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新建二中20122013学年度上学期高三重点班理

新建二中 2012-2013 学年度上学期高三重点班理科数学训练卷(1)
命题:李军泉 时间:2012.9.6 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的。 1 ? 4 ? x 2 的定义域为 ( 1. 函数 f ( x) ? ) ln( x ? 1) A. [?2, 0) ? (0, 2] B. (?1, 0) ? (0, 2] C. [?2, 2] D. (?1, 2] 2. 已知映射 f : A ? B ,其中 A ? B ? R ,对应法则 f : x ? y ? ? x 2 ? 2x ,对于实数 k ? B 在集合 A 中存在两个不同的原 像,则 k 的取值范围是( ) A. k ? 1 B. k ? 1
2 x

C. k ? 1

D. k ? 1

3. 设函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 3, g ( x) ? 3 ? 2, 集合 M ? {x ? R | f ( g ( x)) ? 0}, ) N ? {x ? R | g ( x) ? 2}, 则 M ? N 为( A. (1, ??) B. (0,1) C. (-1,1) D. (??,1)
4. 若一些函数只有定义域不同,则把这些函数称为”同族函数”,当函数解析式为 y ? x ,值域为{1,2}时的”同族函数”的 个数有( ). A 7 B 8 C 9 D 10 5.设有三个命题 甲:相交两直线 m,n 都在平面??内,并且都不在平面??内; 乙: m,n 之中至少有一条与??相交; 丙:???与??相交; 如果甲是真命题,那么 ( ) A.乙是丙的充分必要条件 B.乙是丙的必要不充分条件 C.乙是丙的充分不必要条件 D.乙是丙的既不充分又不必要条件 6.已知函数 f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,a,b∈R,对于命题“若 a+b≥0,则 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”有下列结论: ①此命题的逆命题为真命题 ②此命题的否命题为真命题 ③此命题的逆否命题为真命题 ④此命题的逆命题和否命题有且只有一个真命题 其中正确结论的个数为( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 7.a1、b1、c1、a2、b2、c2 均为非零实数,不等式 a1x2+b1x+c1<0 和 a2x2+b2x+c2<0 的解集分别为集合 M 和 N,那么 “

a1 b c ? 1 ? 1 ”是“M=N”的 ( a2 b2 c2
A.充分非必要条件 C.充要条件

) B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 )

8.已知函数 f ? x ? ? A. [0,1]

mx 2 ? ? m ? 3? x ? 1 的值域是 [0, ??) ,则实数 m 的取值范围是(
B. ?0,1? ? ?9, ??? C. ?9, ?? ? D. [1,9]

9. 已知函数 f ( x ) 对于一切实数 x, y 均有 f ( x ? y) ? f ( y) ? x( x? 2 y? 1) 成立 , 且 f (1) ? 0 , 则当 x ? (0, ) 时 , 不等式

1 2

f ( x) ? 2? log a x 恒成立时,实数 a 的取值范围是(
3


3

A

(

4 ,1) ? (1, ??) 4

3

B[

4 ,1) ? (1, ??) 4

C(

4 ,1) 4

3

D[

4 ,1) 4

10.若集合 A 1, A 2满足A 1?A 2 ? A, 则称( A 1, A 2 ) 为集合 A 的一个分拆,并规定:当且仅当 A 1 ? A 2时,( A 1, A 2 )与( A 2, A 1 ) 为集 合 A 的同一分拆,则集合 A ? {a1 , a2 , a3} 的不同分拆的种数为( D.8 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在对应题号后的横线上。 11.若集合 A ? {?1,0,1} , B ? {?2,?1,0,1,2} , f :A→B 表示 A 到 B 的一个映射,且满足对任意 x ? A 都有 x + f(x)为偶 数,则这样的映射有_______个.
x 2 12. 已知命题 p : “ ?x ??0,1? , a ? e ” ,命题 q : “ ?x ? R, x ? 4 x ? a ? 0 ” ,若命题“ p 且 q ” 是真命题,则实数 a 的取

)

A.27

B.26

C.9

值范围是_______. 13.若 f ( x) 是 R 上的减函数,且 f (0) ? 3, f (3) ? ?1,设 P ? {x || f ( x ? t ) ? 1 |? 2},

Q ? {x | f ( x) ? ?1} ,若“ x ? Q ”是“ x ? P ”的必要不充分条件,则实数 t 的取值范围是
14. 设 f(x)的定义域为 D,若 f(x)满足下面两个条件,则称 f(x)为闭函数. ①f(x)在 D 内是单调函数; ②存在[a,b]?D,使 f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]. 如果 f(x)= 2x+1+k 为闭函数,那么 k 的取值范围是________. 15.设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k ? A, 若k ? 1? A且k ? 1? A ,则 k 是 A 的一个

.

“孤立元” , 给定 S ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} , 由 S 的 3 个元素构成的所有集合中, 不含 “孤立元” 的集合共有 三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分)
2

个.

