分

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1.下列函数中,既是偶函数又在区间 (1,2) 上单调递增的是 ( A ) A.y=log 2|x| B.y=cos 2 x 2x-2-x C.y= 2 2-x D.y=log 2 2+x

解析

对于A,函数y=log2|x|是偶函数且在区间(1,2)上是增函数;

对于B,函数y=cos 2x在区间(1,2)上不是增函数; 2x-2-x 对于 C,函数 y= 2 不是偶函数; 2-x 对于 D,函数 y=log2 不是偶函数,故选 A. 2+x
解析答案

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2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m (m为常数), 则f(-log35)的值为( B ) A.4 B.-4 C.6 D.-6

解析 由f(x)是定义在R上的奇函数,
得f(0)=1+m=0,解得m=-1, ∴f(x)=3x-1.

∵log35>log31=0, log 5 ∴f(-log35)=-f(log35)=-(3 3 -1)=-4,故选B.

解析答案

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3.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2, 则f(2 019)等于( A )

A.-2

B.2

C.-98

D.98

解析 ∵f(x+4)=f(x), ∴f(x)是以4为周期的周期函数,

∴f(2 019)=f(504×4+3)=f(3)=f(-1).
又f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-2×12=-2, 即f(2 019)=-2.
解析答案

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4. 若函数 f(x) = (ax + 1)(x - a) 为偶函数,且函数 y = f(x) 在 x∈(0 ,+ ∞) 上单调递增,则实数a的值为( A.±1 B.-1 )

C.1

D.0

解析答案

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5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a), 则实数a的取值范围是( C ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) C.(-2,1) 解析 ∵f(x)是奇函数, ∴当x<0时,f(x)=-x2+2x. 作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示,结合图象 可知f(x)是R上的增函数,由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,解得-2<a<1.
解析答案

B.(-1,2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

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6.函数 f(x)在 R 上为奇函数, 且当 x>0 时, f(x)= x+1, 则当 x<0 时, -x-1 f(x)=- ____________.

解析

∵f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x)= x+1,

∴当 x<0 时,-x>0,f(-x)= -x+1=-f(x),
即 x<0 时,f(x)=-( -x+1)=- -x-1.

解析答案

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7.已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,则不 (-∞,1]∪[3,+∞) 等式f(x-2)≥0的解集是____________________.

解析 由已知可得x-2≥1或x-2≤-1,
解得x≥3或x≤1, ∴所求解集是(-∞,1]∪[3,+∞).

解析答案

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8.设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x) =f(x+2); ③当 0≤x≤1 时, f(x)=2 -1, 则
x ?1? ?3? ?5? ? ? ? ? ? 2 f?2?+f(1)+f?2?+f(2)+f? ? ?=__. 2 ? ? ? ? ? ?

解析 依题意知:函数f(x)为奇函数且周期为2,
?1? ?3? ?5? ?1? ? ?1? ?1? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴f?2?+f(1)+f?2?+f(2)+f?2?=f?2?+f(1)+f?-2?+f(0)+f?2?=f? ? ?+f(1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2? ?1? ?1? ?1? ? ? ? ? ? -f?2?+f(0)+f?2?=f? ? ?+f(1)+f(0)= ? ? ? ? ?2? 1 0 2 -1+2 -1+2 -1= 2.
1 2

解析答案

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2 ? ?-x +2x,x>0, ? 9.已知函数 f(x)=?0,x=0, ? 2 ? ?x +mx,x<0

是奇函数.

(1)求实数m的值;

解 设x<0,则-x>0, 所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x). 于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx, 所以m=2.
解析答案

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(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围. 解 要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
? ?a-2>-1, 结合 f(x)的图象知? ? ?a-2≤1,

所以1<a≤3, 故实数a的取值范围是(1,3].

解析答案

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10.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x), 当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; 证明 ∵f(x+2)=-f(x),

∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
∴f(x)是周期为4的周期函数.

解析答案

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(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式; 解 ∵x∈[2,4],

∴-x∈[-4,-2],∴4-x∈[0,2],
∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8. 又f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x2+6x-8, 即f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].

解析答案

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(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 016). 解 ∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=?

=f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)+f(2 015)=0.
∴f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 016)=f(2 016)=f(0)=0.

解析答案

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11.已知f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数,而且f(x)是减函数,如果f(m-2) +f(2m-3)>0,那么实数m的取值范围是(
? 5? ? A.?1,3? ? ? ? ? 5? ? B.?-∞,3? ? ? ? ?5 ? ? D.?3,+∞? ? ? ?

)

C.(1,3)

解析答案

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12.设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[ -1,1] 上,f(x)=
?ax+1,-1≤x<0, ? ?bx+2 ,0≤x≤1, ? ? x+1

其中 a,b∈R.若

?1? ?3? ? ? ? f?2?=f? ? ?,则 ? ? ?2?

a+3b 的值为__.

解析答案

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13.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x, 则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为___. 7 解析 因为当0≤x<2时,f(x)=x3-x, 又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且f(0)=0,

所以f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0.又f(1)=0,
所以f(3)=f(5)=0. 故函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.

解析答案

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14. 设函数 f(x)是定义在 R上的偶函数,且对任意的 x∈R恒有f(x +1)=f(x -1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=2x,则有 ①2是函数f(x)的周期;

②函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;
③函数f(x)的最大值是1,最小值是0. 其中所有正确命题的序号是________.

解析答案

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15. 函数 f(x) 的定义域为 D = {x|x≠0} ,且满足对于任意 x1 , x2∈D ,有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)的值; 解 ∵对于任意x1,x2∈D,有f(x1· x2)=f(x1)+f(x2), ∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1), ∴f(1)=0.

解析答案

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(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论; f(x)为偶函数. 证明:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1), 1 ∴f(-1)=2f(1)=0. 令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x), ∴f(x)为偶函数.

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(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围. 解 依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2, 由(2)知,f(x)是偶函数, ∴f(x-1)<2?f(|x-1|)<f(16). 又f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴0<|x-1|<16,解之得-15<x<17且x≠1. ∴x的取值范围是{x|-15<x<17且x≠1}.

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