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高一数学教案:函数模型的应用实例2


课题:§3.2.2 函数模型的应用实例(第 2 课时)
教学目标: 知识与技能: 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题. 过程与方法: 感受运用函数概念建立模型的过程和方法, 对给定的函数模型进行 简单的分析评价. 情感、态度、价值观 :体会数学在实际问题中的应用价值. 教学重点 :利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题. 教学难点 :利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题,并对给定的 函数模型进行简单的分析评价. 教学过程: 环节 教学内容设计 师生双边互动 师: 介绍现实生活中函 数应用的典型题型, 提 出研究内容与研究方 法. 现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是 确定的,但需要我们利用问题中的数据及其蕴含的 关系建立数学模型,对于已给定数学模型的问题, 我们要对所确定的数学模型进行分析评价,验证数 学模型的与所提供的数据的吻合程度,并对给定的 数学模型进行适当的分析和评价.

创 设 情 境

环节

教学内容设计 例 1.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时 间的关系如图所示. 1) 写出速度 v 关于时间 t 的函数解析式; 2) 写出汽车行驶路程 y 关于时间 t 的函数关 系式,并作图象; 3) 求图中阴影部分的面积,关说明所求面积 的实际含义; 4) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路 程前的读数为 2004km, 试建立汽车行驶这 段路程时汽车里程表读数 s 与时间 t 的函 数解析式,并作出相应的图象.

师生双边互动 师: 本例所涉及的数学 模型是确定的, 需要利 用问题中的数据及其 蕴含的关系建立数学 模型, 此例主要应引导 学生用函数模型 (分段 函数)刻画实际问题.



v (km/h)

90 80 70 60 50 40

生:积极思考,主动参 与, 认真观察分析所给 图象, 按问题和探索步 骤逐步思考、分析、讨 论、解答、交流.





30 20 10 0 1 2 3 4 5

师: 引导学生对解答过 程进行交流、评析,规 范解题步骤与方法格 式.

t( h )

探索: 1 )将图中的阴影部分隐去,得到的图象什 么意义? 2)图中每一个矩形的面积的意义是什么? 3 )汽车的行驶里程与里程表读数之间有什 么关系?它们关于时间的函数图象又有何关系?

师: 本例注意培养学生 的读图能力, 让学生理 解图象是函数对应关 系的一种重要表现形 式.

环节

教学内容设计 例 2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问 题.认识人口数量的变化规律,可以为有效控制人 口增长提供依据.早在 1798,英国经济学家马尔萨 斯就提出了自然状态下的人口增长模型:

师生双边互动 师: 本例的题型是利用 给定的数学模型 (指数 函数模型 y ? y0 e rt ) 解决实际问题的一类 问题, 引导学生认识到 确定具体函数模型的 关键是确定两个参数 y0 与 t . 生:认真阅读题目,根 据老教师引导, 完成数 学模型的确定, 注意计 算较繁, 可以借助计算 器.

y ? y0 e rt 其中 t 表示经过的时间, y0 表示 t =0 时的人口数, r 表示人口的年平均增长率.
下表是 1950~1959 年我国的人口数据资料: (单位:万人) 1950 1951 1952 1953 1954 年份 人数 55196 56300 57482 58796 60266 1955 1956 1957 1958 1959 年份 人数 61456 62828 64563 65994 67207 1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国 这一时期的人口增长率(精确到 0.0001) ,用马尔 萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人 口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否 相符; 2)如果按表中的增长趋势,大约在哪一年我 国的人口将达到 13 亿? 探索: 1) 本例中所涉及的数量有哪些? 2) 描述所涉及数量之间关系的函数模型是否 是确定的,确定这种模型需要几个因素? 3) 根据表中数据如何确定函数模型? 4) 对于所确定的函数模型怎样进行检验,根 据检验结果对函数模型又应作出如何评 价? 5) 如何根据所确定函数模型具体预测我国某 个时期的人口数,实质是何种计算方法?