[

2 ? ?x ? 4x ? 3 ? 0 已知 P:2x -9x+a < 0,q: ? 2 且 ? p 是 ? q 的充分条件,求实数 a 的取值范围. ? ?x ? 6x ? 8 ? 0

17. (本小题满分 12 分) 已知集合 p ? [ ,2] ,函数 y ? log2 (ax2 ? 2 x ? 2) 的定义域为 Q , (1)若 P ? Q ? ? ,求实数 a 的取值范围;
2 (2)若方程 log2 (ax ? 2 x ? 2) ? 2 在 [ , 2 ] 内有解,求实数 a 的取值范围。

1 2

1 2

18. (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ? lg( x 2 ? ax ? b) 的 定 义 域 为 集 合 A , 函 数 g ( x) ?

kx 2 ? 4 x ? k ? 3 的 定 义 域 为 集 合 B , 若

(CR A) ? B ? B, (CR A) ? B ? {x | ?2 ? x ? 3} ,求实数 a , b 的值及实数 k 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 设二次函数 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) 满足条件:
2

① f (?1 ? x) ? f (?1 ? x) ;②函数 f ( x ) 的图象与直线 y ? x 只有一个公共点。 (1)求 f ( x ) 的解析式;

(2)若不等式 ?

f ( x)

1 ? ( ) 2 ?tx 在t ? [?2, 2] 时恒成立,求实数 x 的取值范围。

?

20.设 a 为实数,设函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a)。 (Ⅰ)设 t= 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t); (Ⅱ)求 g(a).

2, n} , n ? N * .记 f (n) 为同时满足下列条件的集合 A 的个数: 21.设集合 Pn ? {1, …,
① A ? Pn ;②若 x ? A ,则 2 x ? A ;③若 x ? C pn A ,则 2 x ? C p A 。
n

(1)求 f (4) ; (2)求 f (n) 的解析式(用 n 表示) .

新建二中 2012-2013 学年度上学期高三重点班理科数学训练卷(1)答案
一、选择题:1-5.BCDCA 二、填空题:11. 12 命题:李军泉 6-10.CDBDA 12. 时间:2012.9.6 1 14. -1<k≤- . 15. 7 2 三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分)

[e, 4]

13.

t?

3

[

已知 P:2x -9x+a < 0,q: ? 16. 解:由 ? í

2

2 ? ?x ? 4x ? 3 ? 0 且 ? p 是 ? q 的充分条件,求实数 a 的取值范围. 2 x ? 6 x ? 8 ? 0 ? ?

ì ? x 2 - 4x + 3 < 0 得 2< x < 3 ∴ q: 2 < x < 3 2 ? x 6x + 8 < 0 ? ? 2 设 A={ x ︱2x -9x+a<0} B={ x ︱2<x<3} ∵ ? p ? ? q, ∴ q ? p ∴B ? A ì D = 81- 8a > 0 ? ? ? 2 a? 9 令 f (x) = 2x - 9x + a ,则 í f (2) = a - 10 ^0 ? ? ? ? ? f (3) = a - 9 ? 0

17. (本小题满分 12 分) 已知集合 p ? [ ,2] ,函数 y ? log2 (ax2 ? 2 x ? 2) 的定义域为 Q , (1)若 P ? Q ? ? ,求实数 a 的取值范围;
2 (2)若方程 log2 (ax ? 2 x ? 2) ? 2 在 [ , 2 ] 内有解,求实数 a 的取值范围。
2 17. 解:(1)由题意知: ax - 2x + 2 > 0 在区间 [ , 2] 上有解, \ a > ( -

1 2

1 2

2 ) min ? a>-4 x2 1 1 1 2 (2) 由 题 意 知 : log2 (ax2 ? 2 x ? 2) ? 2 即 ax - 2x - 2 = 0 在 区 间 [ , 2] 上 有 解 \ a = 2( + 2 ) ? 2 x x 3 ? a ? 12 2

1 2

2 x

轾 3 犏,12 即 犏 2 臌

18. (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ? lg( x 2 ? ax ? b) 的 定 义 域 为 集 合 A , 函 数 g ( x) ?

kx 2 ? 4 x ? k ? 3 的 定 义 域 为 集 合 B , 若

(CR A) ? B ? B, (CR A) ? B ? {x | ?2 ? x ? 3} ,求实数 a , b 的值及实数 k 的取值范围.
18. 解:由题意可知-2 和 3 是方程 x 2 + ax + b = 0 的两根,由韦达定理知 镲 眄 由题意知 B ?

祆 - 2+ 3= - a 镲 ? 镲 - 2? 3 b 镲 铑

a= - 1 b= - 6

{x | 2 #x 3},令 f (x) = kx 2 + 4x + k + 3

则 ì D = 16 - 4k(k + 3) ? 0 ?

? ? ? 2 ? - 2? ? 3 ? ? k í ? ? f (2) = 5k + 11 ? 0 ? ? ? ? ? ? f (3) = 10k + 15 ? 0

尬 k [- 4, -

3 ] 2

19. (本小题满分 12 分) 设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx(a ? 0) 满足条件: ① f (?1 ? x) ? f (?1 ? x) ;②函数 f ( x ) 的图象与直线 y ? x 只有一个公共点。 (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若不等式 ?
f ( x)

1 ? ( ) 2 ?tx 在t ? [?2, 2] 时恒成立,求实数 x 的取值范围。

?

