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湖北省2016-2017学年高二数学下学期期末联考试题


恩施州高中教育联盟20162017春季学期高二年级期末联考
数学试卷(理科)

考试时间:2016-20177月31日 试卷满分150分

上午8:00-10:00

★祝考试顺利★? 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题 卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂 其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3.非选择题的作答:用黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的 答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。考生必须保持答题 卡的整洁。考试结束后,请将答题卡上交。 一. 选择题(本题共12个小题,每小题5分,本题满分60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.) 1、设集合 A ? ? 1, 2,3?, B ? ?4,5?, C ? ?x | x ? b ? a, a ? A, b ? B?,则
C 中元素的个数是( 

 ) 1

A.4
2、若复数 Z ?

B .3

C .5

D .6
  )

x ? 3i ( x ? R ) 是实数,则 x 的值为( 1? i

A .3

B . ?3

C .0

D. 3

3、 O 是平面上一点, A, B, C 是该平面上不共线的三个点,一动点 P ??? ? ??? ? ??? ? ???? 满足 OP ? OA ? ? ( AB ? AC ), ? ? 0 ,则直线 AP 一定通过 ?ABC 的( )

A .内心 D .垂心

B .外心

C .重心

4、下列命题中的假命题是(



A . ?x ? R, x 3 ? 0 B . “ a ? 0 ”是“ | a |? 0 ”的充分不必要条件
C . ?x ? R, 2 x ? 0

D .若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题
1 5、已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ,若将其图象向右平移 2

? (? ? 0) 个单位后所得的图象关于原点对称,则 ? 的最小值为
( )

A.
5? 12

?
6

B.

5? 6

C.

?
12

D.

2

6、某市践行“干部村村行”活动,现有 3 名干部可供选派,下乡 到 5 个村蹲点指导工作,每个村至少有 1 名干部,每个干部至多 住 3 个村,则不同的选派方案共有( )种.  D.

A . 243
125

  B . 210

  C . 150

7.一个几何体的三视图如图所示,其主(正)视图是一个等边三 角 形,则这个几何体的体积为( )
4
2
3

A. 12 3 ? 4 3?
4 3? C. 12 3 ? 3

B.

4 39 4 3? ? 3 3

4 3? D. 4 3 ? 3

主(正)视 图 ?

2

左(侧)视 图

8、函数 y ? log a ( x ? 3) ? 1, (a ? 0且a ? 1) 的图象恒 过定点 A ,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上, 其中 m, n 均大于 0 ,则
1 2 ? 的最小值为 (   m n
C .4

俯视图



A.2

B .8

D . 16

9、锐角三角形 ABC 中, a, b, c 分别是三内角 A, B, C 的对边,设
b B ? 2 A ,则 的取值范围是(  ) a

A . ??2, 2 ?

B . ?0, 2 ?

C . ? 2, 3 ?

D.

? 2, 2?
3

10、以下几个结论中正确的个数为(



(1)一组数据中的每个数据都减去同一个数后,期望与方差均无 变化; (2)在线性回归分析中相 关系数为 r , | r | 越小表明两个变量相 关性越弱;

(3)已知随机变量 ? 服从正态分布 N (5,1) ,
P (4 ? ? ? 6) ? 0.6826, 则 P (? ? 6) ? 0.1587;

(4)某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人.为了了解该单位职工的健康情况,用 分层抽样方法从中抽取样本.若样本中老年职工为3人,则 样本容量为15.

A.4

B .3

C .2

D .1

11、若 a 和 b 是计算机在区间 (0, 2) 上产生的随机数,那么函数

f ( x) ? lg(ax 2 ? 4 x ? 4b) 的值域为 R (实数集)的概率为( )

A . 3 ? 2 ln 2
4

B.