师: 在验证问题中的数 据与所确定的数学模 型是否吻合时, 可引导 学生利用计算器或计 算机作出所确定函数 的图象, 并由表中数据 作出散点图, 通过比较 来确定函数模型与人 口数据的吻合程度.



生: 利用所确定的函数 模型对我国的人口增 长情况进行适当的预 测. 师: 引导学生明确利用 函数模型对国人口增 长情况的预测, 实质上 是通过求一个对数值 来确定 t 的近似值.通 过本例应让学生认识 到表格也是函数对应 关系的一种表现形式.

环节

教学内容设计 例 3.某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产 品的数量分别为 1 万件,1.2 万件,1.3 万件,为了 估计以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为 依据有一个函数模拟该产品的月产量 y 与月份 x 的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数 .已知 4 月份该 y ? abx ? c (其中 a, b, c 为常数) 产品的产量为 1.37 万件, 请问用以上哪个函数作为 模拟函数较好,并说明理由. 探索: 1)本例给出几种函数模型,如何根据已知数 据确定各个模型? 2)如何对所确定的函数模型进行评价?

师生双边互动 师: 注意本例是不同函 数类的比较问题, 要引 导学生利用待定系数 法确定具体函数模型. 生: 根据已知数据利用 待定系数法确定给定 的具体函数模型. 师: 引导学生认识比较 函数模型优劣的标准 是 4 月份产量的吻合 程度. 生: 对所确定的函数模 型进行适当的评价.

组 织 探 究

探 究 与 发 现

结合例题,研究发现: 利用给定函数模型或建立确定函数解决实际 问题的方法: 1)根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉 及的数量之间的关系; 2)利用待定系数法,确定具体函数模型; 3)对所确定的函数模型进行适当的评价; 4)根据实际问题对模型进行适当的修正.

师:引导学生分析例 题,进行总结归纳,渗 透数学思想方法, 培养 学生如读图、 分析已知 数据等诸多方面的能 力.

尝试练习: 课本 P117 练习 1、2 题; 巩 固 与 反 思 小结与反思: 根据收集到的数据,作出散点图,然后通过观 察图象判断问题年适用的函数模型,借助计算器或 计算机的数据处理功能,利用待定系数法得出具体 的函数解析式,再利用得到的函数模型解决相应的 问题,这是函数应用的一个基本过程.

师:引导学生注意,用 已知的函数模型刻画 实际问题时, 由于实际 问题的条件与得出已 知模型的条件会有所 不同, 因此往往需要对 模型进行修正.

环节 作 业 与 回 馈

教学内容设计

师生双边互动

教材 P120 习题 3.2(A 组)T4.T5.T6

1.家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气 上层的臭氧层.臭氧含量 Q 呈指数函数型变化,满 足关系式 Q ? Q0 e ?0.0025t ,其中 Q0 是臭氧的初始 课 量, t 是所经过的时间. 1)随时间的增加,臭氧的含量是增加还是减 少? 2)多少年后将会有一半的臭氧消失? 2.各有关部门了解你所生活的城市的人口总 数, 假设人口年自然增长率为 1.2%, 试解答下面的 问题: 1)写出人口总数(万人)与年份的函数关系 式; 2)计算 10 年后该城市人口总数(精确到 0.1 万人) ; 3)计算大约多少年以后该城市人口将达到现 在的 1.5 倍; 4)如果要使 20 年后该城市的人口总数不超过 现在的 1.2 倍,年人口增长率应该控制在多少?





对现实生活中的实际 问题动手进行调查、 研 究, 体会函数模型应用 的广泛性及其应用价 值.



收 获 与 体 会

图象、表格和解析式都不能是函数对应关系的 表现形式.在实际应用时,经常需要将函数对应关 系的一种形式向另一种式转化.结合有关问题,谈 谈函数对应关系的表现形式在转化时的注意事项.


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