19. 解: (1)∵由①知 f ( x) ? ax2 ? bx(a ? 0) 的对称轴方程是 x ? ?1 , ? b ? 2a ; ?函数f ( x) 的图象与直线 y ? x 只有一个公共点,

? y ? ax 2 ? bx 有且只有一解,即 ax2 ? (b ? 1) x ? 0 有两个相同的实根; ? 方程组 ? ?y ? x 1 ? ? ? (b ? 1) 2 ? 0, 即b ? 1, a ? . 2 1 ?函数f ( x)的解析式为f ( x) ? x 2 ? x. 2 1 f ( x) ? ( ) 2?tx 等价于f ( x) ? tx ? 2 , (2)? ? ? 1,? ? ? 1 2 ? x ? x ? tx ? 2在t ? [?2, 2] 时恒成立等价于 2 1 2 函数 g (t ) ? xt ? ( x ? x ? 2) ? 0在t ? [ ?2, 2] 时恒成立; 2 2 ? ? g (2) ? 0, ?x ? 2x ? 4 ? 0 ?? ,即 ? 2 解得 : x ? ?3 ? 5或x ? ?3 ? 5, ? g (?2) ? 0 ? ? x ? 6 x ? 4 ? 0,
实数 x 的取值范围是 (??, ?3 ? 5) ? (?3 ? 5, ??)

20.设 a 为实数,设函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a)。 (Ⅰ)设 t= 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t) (Ⅱ)求 g(a) 解: (Ⅰ)令 t ? 1 ? x ? 1 ? x 要使有 t 意义,必须 1+x≥0 且 1-x≥0,即-1≤x≤1, ∴ t 2 ? 2 ? 2 1 ? x 2 ?[2, 4], t≥0 t 的取值范围是 [ 2, 2]. 由①得 1 ? x ?
2



1 2 t ?1 2

1 2 1 t ? 1 )+t= at 2 ? t ? a, t ? [ 2, 2] 2 2 1 2 (Ⅱ)由题意知 g(a)即为函数 m(t ) ? at ? t ? a, t ? [ 2, 2] 的最大值。 2 1 1 2 注意到直线 t ? ? 是抛物线 m(t ) ? at ? t ? a 的对称轴,分以下几种情况讨论。 a 2 (1)当 a>0 时,函数 y=m(t), t ?[ 2, 2] 的图象是开口向上的抛物线的一段, 1 由 t ? ? <0 知 m(t)在 [ 2, 2]. 上单调递增,∴g(a)=m(2)=a+2 a (2)当 a=0 时,m(t)=t, t ?[ 2, 2] ,∴g(a)=2.
∴m(t)=a( (3)当 a<0 时,函数 y=m(t), t ?[ 2, 2] 的图象是开口向下的抛物线的一段,

1 2 ? [0, 2] ,即 a ? ? 则 g (a) ? m( 2) ? 2 a 2 1 1 1 2 1 若 t ? ? ? ( 2, 2] ,即 ? ? a ? ? 则 g ( a ) ? m( ? ) ? ? a ? a a 2a 2 2
若t ? ?

若t ? ?

1 1 ? (2, ??) ,即 ? ? a ? 0 则 g (a) ? m(2) ? a ? 2 a 2

? a ? 2, ? 1 2 1 ? , ? 综上有 g ( a ) ? ? ? a ? ?a?? , 2a 2 2 ? ? 2 ? 2, a?? 2

a??

1 2

21.设集合 Pn ? {1, 2, n} , n ? N * .记 f (n) 为同时满足下列条件的集合 A 的个数: …, ① A ? Pn ;②若 x ? A ,则 2 x ? A ;③若 x ? C pn A ,则 2 x ? C p A 。
n

(1)求 f (4) ; (2)求 f (n) 的解析式(用 n 表示) . 21.解: (1)当 n =4 时,符合条件的集合 A 为: ?2?, ?1, 4?, ?2,3?, ?1,3, 4? , ∴ f (4) =4。 ( 2 )任取偶数 x ? Pn ,将 x 除以 2 ,若商仍为偶数.再除以 2 ,··· 经过 k 次以后.商必为奇数.此时记商为 m 。于是

x =m?2k ,其中 m 为奇数 k ? N * 。 由条件知.若 m ? A 则 x ? A ? k 为偶数;若 m ? A ,则 x ? A ? k 为奇数。 于是 x 是否属于 A ,由 m 是否属于 A 确定。 设 Qn 是 Pn 中所有奇数的集合.因此 f (n) 等于 Qn 的子集个数。

? n 2 ?2 ? n为偶数 ? n n ?1 当 n 为偶数〔 或奇数)时, Pn 中奇数的个数是 ( ) ∴ f (n)= ? n ?1 2 2 ?2 2 n为奇数 ? ? ?


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