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版高考数学一轮复习第八章立体几何第6讲立体几何中的向量方法一——证明平行与垂直练习理

【创新设计】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第八章 立体几 何 第 6 讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直练习 理 基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、填空题 → 1.已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).若|a|= 3,且 a 分别与AB, → AC垂直,则向量 a 为________. 解析 → → 由条件知 AB = ( - 2 ,- 1 , 3) , AC = (1 ,- 3 , 2) ,设 a = (x , y , z) ,则有 -2x-y+3z=0, ? ? ?x-3y+2z=0, 解得 a=±(1,1,1). ? ?x2+y2+z2=3, 答案 (1,1,1)或(-1,-1,-1) → → → 2.若AB=λ CD+μ CE,则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是________. → → → → → → 解析 ∵AB=λ CD+μ CE,∴AB,CD,CE共面.则 AB 与平面 CDE 的位置关系是平行或在平 面内. 答案 平行或在平面内 3.已知平面 α 内有一点 M(1,-1,2),平面 α 的一个法向量为 n=(6,-3,6),给出下 列四点:①P(2,3,3);②P(-2,0,1);③P(-4,4,0);④P(3,-3,4).则上述点 P 中,在平面 α 内的是________(填序号). → 解析 逐一验证法,对于①,MP=(1,4,1), → → ∴MP·n=6-12+6=0,∴MP⊥n, ∴点 P 在平面 α 内,同理可验证其他三个点不在平面 α 内. 答案 ① 4.已知平面 α 和平面 β 的法向量分别为 a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且 α ⊥β ,则 x=________. 解析 ∵a·b=x-2+6=0,∴x=-4. 答案 -4 5.设点 C(2a-1,a+1,2)在点 P(2,0,0),A(1,-3,2),B(8,-1,4)确定的平面上, 则 a=________. → → 解析 PA=(-1,-3,2),PB=(6,-1,4). → → → 根据共面向量定理,设PC=xPA+yPB(x,y∈R), 1 则(2a-1,a+1,2)=x(-1,-3,2)+y(6,-1,4) =(-x+6y,-3x-y,2x+4y), 2a-1=-x+6y, ? ? ∴?a+1=-3x-y, 解得 x=-7,y=4,a=16. ? ?2=2x+4y, 答案 16 6.已知直线 l 的方向向量为 ν =(1,2,3),平面 α 的法向量为 u=(5,2,-3),则 l 与 α 的位置关系是________. 解析 ∵ν ·u=0,∴ν ⊥u,∴l∥α 或 l? α . 答案 l∥α 或 l? α → → → → → 7.(2016·青岛模拟)已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,- 3),且 BP⊥平面 ABC,则实数 x+y=________. 3+5-2z=0, ? ? 解析 由条件得?x-1+5y+6=0, ? ?3(x-1)+y-3z=0, 40 15 解得 x= ,y=- ,z=4, 7 7 40 15 25 ∴x+y= - = . 7 7 7 答案 25 7 → → 8.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点,如果AB=(2,-1,-4),AD=(4,2, → → 0),AP=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③AP是平面 ABCD 的法向量; → → ④AP∥BD.其中正确的序号是________. → → → → 解析 ∵AB·AP=0,AD·AP=0, ∴AB⊥AP,AD⊥AP,则①②正确. → → 又AB与AD不平行, → ∴AP是平面 ABCD 的法向量,则③正确. → → → → 由于BD=AD-AB=(2,3,4),AP=(-1,2,-1), → → ∴BD与AP不平行,故④错误. 答案 ①②③ 二、解答题 2 9. (2016·北京房山区一模节选)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面为正 方形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD=2,E,F,H 分别是线段 PA,PD,AB 的中点. 求证:(1)PB∥平面 EFH; (2)PD⊥平面 AHF. 证明 建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz. ∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0, 0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),H(1,0,0). → → (1)∵PB=(2,0,-2),EH=(1,0,-1), → → ∴PB=2EH,∴PB∥EH. ∵PB?平面 EFH,且 EH? 平面 EFH, ∴PB∥平面 EFH. → → → (2)PD=(0,2,-2),AH=(1,0,0),AF=(0,1,1), → → ∴PD·AF=0×0+2×1+(-2)×1=0, → → PD·AH=0×1+2×0+(-2)×0=0, ∴PD⊥AF,PD⊥AH, 又∵AF∩AH=A,∴PD⊥平面 AHF. 10.(2016·南京调研)如图所示, 四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正 方形,PA⊥CD,PA=1,PD= 2,E 为 PD 上一点,PE=2ED. (1)求证:PA⊥平面 ABCD; (2)在侧棱 PC 上是否存在一点 F, 使得 BF∥平面 AEC?若存在, 指出 F 点的位置,并证明;若不存在,说明理由. (1)证明 ∵PA=AD=1,PD= 2, ∴PA +AD =PD ,即 PA⊥AD. 又 PA⊥CD,AD∩CD=D,∴PA⊥平面 ABCD. (2)解 以 A 为原点,AB,AD,AP 所在直线为 x 轴,y 轴, 2 2 2 z 轴建立空间直角坐标系. 则 A(0,0,0),B(1,0,0), C(1,1,0),P(0,0,1), ? 2 1? → E?

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