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洛必达法则巧解高考数学压轴题——函数与导数中的参数问题求解_论文

洛必达法 则巧解 高考数 学压轴题  函数与导数中的参数问题求解  ◆唐伟  函数 与导数是高中数学 的重要 内容 。纵观近几  年的高考数学试题 , 压轴题都是函数与导数应用 的问  (1) 求a , b, c , d的 值   ( I I ) 若  一2时, , 求厂 ∽≤   ∽时 , k 的 取 值 范  围。   题, 其 中求参数的取值范围是重点考查题型。在平常  教学中 , 教师往 往 介 绍利用 变量 分 离法 来求 解 。但部  【 解析 】 ( I ) 略 4 , 6 = 2 , c = 2 , d : 2 ;   ( I I ) 易得 , ∽=   +舐 + 2 , g ∽ =2 e   +1 ) ,   由, ∽ k g ( x ) 得k . 2 e   +1 ) ≥  +   +2 , 欲 变 量 分  分题型利用变量分离法处理时 , 会 出现“   0 ” 型 的代数  U  式, 而这是大学数学中的不定式 问题 , 解决这类问题  的有效 方法 就是 洛必 达法 则 。   一 离, 讨 论 如下 :   、 不 等式恒 成 立 ( 存 在性 ) 问题  ( 1 ) 若  =一 l o t, f 易知k E R   若在等式或不等式 中出现两个变量 , 其中一个变  量 的范 围已知 , 另 一个变 量 的范 围为所求 , 且容 易通过  ( 2 ) 若 ∈ [ - . 2 ,  一 1 ) 时, 有  ≤   l J 有挺 g   ,   , 令g ∽=   恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边 ,   则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。   二、 洛 必达 法则  3 L   g ' ∽=   - 2 e    ̄   x ( x   +   2 ) z , 当 ∈ 卜2 , 一1 ) 时, g   ∽> 。 ,   若函数  x ) 和g ( x ) 满足下列条件 :   g ∞单 调递 增.   g ∽  i   _ g ( 一 2 ) =e   , 所 以后 ≤e   ( 1 ) 及   mg i ( x ) = 0 ;   ( 2 ) 在点 a 的去 心邻域 内 ,  x ) 与g ( x ) 可导且g   ( 栌 O ;   l i m ( 3 ) … ( 3 ) 若 ∈ [ - . 1 ,0 ] , 有 ≥’   , 令g ∽=   f '   ( x ) =z ,   - 等财 有   ≥  ,   。  那么  =   l i a r   f ' ( x   )z 又g   ∽=   - 2 e   * x   ( x   +   2 ) 2 , 当  ∈ 【 _ - 1 ,。 】 时, g   ( 珍。 , g ∽  三、 解 决思路  单调 递增 .   g ∽m a x = g ( 0 ) :1 , 所 以J i } ≥1   ( 4 ) 若   ∈ [ 。 , + o 。 ) , 有   ≥   麦   , 令 g ∽ =   ,   例1 ( 2 0 1 3 年 全 国卷 ? 理) 已知 函数 f ( x ) =X 。 +a x+   b , g ( X ) =e X ( c x+d ) , 若 曲 线 Y=f ( X ) 和 曲线y =g ( X ) 都 过  又g  ) =   - 2 e   *   x ( x   +   2 ) 2 , 当   ∈ [ 。 ,+ ∞肘 , g   ∽> 。 ,   点P ( O , 2 ) , 且在点P 处有相同的切线Y =4 x + 2   I 考试与复习 蓁 I   综 上所 述 , k的取值 范 围为 ( 一 。 。 , 0 1   g (   = g ( 0 9 =1 , 所 以  ≥1   例 3 ( 2 0 1 0 年 全 国 卷 ?理 ) 设 函 数  综上所述 , k 的取值范 围为[ 1 , e   ] .   , ( 功=e   一1 一  — a x   。   ( 1 ) 若a =0 , 求厂 ∽ 的单调 区间 ;   厂 ∽ = 譬  +   , 曲 线 y = f ( x ) 在 点 ( 1 , f ( 1 ) ) 处 的 切 线 方   程为x + 2 y 一 3 = 0 .   ( 2 ) 若当  ≥0 时, ∽ ≥0 , 求口 的取值 范 围  【 解析 】 ( I ) 略  ( I I ) 当x = O 时, / ∽= 0, 对 任 意实 数 a , 均 有  ( I) 求a 、 b 的值 ;   ( I 1) 如果 当  >0 , 且  ≠1 时, f ( x ) >   + 墨, 求 k的  X— l   X  , (  ≥0 ;   当 > 0 时, f ( x ) 10 > 等价 于口 ≤旦 _   【 解析 】 ( I) 略  ( I I )由 题 设 可 得 ,当  > O , x ≠1 时 , k <   (   ) = 掣 令  ( x > 0 ) ,   ) = 芷  旦,   ,   贝 0   (   ) =   e   一 2 e   +   + 2 ( x > 0 )   ¨ 匣成立 。   令 g ( x )=   十1 (   > 0 ,   ≠1 ) , 则  x ) -  ̄ e   一 e   + 1 , h   x ) = x e   > 0 ,   知   (   ) 在( 0 , + 。 。 ) 上为增函数 , ^   (   ) >   ( 0 ) = o ; 知  (   ) 在( 0 , + 。 o ) 上为增函 数, h ( x ) >   ( 0 ) : 0 ; . _ . g   (   ) > 0 , g   ( X ) 在( 0 , + ∞ ) 上为增函数。   由   洛  = g  

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