1 ? 2 ln 2 4

C . 1 ? ln 2
2

D . 1 ? ln 2
2

2 3 4 2015 12、已知函数 f ( x) ? 1 ? x ? x ? x ? x ? ??? ? x ,

2

3

4

2015

g ( x) ? 1 ? x ?

x 2 x3 x 4 x 2015 , F ( x ) ? f ( x ? 1) ? g ( x ? 2) ? ? ? ??? ? 2 3 4 2015

且函数 F ( x) 的零点均在区间 ?a, b ? (a ? b, a ? Z , b ? Z ) 内,圆

x 2 ? y 2 ? (a ? b) 2 的面积的最小值是(   )
4

A . 36?

B . 25?

C . 16?

D . 9?

二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答 题卷中的横线上.)
? f ( x ? 2), x ? 2 ? 13、已知函数 f ( x) ? ? 1 x ,则 f (1) 的值为 ( ) ,x ? 2 ? ? 2

.

14、对于 ?x ? R ,等式

x 5 ? a 0 ? a1 ?x ? 2 ?? a 2 ?x ? 2 ? ? ? ? a5 ?x ? 2 ? 恒成立,则 a 2 ?
2 5

.

15、设 A 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 在第一象限内的点, F a 2 b2

为其右焦点,点 A 关于原点 O 的对称点为 B, 若 AF ? BF , 设
?ABF ?

?
6

则双曲线离心率是 

 .

16、对于三次函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d ( a ? 0 ),定义:设
f ??( x) 是函数 y ? f ?( x) 的导数,若 方程 f ??( x) ? 0 有实数解 x0

,则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点”.有同学发现: “任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个三次函数都有对 称中心;且‘拐点’就是对称中心.”请你将这一发现作为条 件. 5

1 1 5 (Ⅰ)函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3 x ? 的对称中心为 3 2 12

.
1 1 5 1 (Ⅱ)若函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3 x ? ? ,则 3 2 12 2 x ? 1 g( 1 2 3 2014 ) ? g( ) ? g( ) ? ??? ? g ( )= 2015 2015 2015 2015

.

三.解答题:(解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. )

17、(本小题满分 10 分)已知数列 ?an ?是公差不为 0 的等差数列 , a1 ? 2 ,且 a2 , a3 , a4 ? 1 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 18 . (本小题满分 12 分)上级教育主管部门要求,高中学生三年 在校期间参加社区服务不少于 80 小时的,综合实践成绩才合 格。 LC 市教育部门按上级指示在全市随机抽取 200 名学生参 加社区服务的数据,按时间段 ?75,80 ? , ?80,85 ? , ?85,90 ?,

2 ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 S n . n ?an ? 2 ?

6

?90,95? , ?95,100?(单位:小时)进行统计,其频率分布直
方图如图所示. (Ⅰ)求抽取的 200 名学生中, 参加社区服务时间不少于
90 小时的学生人数,并估

计从全市高中学生中任意选 取一人,其参加社区服务时 间不少于 90 小时的概率; (Ⅱ)从全市高中学生(人数很多)中任意选取 3 名学生, 记 ? 为 3 位学生中参加社区服务时间不少于 90 小时的人 数.试求随机变量 ? 的分布列和数学期望 E? . 19.(本小题满分 12 分)如图,已知 AB ? 平面ACD , DE // AB , B . ?ACD 是正三角形, AD ? DE ? 2 AB ,且 F 是 CD 的中点 (Ⅰ)求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; (Ⅱ)求平面 BCE 与平面 ACD 所成锐 二面角的大小. C F A E

D

20.(本小题满分 13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆
x2 y 2 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 4 ,一个顶点与两个焦点组 a b

成一个等边三角形 . 7

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)椭圆 C 的右焦点为 F ,过 F 点的两条互相垂直的直线 l1 , l2 ,直线 l1 与椭圆 C 交于 P, Q 两点,直线 l2 与直线 x ? 8 交于

