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贵州省遵义四中2019届高三上学期第五次月考数学(文)试题

遵义四中 2019 届高三上学期第五次月考

数学(文)试题

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

合题目要求的.

1.设集合 P ? ?3,log2 a? , Q ? {a,b} ,若 P ?Q ? {0},则 P ?Q ? ( )

A. ?3, 0?

B. ?3, 0,1?

C.?3,0, 2?

D.?3,0,1, 2?

?2?x , x ? 3

2.若函数 f (x) ? ?

,则 f (?4) ? ( )

? f (x ? 3), x ? 3

1

A.2

B.

C.32

2

1 D.
32

3.已知复数 z ? (tan ? ? 3)i ?1 ,则“? ? ? ”是“ z 是纯虚数”的( )

i

3

A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.抛物线 y2 ? 4x 的焦点到双曲线 x2 ? y 2 ? 1的渐近线的距离是( ) 3

A. 1 2

B. 3 2

C.1

D. 3

5.执行右图程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是( )

A.120

B.720

C.1440

D.5040

? ? 6.等比数列 an 的前 n 项和为 sn ,且 4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列. 若 a1 =1,则 s4 =( )

A.15

B.7

B.8

D.16

7.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图 是菱形,则该几何体的侧面积为( )
A. 3 ? 6

·1·

B. 3 ? 5 C. 2 ? 6 D. 2 ? 5

8.已知?、? 为锐角, cos? ? 3 , tan(? ? ? ) ? ? 1 ,则 tan ? 的值为( )

5

3

A. 1 3

B. 3

C. 9 13

D. 13 9

9. 向量 a , b 满足 a ? 1 , a ? b ? 3 , a 与 b 的夹角为 60°,则 b ? 2

()

1

1

1

1

A.

B.

C.

D.

3

2

5

4

10.已知函数 y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数 y ? f '(x) 的

图像如右图所示,则该函数的图像是( )

A.

B.

C.

D.

11.已知椭圆 E :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 的右焦点为

F(3, 0)

,过点

F

的直线交椭圆于

A, B 两点.

若 AB 的中点

坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为( )

A. x2 ? y2 ? 1 45 36

B. x2 ? y2 ? 1 36 27

C. x2 ? y2 ? 1 27 18

D. x2 ? y2 ? 1 18 9

12.若 x, y ? (0 , 2] 且 xy ? 2 ,使不等式 a(2x ? y)≥ (2 ? x)(4 ? y) 恒成立,则实数 a 的取值范围为

()

·2·

A. a ≤ 1 2

B. a ≤ 2

C. a ≥ 2

D. a ≥ 1 2

第二卷(非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22~24 题为 选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.若曲线 y ? ax2 ? ln x 在点 (1, a) 处的切线平行于 x 轴,则 a ?________.

?x ? y ? 3 ? 0

14.已知变量 x , y 满足约束条件 ???1 ? x ? 1 ,则 z ? x ? y 的最大值是

.

?? y ? 1

15.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查为此将他们随机编号为 1,2,… ,960,

分组后在第

一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9,若抽到的 32 人中,编号落入区间[1,450]的

人做问卷 A,

编号落人区间[451,750]的人做问卷 B,其余的人做问卷 C,则抽到的人中,做问卷 C 的人

数为

.

16.已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, ?ABC 是边长为1的正三角形, SC 为 球 O 的直径,
且 SC ? 2 ,则此棱锥的体积为_________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知△ ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 b2 ? c2 ? a2 ? bc . 求:(I) 2sin B cosC ? sin(B ? C) 的值; (II)若 a=2,求△ ABC 周长的最大值.
18.(本小题满分 12 分) 某市对该市小微企业资金短缺情况统计如下表:
·3·

小微企业短缺 资金额(万元) [0,20) [20,40) [40,60) [60,80)

[80,100]

频率

0.05

0.1

0.35

0.3

0.2

(I)试估计该市小微企业资金缺额的平均值; (II)某银行为更好的支持小微企业健康发展,从其第一批注资的 A 行业 3 家小微企业和 B 行 业的 2 家
小微企业中随机选取 3 家小微企业,进行跟踪调研.求选取的 3 家小微企业中 A 行业的 小微企业
至少有 2 家的概率.

