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甘肃省河西五市部分普通高中2013届高三1月第一次联合考试数学理试题


2013 年 1 月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试

数学试题(理科)
命题学校 甘肃省永昌县第一高级中学 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第(22)-(24) 题为选考题,其他题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式: 锥体体积公式 柱体体积公式

1 V ? Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高; 3

V ? Sh 其中 S 为底面面积, h 为高;
4 ? R 3 ,其中 R 为球的半径。 3

球的表面积,体积公式[ S ? 4? R 2 , V ?

第Ⅰ卷
一、选择题(共 12 小题,每题 5 分,总分 60 分) 1.已知复数 z ? 1 ? i,则 z ? z ? (

z ?1

)

A.

2

B.

-2

C.

2i

D.

? 2i


2.设集合 M={x∣x<2},集合 N={x∣0<x<1},则下列关系中正确的是( A. M∪N=R B. M∪С RN=R C. N∪С RM=R ) D. M∩N=M

3.下列命题中,是真命题的是( A. ?x ? R, sin 2

x x 1 ? cos 2 ? 2 2 2
x

B. ?x ? (0, ? ), sin x ? cos x D. ?x ? R, x ? x ? ?1
2

C. ?x ? (0,??), e ? 1 ? x

4.函数 f ( x) ? log 2 x ? 2 x ? 1 的零点必落在区间 ( A. ? , ?



?1 1? ?8 4?

B. ? , ?

?1 1? ?4 2?

C. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

2 D. ?1,?
1

5.已知函数 f ( x) ? ? A. 1 ?

? x ? 1,?1 ? x ? 0 ? ? 1 ? x 2 ,0 ? x ? 1 ?
B.

,则?

?1

f ( x) ? ( dx
D.



?
2

1 ? ? 2 4

C. 1 ?

?
4

1 ? ? 2 2

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6.若对 ?k ? R, BA ? k BC ? CA 恒成立,则三角形 ABC 是( A. 锐角三角形 B. 直角三角形
2

??? ?

??? ?

??? ?



C. 钝角三角形

D. 不能确定形状的三角形

2 y 7.已知双曲线 x 2 ? 2 ? 1 a ? 0,b ? 0)的右焦点是 F, 过点 F 且倾角为 600 的直线与双 (

a

b

曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率的范围是( A. ?1,? 2 B. (1,2) C. ?2, ? ? ? D. ?2, ? ? ?



8.若函数 f ( x) ? sin 2 x ? a cos 2 x的图像关于直线x ? ? A.

?
8

对称,那么 a =(

)

2

B.- 2

C. 1

D. -1 )

9. 一空间几何体的三视图如图 1, 则该几何体的体积为 ( A. 2? ? 2 3 C. 2? ? B. 4? ? 2 3 D. 4? ?

2 3 3

2 3 3

10.已知 O 是坐标原点, A ?1,1 ,若点 B x, y 为平面区

?

?

?

?

?x ? y ? 2 ??? ??? ? ? ? 域 ? x ? 1 上一动点,则 OA ? OB 的取值范围是( ? y ? 2 ?
A. ? ?1,0 ? ? ? B. ? 0,1? ? ? C. ? 0, 2 ? ? ?



D. ? ?1, 2 ? ? ?

11.已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 ABC 内的射影为

? ABC 的中心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于(
A.



1 3

B.

2 3

C.

3 3

D.

2 3
2

12.已知圆 C:( x ? 4)2 ? y 2 ? 4 ,从动圆 M: ( x ? 4 ? 7 cos? )

? ( y ? 7 sin ? ) 2 ? 1 上的

动点 P 向圆 C 引切线,切点分别是 E,F,则 CE ? CF的最小值是 ( ) A.

??? ??? ? ?

?

7 2

B.

?

28 9

C.

4 7

D. ?

4 7

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第Ⅱ卷
二、填空题(共 4 小题,每题 5 分,总分 20 分) 13.将 5 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同分配方案的种数 是_____________(用数字作答) 14.函数 f ( x) ? 2 cos x(sin x ? cos x) ? 1, x ? ?

? ? 3? ? 的值域是_________ , ?8 4 ? ?

15.已知某程序框图如图 2,运行此程序结束后, 输出 n 的值是________

16.若 ( x ?