T 点.
(i)求证:线段 PQ 的中点在直线 OT 上; (ii)求
| TF | 的取值范围. | PQ |

21.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1) ? ax ? x 2 . (Ⅰ)若 x ? 1 为函数 f ( x) 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x) 在定义域上的单调性; (Ⅲ)证明:对任意正整数 n , ln(n ? 1) ? 2 ? . 请考生在第 22, 23, 24 题中任选一题作答,如果多做,则按所 做的第一题计分,做答时请写清题号。 22、(本小题满分 10 分)如图,在 ?ABC 中, CD 是 ?ACB 的角平分线, ?ADC 的外接圆交 BC 于点 E , AB ? 2 AC (Ⅰ)求证: BE ? 2 AD ; (Ⅱ)当 AC ? 3 , EC ? 6 时,求 AD 的长. 23、(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方
3 4 n ?1 ? 2 ? ??? ? 2 2 2 3 n

? x ? 2 cos ? 程为 ? ( ? 为参数),以 O 为极点, x 轴的正半轴为 ? y ? sin ?
8

极轴建立极坐标系,曲线 C2 是圆心在极轴上且经过极点的圆 ,射线 ? ?

?

与曲线 C2 交于点 D(2, ) . 3 3

?

(Ⅰ)求曲线 C1 , C2 的普通方程;
1 1 ? (Ⅱ) A( ?1 , ? ), B ( ? 2 , ? ? ) 是曲线 C1 上的两点,求 2 ? 2 的 ?1 ? 2 2

值. 24、(本小题满分 10 分)已知函

f ( x ) ? 2 x ? a ? a, a ? R, g ( x ) ? 2 x ? 1 .
(Ⅰ)若当 g ( x) ? 5 时,恒有 f ( x) ? 6 ,求 a 的最大值; (Ⅱ)若当 x ? R 时,恒有 f ( x) ? g ( x) ? 3, 求 a 的取值范围.

9

恩施州高中教育联盟 2016-2017春季学期高二年级期末联考 数学试卷(理科)参考答案 一、选择题 1、 A 6、 B 7、 D 12、 A 8、 B 9、 C 10、 B 11、 B 2、 B 3、 C 4、 D 5、 C

二、填空题 13、
1 8
?1 ? ? ?

14、80

15、 3 ? 1

16、(1) ? ,1? ;(2)2014 2 三、解答题 17、(1)设数列 {an } 的公差为 d ,由 a1 ? 2 和 a2 , a3 , a4 ? 1 成等比数 列,得

(2 ? 2d ) 2 ? (2 ? d )(3 ? 3d ) , 解得 d ? 2 ,或 d ? ?1
当 d ? ?1 时,

a3 ? 0 ,与 a2 , a3 , a4 ? 1 成等比数列矛盾,舍去.
? d ? 2 , ? an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n

即数列 {an } 的通项公式 an ? 2n -------------------------------------------6分 10

(2) bn ?

2 2 1 1 1 ? ? ? ? n(an ? 2) n(2n ? 2) n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 n S n ? 1 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1

---------

10分

18、(1)根据题意,参加社区服务时间在时间段 ?90,95 ? 小时的 学生人数为
200 ? 0.060 ? 5 ? 60 (人),参加社区服务时间在时间段

?95,100?小时的学生人数为 200 ? 0.020 ? 5 ? 20 (人).
所以抽取的 200 位学生中,参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数为 80 人. 所以从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务 时间不少于 90 小时的概率估计为 P ? 4分 (2)由(1)可知,从全市高中生中任意选取 1 人,其参加社 区服务时间不少于 90 小
2 . 时的概率为 5 由已知得,随机变量 ? 的可能取值为
0,1, 2,3 .