19.(本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? AC ? 2AB=2 ,且 BC1 ? A1C .
(Ⅰ)求证:平面 ABC1 ⊥平面 ACC1A1 ; (Ⅱ)设 D 是 A1C1 的中点,判断并证明在线段 BB1 上是否存在点 E ,使 DE ‖平面 ABC1 ;若 存在,求三
棱锥 E ? ABC1 的体积.

20. (本小题满分 12 分)

已知双曲线

C



x a

2 2

?

y2 b2

?1

(a ? 0,b ? 0) 的焦距为 4 ,以原

点为圆心,实半轴长为半径的圆和直线

x ? y ? 6 ? 0 相切. (Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)设点 F 为双曲线 C 的左焦点,试问在 x 轴上是否存在 一定点 M ,过点 M 任意作一直线 l 与双曲
线 C 交于 P , Q 两点,使得 FP ? FQ 为定值?若存在,求出此定值及点 M 的坐标;
若不存在,请 说明理由.

21.(本小题满分 12 分)
设 a 为实数,函数 f (x) ? ex ? 2x ? 2a , x?R . (I)求 f (x) 的单调区间与极值; (II)求证:当 a ? ln 2 ?1 且 x ? 0 时, ex ? x2 ? 2ax ?1.

·4·

请考生在第 22 ~24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
如 图 , 在 ?ABC 中 , CD 是 ?ACB 的 角 平 分 线 , ?ACD 的 外 接 圆 交 BC 于 E , AB ? 2AC .
(I)求证: BE ? 2AD; (II)若 AC ? 1, EC ? 2 ,求 AD 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系

xoy

中,直线

l

?x

的参数方程为:? ?

y

? ?

1? t cos? 2 ? t sin?



t

为参数).以原点

O

为极点,x 轴的

正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为: ? ? 6sin? .

(I)求曲线 C 的直角坐标方程;

(II)若曲线 C 与直线 l 交于 A , B 两点,点 P(1,2) ,求 PA ? PB 的最小值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
设函数 f (x) ? x ?1 ? 2 x ? a , a ? R . (Ⅰ)当 a ? ?1 时,求不等式 f (x) ? 5 的解集; (Ⅱ)若不等式 f (x) ? 5 对 ?x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围.
遵义四中第五次月考文科数学参考答案
·5·

一、选择题

1—12. BDC 二、填空题

BBA

CBB

CDD

1 13. 2

14. 5 15.7

三、解答题

2 16. 6

17.解:(1) ?

A?

? 3

,......................3



2sin B cosC ? sin(B ? C) ? sin A ? 3 ;......................6 分 2
(2) ? a2 ? b2 ? c2 ? ab ,......................8 分
? (b ? c)2 ? 3ab ,

? (b ? c)2 ? 3( a ? b )2 , 2
? b ? c ? 4 ,当且仅当 b ? c ? 2 时,等号成立.............11 分
? △ ABC 周长的最大值为 6........................12 分

18.解:(1)平均值为:10?0.05?30?0.1?50?0.35?70?0.3?90?0.2 ? 60 ;
.......................5 分

(2)设 A 行业 3 家小微企业为: A1 , A2 , A3 ;设 B 行业 2 家小微企业为:

B1 , B2 . 5 家小微企业随机选取 3 家有 10 种可能: A1A2 A3 , A1A2B1 , A1A3B1 , A1A2B2 , A1A3B2 , A1B1B2 , A2 A3B1 , A2 A3B2 , A2B1B2 , A3B1B2 ,................8 分 选取的 3 家小微企业中 A 行业的小微企业至少有 2 家的有 7 种可能,..........10 分

所以概率为 P ? 7 . 10

.............................12 分

19.证明:(1) ? A1C ? 平面 ABC1 ,所以平面 ABC1 ⊥平面 ACC1A1 ;.......5 分 (2)分别取 BB1 , AA1 的中点 E , F ,连接 EF , DE , DF
? 平面 EFD∥平面 ABC1 , ? DE ‖平面 ABC1 ,.......8 分 ? C1 A1 ? 平面 ABB1A1 ,......................10 分

·6·

?

