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⑦ 5.5 数列求和 学生版


高考数学 复习教案

专题五

做让家长放心、学生满意的教育 数列 康忠伟编

5.3 数列求和
题型一 分组求和

例 1 已知等比数列{an}满足 2a1 + a3 = 3a2 ,且 a3 + 2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn = an + log2 小值.

1 ,Sn = b1 + b2 + ? +bn,求使 Sn - 2n+1 + 47 < 0 成立的正整数 n 的最 an

例 2 (2010 全国 II)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且 a1 + a2 = 2(

1 1 ? ) ,a3 + a1 a2

a4 + a5 = 64(

1 1 1 ? ? ). a3 a4 a5

(1)求{an}的通项公式; (2)设 bn = (an ?

1 2 ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an

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专题五

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题型二 裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差, 在求和时一些正负项相互抵消, 于是前 n 项和变成首尾若干少 数项之和。 裂项法主要的公式: 1、

1 1 ? ? n ? n n(n ? 1)
2

2、

1 1 ? ? n ? 2n n(n ? 2)
2

3、

1 1 ? ? n ? kn n(n ? k )
2

4、

1 4n 2 ? 1

?

=
2

例 1 (2011 新课标全国 理)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1 + 3a2 = 1, a3 = 9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn = log3a1 + log3a2 + log3a3 + ? + log3an,求数列{

1 }的前 n 项和. bn

例 2 (2012 北京东城区期末)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1 = 1,Sn = nan - n(n-1) (n = 1,2,3 ? ) 。 (1)求证:数列{an}为等差数列,并写出 an 关于 n 的表达式; (2)若数列{

1 100 }的前 n 项和为 Tn,问满足 Tn > 的最小正整数 n 是多少? an an ?1 209

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高考数学 复习教案 相关练习 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 an =

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1 , 则 S2013 = ___________ 1? 2 ? 3 ?? ? n

题型三 乘公比错位相减法
乘公比错位相减法是求解有等差数列{bn}和等比数列{cn}对应项之积组成的数列{an}, 即 an = bn ? cn 的前 n 项和的方法。 例 1 (2010 四川)已知等差数列{an}的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn = (4-an)qn-1(q ? 0,n ? N*),求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

例 2 【山东省潍坊一中 2012 届高三阶段测试理】 (本小题满分 12 分) 在数列 ?a n ?中,已知 a1 ?

1 an?1 1 , ? , bn ? 2 ? 3 log1 an (n ? N * ) . 4 an 4 4

(Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)求证:数列 ?bn ?是等差数列; (Ⅲ)设数列 ?cn ?满足 cn ? an ? bn ,求 ?cn ?的前 n 项和 Sn .

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其他类型:
例 1【山师大附中 2012 高三第二次模拟 理 19】 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a6 ? ?5, S4 ? ?62. (1)求 {an } 通项公式; (2)求数列 {| an |} 的前 n 项和 Tn .

例 2 【青岛市 2012 高三期末检测 理 19 】设同时满足条件:①

bn ? bn ? 2 ? bn ?1 ;② 2

bn ? M ( n ? N? ,M 是与 n 无关的常数)的无穷数列 {bn } 叫“嘉文”数列.已知数列 {an } 的
前 n 项和 Sn 满足: S n ?

a (an ? 1) ( a 为常数,且 a ? 0 , a ? 1 ) . a ?1

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 数列.

?1? 2Sn ? 1 ,若数列 {bn } 为等比数列,求 a 的值,并证明此时 ? ? 为“嘉文” an ? bn ?

例 3 设 f(x) =

4x 1 2 2012 , 若 S = f( ) + f( ) + ? + f( ), 则 S = ______________ x 4 ?2 2013 2013 2013
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