60 ? 20 2 ? ----200 5

11

2 3 27 所以 P (? ? 0) ? C30 ( )0 ? ( )3 ? ; 5 5 125 3 54 1 2 1 ; P (? ? 1) ? C3 ( ) ? ( )2 ? 5 5 125 2 3 36 3 8 3 2 3 ; P (? ? 3) ? C3 .-P (? ? 2) ? C32 ( ) 2 ? ( )1 ? ( ) ? ( )0 ? 5 5 125 5 5 125

---8分 随机变量 ? 的分布列为

?
P

0
27 125

1
54 125

2
36 125

3
8 125

--------------10分
2 2 6 因为 ? ~ B (3, ) ,所以 E? ? np ? 3 ? ? 5 5 5

----

----------12分

19、(1)∵△ACD为正三角形,∴ AF ? CD . ∵AB ? 平面ACD,DE||AB, ∴DE ? 平面ACD,又AF ? 平面ACD, ∴DE ? AF.又AF ? CD,CD∩DE=D, ∴AF ? 平面CDE 又BP||AF,∴BP ? 平面CDE.又∵BP ? 平面BCE, ∴平面BCE⊥平面CDE

12

--------------------------------------------------5分 (3)法一、由(2),以F为坐标原点, FA,FD,FP所在的直线分别为x,y,z轴(如图),

建立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2, 则C(0,—1,0), B (? 3 ,0,1), E , (0,1,2). ? 设 n ? ( x, y, z ) 为平面BCE的法向量,
? ? ??? ? ? ??? ? ? ?? 3 x ? y ? z ? 0 ,令n=1,则 n ? (0, ?1,1) ? n ? CB ? 0, n ? CE ? 0,? ? ? ?2 y ? 2 z ? 0

显然, m ? (0,0,1) 为平面ACD的法向量. 设面BCE与面ACD所成锐二面角为 ? , 则 cos ? ?

| m?n | 1 2 ? ? . ? ? ? 45 ? . | m |?| n | 2 2

即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为 45? ------------------- ---------------------------------------12分 (法二)、延长EB.DA,设EB.DA交于一点O,连结CO. 则面 EBC ? 面 DAC ? CO . 由AB是 ?EDO 的中位线,则 DO ? 2 AD . 在 ?OCD 中? OD ? 2 AD ? 2 AC , ?ODC ? 60 0 .

OC ? CD ,又 OC ? DE . ? OC ? 面 ECD, 而CE ? 面ECD,
13

? OC ? CE ,? ?ECD为所求二面角的平面角
在 Rt ?EDC 中,? ED ? CD, ? ?ECD ? 45 0 即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为 45? . ----------12分 -------------

?c 1 ? ? 20、(Ⅰ)由椭圆得 ? a 2 ,解得 a ? 4, c ? 2, b ? 2 3 , ? ?2c ? 4
故所求椭圆的标准方程为 ----------4分 (Ⅱ)(i)设直线PQ的方程为: x ? my ? 2 ,代入椭圆方程
x2 y 2 ? ? 1得 16 12 x2 y 2 ? ? 1 .------------------16 12

(3m 2 ? 4) y 2 ? 12my ? 36 ? 0 ,则判别式 ? ? 144m 2 ? 4 ? 36(3m 2 ? 4) ? 0 ,
设 P ( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) , PQ 的中点 G ( x0 , y0 ) ,则
y1 ? y2 ? ?12m ?36 , y1 y2 ? , 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

1 ?6m 则 y0 ? ( y1 ? y2 ) ? , 2 3m 2 ? 4 x0 ? my0 ? 2 ? m ? ?6m 8 ?2? , 2 2 3m ? 4 3m ? 4 ,

即 G(

?6m ), 3m ? 4 3m 2 ? 4 8
2

kOG ?

y0 3m ?? , x0 4

14

设直线 FT 的方程为: y ? ? m( x ? 2) ,得 T 点坐标为

(8, ?6m) ,
? kOT ? ? 3m , 4

? kOT ? kOG ,

即线段 PQ 的中点在直线 OT 上;------------------------------8分

(ii)当 m ? 0 时, PQ 的中点为 F , T (8, 0) , 则 | TF |? 6 , | PQ |?
2b 2 | TF | ?6, ? 1, a | PQ |