VE? ABC1

? VC1? ABE

?

1 3

...................12



20.解:(1) x2 ? y2 ? 1 ;................4 分
3

(2)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l : y ? k(x ? m) , k ? ? 3 ,
3

代入双曲线 C 的方程 x2 ? y2 ? 1 , (3k 2 ?1)x2 ? 6mk 2 x ? 3(m2k 2 ?1) ? 0 , 3

得:

x1? x2

?

6mk 2 3k 2 ?1



x1?x2

?

3m2k 2 ? 3 3k 2 ?1

, m2k 2

? 3k 2

?1?

0

,.......6



所以,

FP

?

FQ

?

(2m2

? 12 m 3k 2

? 15 )k ?1

2

?1

,......8



当 2m2 ?12m ?15 ? 3 时, FP? FQ ?1,解得:,

检验: m ? ?3 ? 3 不合题意, m ? ?3 ? 3 满足 ? ? 0.......10 分

当直线 l 的不斜率存在时,直线 l : x ? ?3 ? 3 , FP? FQ ?1,

所以 M (?3 ? 3,0) , FP? FQ ?1.......12 分
21.解 :( 1) f (x) 在 ?? ?, ln 2?上单调递减,在 ?ln 2,???上单调递增,

f (x)极小值 ? f (ln 2) ? 2 ? 2 ln 2 ? 2a ,无极大值;.........5 分
(2)令 g(x) ? ex ? (x2 ? 2ax ?1) , g ' (x) ? ex ? 2x ? 2a ,......7 分 由(1)知: g ' (x) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a ,因为 a ? ln 2 ?1,所以 g ' (x) ? 0 ,....9 分
所以 g(x) 在 ?0,???上单调递增,所以 g(x) ? g(0) ? 0 ,.........11 分

即当 a ? ln 2 ?1 且 x ? 0 时, ex ? x2 ? 2ax ?1...............12 分
四、选做题

22.证明:(1) ? DE ? DA, ?BDE∽ ?BCA, ? BE ? 2AD;.........5 分
·7·

(2)由 BD? BA ? BE? BC ? AD ? 1 ............10 分
2

23.解:(1) x2 ? ( y ? 3)2 ? 9 ;..................5 分

(2) 2 7 ...................10 分

24.解:(1)当 a ? ?1时, 2 x ?1 ? x ?1 ? 5 ,不等式可化为:

??x ? ?1

?

,解得: x ? ?2 ;

??? 2(x ?1) ? (x ?1) ? 5

??1 ? x ? 1 ??2(x ?1) ? (x ?1) ? 5 ,解得: x?? ;

?x ?1 ??2(x ?1)

?

(x

?1)

?

5

,解得:

x

?

4 3



? ? 所以,解集为:

? ?,?2

?

? ??

4 3

,??

?? ?

;...................5



(2)不等式 f (x) ? 5 对 ?x ? R 恒成立,即 ?x ? R , f (x)min ? 5 .

当 a ?1时

?? 3x ?1? 2a, x ? 1

f

(x)

?

???? ?

x

?1?

2a,1

?

x

?

a



??3x ?1? 2a, x ? a

所以, f (x)min ? a ?1 ? 5 ,即 a ? 6 ;
当 a ?1时

f

(

x)

?

??? ?

3x

?

3,

x

?

1



??3x ? 3, x ? 1

所以, f (x)min ? 0 ,不符合;
当a ?1时

·8·

?? 3x ?1? 2a, x ? a

f

(x)

?

???x ?

?1?

2a, a

?

x

?

1,

??3x ?1? 2a, x ? 1

所以, f (x)min ? ?a ?1 ? 5 ,即 a ? ?4 , 所以, a ? ?4 或 a ? 6 ...................10 分

·9·


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