1 2 x
4

) n 得展开式中前三项系数成等差数列,则其

展开式中含 x 的一次幂的项是_____________________ 三、解答题(共 6 小题,总分 70 分。 ) 17.(本小题满分 12 分)在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,并且对于任 意 n∈N*,都有 an ?1 ?

an . 2 an ? 1

(1)证明数列 {

1 } 为等差数列,并求 {an } 的通项公式; an
1000 的最小正整数 n . 2011

(2)设数列 {an an ?1} 的前 n 项和为 Tn ,求使得 Tn ?

18.(本小题满分 12 分) 某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 3 所示,其中成绩分组区间是:

? 40, ? ,50, ? , 60, ? ,70, ? ,80, ? ,90, ? ? 50 ? 60 ? 70 ? 80 ? 90 ? 100 ? ? ? ? ?
.(1)求图中 x 的值;
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(2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的 人数记为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望。

19. (本小题满分 12 分) 如图 4 所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,

? BCD=60 ? ,E 是 CD 的中点,PA ? 底面 ABCD,PA=2.
(1)证明:平面 PBE ? 平面 PAB; (2)求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角的正弦值。 20. (本小题满分 12 分) 抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴的正半轴上,直线 x+y-1=0 与抛物线相交于 A、B 两点, 且 AB ?

8 6 。 11

(1) 求抛物线方程; (2) 在 x 轴上是否存在一点 C,使得三角形 ABC 是正三角形? 若存在,求出点 C 的坐标,若 不存在,说明理由. 21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? e ? 1 ? x ? ax
x

2

(1) 若 a ? 0, 求f ( x)的单调区间 ; (2) 若 x ? 0时,f ( x) ? 0恒成立,求a的范围

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 做答时标出所选题目的题号。
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1;几何证明选讲 如图,四边形 ACBD 内接于圆O,对角线 AC 与 BD 相交于 M, AC⊥BD,E 是 DC 中点 连结EM交AB于F,作OH⊥AB于H, 求证: (1)EF⊥AB (2)OH=ME

23. 本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程 已知直线 l 经过点 P(

1 ? ,1) ,倾斜角 ? ? ,在极坐标系下, 2 6

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圆 C 的极坐标方程为 ? ?

?? ? 2cos?? ? ? 。 4? ?

(1)写出直线 l 的参数方程,并把圆 C 的方程化为直角坐标方程; (2)设 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,求点 P 到 A,B 两点的距离之积。 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲 (1)解不等式 x 2 ? 9 ? x ? 3 (2)设 x,y,z ? R ? 且 x ? 2 y ? 3 z ? 1 ,求 x 2 ? y 2 ? z 2 的最小值.

2013 年 1 月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试

数学试题(理科) 参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题 ABCCB BCDCC BA

第Ⅱ卷
二、填空题

35 x 8 1 an 1 1 17. 解:(1) ? 1 ,因为 an ?1 ? ,所以 ? ? 2, a1 2 an ? 1 an ?1 an
13 150 14

? ?1,2 ? ? ?

15 63

16



数列 {

1 } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列, an



1 ? 2n ? 1 ,从而 an ? 2n ? 1 …………………………………………6 分 an 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

(2) 因为 an an ?1 ?

所以 Tn ? a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an ?1

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?
?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ??1 ? 3 ? ? ? 3 ? 5 ? ? ?? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ?? 2 ?? ? ? ? ? ??
n 2n ? 1


由 Tn ?

n 1000 , ? 2n ? 1 2011 1000 得n ? , 11 最小正整数 n 为 91.………………………………………………12 分

18. (1) 30 ? 0.006 ? 10 ? 0.01 ? 10 ? 0.054 ? 10 x ? 1 得 x=0.018 ………………………………………………………4 分 (2)由已知得,不低于 80 分的学生为 12 人,90 分以上为 3 人,随机变量 ? 的可能取值是 0,1,2

C 92 6 P(? ? 0) ? 2 ? C12 11 P(? ? 1) ?
1 1 C9 C3 9 ? 2 22 C12

P(? ? 2) ?
E ? =…=

C 32 1 ? ………………………………………………10 分 2 C12 22

1 ………………………………………………12 分 2

19(1)略……………………………………………………………………5 分 (2)延长AD,BE相交于F,联结PF,过 A 作 AH⊥PB 于 H, 平面 PBE ? 平面 PAB 知,AH ? 平面 PBE, 过 H 作 HG ? PF 于联结 AG, 则∠AGH 为所求锐二面角的平面角……………………………8 分 P 计算略 G 图4

A

H B

D E

F C

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sin∠AGH= 法2

10 …………………………………………………12 分 5

向量法(略)

20. (1)设抛物线方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0)

? y 2 ? 2 px 2 得: x ? 2(1 ? p ) x ? 1 ? 0 ? ?x ? y ? 1 ? 0
设 A( x1 , y 2 ), B ( x 2 , y 2 ) 则 x1 ? x 2 ? 2( p ? 1), x1 x 2 ? 1

AB ?