当 m ? 0 时, | TF |? (8 ? 2) 2 ? (?6m ? 0) 2 ? 6 m 2 ? 1
| PQ |? 1 ?
? 1 ? m2 ? (

1 k PQ
2

| y1 ? y2 |? 1 ? (? m) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2

?12m 2 ?36 24m 2 ? 24 ) ? 4 ? ? 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4

| TF | 3m 2 ? 4 1 1 ? 6 m2 ? 1 ? ? (3 m 2 ? 1 ? ) 2 则 | PQ | 24(m ? 1) 4 m2 ? 1
设 t ? m 2 ? 1 ,则 t ? 1 ,
1 则 y ? 3t ? 在 (1, ??) 为增函数, t

? y ? 3 ?1 ? 4 ,
1 1 ) ? 1, 则 (3 m 2 ? 1 ? 4 m2 ? 1

15

综上知, ---13分

| TF | 的取值范围是 ?1, ?? ? . -------------------| PQ |

21、(1)因为 令f'(1)=0,即

, ,解得a=﹣4,

经检验:此时,x∈(0,1) ,f'(x)>0,f(x)递增 ; x∈(1,+∞),f'(x)<0,f(x)递减, ∴f(x)在x=1处取极大值.满足题意.--------------------------4分 (2) 令f'(x)=0,得x=0,或 ﹣1,+∞) ①当 ,即a≥0时,若x∈(﹣1,0),则f'(x , ,又f(x)的定义域为(

)>0,f(x)递增;若x∈(0,+∞),则f'(x)<0, f(x)递减; ②当 , 则f'(x)<0,f(x)递减; 16 ,即﹣2<a<0时,若x∈(﹣1,



,0),则f'(x)>0,f(x)递增;

若x∈(0,+∞),则f'(x)<0,f(x)递减; ③当 +∞)内递减, ④当 ,即a<﹣2时,若x∈(﹣1,0),则f'(x ,则f'(x)> ,即a=﹣2时,f'(x)≤0,f(x)在(﹣1,

)<0,f(x)递减;若x∈(0, 0,f(x)递增; 若

,+∞),则f'(x)<0,f(x)递减;

-----------------------------------------------------------9分

(3)由(2)知当a=1时,f(x)在[0,+∞)上递减, ∴f(x)≤f(0),即ln(x+1)≤x+x2, ∵ ∴ ∴ --------13分 ,∴ ,i=1,2,3,…,n, , .-------------------------------

17

22、(Ⅰ)证明:连接DE, ∵ACED是圆内接四边形, ∴∠BDE=∠BCA, 又∠DBE=∠CBA,∴△DBE∽△CBA,即有 又∵AB=2AC,∴BE=2DE, ∵CD是∠ACB的平分线,∴AD=DE, ∴BE=2AD; ----------5分 (Ⅱ)由条件知AB=2AC=6,设AD=t, 则BE=2t,BC=2t+6, 根据割线定理得BD ? BA=BE ? BC, --------------------------------,

即(6﹣t)×6=2t ? (2t+6),即2t2+9t﹣18=0, 解得 或﹣6(舍去),则 . - -------------------10分

23、(1)曲线C1的参数方程为 程为 .

(?为参数),普 通方

18

曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线 交于点

与曲线C2

,曲线C2的普通方程为(x﹣2)2+y2=4

-------------------------------5分 (2)曲线C1的极坐标方程为 ,

所以 -------10分

=

+

=

-

24、(1)g ( x)≤5?|2x-1|≤5?-5≤2x-1≤5?-2≤x≤3; f (x)≤6?|2x-a|≤6-a?a-6≤2x-a≤6-a?a-3≤x ≤3. 依题意有,a-3≤-2,a≤1. 故a的最大值为1. ------------5分 (2)f (x)+g (x)=|2x-a|+|2x-1|+a≥|2x-a-2x+1|+a ≥|a-1|+a, 当且仅当(2x-a)(2x-1)≥0时等号成立. 解不等式|a-1|+a≥3,得a的取值范围是[2,+∞).--------10分 ---------------------

19


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