8 6 11 8 6 11

1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?

121 p 2 ? 242 p ? 48 ? 0
2 24 或p ? ? (舍去) 11 11 4 抛物线方程是 y 2 ? x ……………………………………………6 分 11 13 2 (2)设 AB 的中点是 D,则 D( ,? ) 11 11 p?
假设 x 轴上存在一点 C(x0, 0) 因为三角形是正三角形, 所以 CD⊥AB 得: x 0 ?

15 11

C(

15 2 2 ,0), 得 CD ? 11 11 3 12 2 AB ? 2 11

又 CD ?

矛盾,故在 x 轴上不存在一点 C, 使三角形 ABC 是正三角形…………12 分 21.(1) 若a ? 0, f ( x) ? e ? 1 ? x, f ?( x) ? e ? 1
x x





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? f ( x)在(??,0)上递减,f ( x)在(0,??)上递增 ………………………4 分
(2) f ( x) ? e x ? 1 ? x ? ax 2 , f ?( x) ? e x ? 1 ? 2ax

f ??( x) ? e x ? 2a
因为 x ? 0,? e x ? 1 (i)当 2a ? 1, 即a ?

1 时,f ??( x) ? e x ? 2a ? 0 2

f ?( x) ? e x ? 1 ? 2ax在?0, ? ? 上是增函数, ?
f ?( x) ? f ?(0) ? 0

? f ( x) ? e x ? 1 ? x ? ax 2 在?0, ? ?上也是增函数 ?
? f ( x) ? f (0) ? 0
此时 f ( x) ? 0 恒成立…………………………………………8 分 (ii)当 2a ? 1, 即a ?
x

1 时, 2

令 f ??( x) ? e ? 2a ? 0得x ? ln 2a , 易得 f ?( x) ? e ? 1 ? 2ax在?0, 2a ?上递减,在?ln 2a,?? ?上递增 ln
x

? 在?0,ln2a ?上,f ?( x) ? 0 ? 在?0,ln2a ?上,f ( x)也是减函数 ? 在?0,ln2a ?上,f ( x) ? f (0) ? 0
这与已知相悖 综上所述: a的取值集合是? ? ?, ? ………………12 分 22 (1)? AC ? BD, CE ? DE D A F H

? ?

1? 2?

G M

? ME ? CE ? ?CME ? ?MCE
? ?ABM ? ?MCE , ?AMF ? ?EMC
? ?AMF ? ?ABM

E C O

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B

图5

? ?FAM ? AMF ? ?ABM ? ?MAB ? 90 0
? EF ? AB ……………………………………………………………………5 分
(2)? E是CD的中点

? OE ? CD ? OH ? AB
? H是AB的中点
连结 HM,并延长交 CD 于 G,又(1)的证法,可证 HM ? CD ∴OE∥HG ,OH∥EF ∴OEMH是平行四边形 ∴OH=ME…………………………………………………………………10 分

? 1 3 t ?x ? ? ? 2 2 23.(1)直线 L 参数方程是 ? ? y ? 1? 1 t ? 2 ?
圆的普通方程是 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ?

1 2

1 2

1 ………………………5 分 2

? 1 3 ? 1 1 1 ?x ? 2 ? 2 t (2)又 ? 代入 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 得: 2 2 2 ? y ? 1? 1 t ? 2 ?
1 1 t2 ? t ? ? 0 2 4 ? PA PB ? t1t 2 ? 1 …………………………………………10 分 4

24.(1) x 2 ? x ? 4或x ? ?3 ……………………………………………5 分 (2) 最小值是

?

?

1 1 1 3 ,此时x ? , y ? , z ? …………………10 分 14 14 7 14

注:考生未指出等号成立的条件,应扣 2 分

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