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三角函数的有关公式


三角函数的有关公式
1.同角的三角比的基本关系:

? sin ? ? csc ? ? 1 ? (1)倒数关系: ? cos ? ? sec ? ? 1 ? tan ? ? cot ? ? 1 ?

sin ? ? tan ? ? cos (2)商数关系: ? cos ? cot ? ? sin ?

? ? ? ?

? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ? 2 2 (3)平方关系: ? 1 ? tan ? ? sec ? ? 1 ? cot 2 ? ? csc 2 ? ?
2.诱导公式一: 终边重合的角的同一种三角比值相等,即

sin ( 2 k ? ? ? ) ? sin ?
co s( 2 k ? ? ? ) ? co s ? tan ( 2 k ? ? ? ) ? tan ? co t( 2 k ? ? ? ) ? co t ?

(k ? Z ) (k ? Z ) (k ? Z ) (k ? Z ) (k ? Z ) (k ? Z )

sec( 2 k ? ? ? ) ? sec ? csc( 2 k ? ? ? ) ? csc ?
3.诱导公式二:

sin( ? ? ) ? -sin ? tan( ? ? )? ? tan ?
4.诱导公式三:

cos( ? ? ) ? cos ?
cot( ? ? ) ? ? cot ?

sin( ? ? ? ) ? -sin ? tan( ? ? ? )? tan ?
5.诱导公式四:

cos( ? ? ? ) ? -cos ?
cot( ? ? ? ) ? cot ?

sin( ? ? ? ) ? sin ?

cos( ? ? ? )? -cos ?

tan( ? ? ? ) ? ? tan ?
6. 诱导公式五:

cot( ? ? ? ) ? ? cot ?

cos( tan(

?
2

? ? ) ? sin ? ? ? ) ? cot ?

sin( cot(

?
2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? tan ?

?

?
2

2 7.诱导公式六:
cos( tan(

?
2

? ? ) ? ? sin ? ? ? ) ? ? cot ?

sin( cot(

?
2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? ? tan ? k? 2 ? ? ”中的 k

?
2

?
2

诱导公式的记忆口诀: “奇变偶不变,符号看象限。 ”其中奇偶是指在公式中角“ 为奇数、偶数。 ? 永远看作是锐角,看“ 8 .两角和与差的公式

k? 2

? ? ”所在的象限,由原来的函数名称来确定符号。

sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? . cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? .

tan( ? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

? 、 ? 、 ? ? ? 都不能取 k ? ?

?
2

(k ? Z )

tan( ? ? ? ) ?

? 、 ? 、 ? ? ? 也不能取 k ? ?

?
2

( k ? Z ).

9. 二倍角公式:

sin 2? ? 2 sin ? cos ?
cos 2 ? ? cos
2

? ? sin

2

? ? 2 cos

2

? ? 1 ? 1 ? 2 sin

2

?

tan 2 ? ?

2 tan ?
2

1 ? tan ? 二倍角的变形形式:

cos

2

? ?

1 ? cos 2 ? 2
2

; sin ? ?
2

1 ? cos 2 ? 2
2

;

1 ? cos ? ? 2 cos

? ;1 ? cos ? ? 2 sin ? ;
2

? ? ? ? 1 ? sin ? ? ? sin ? cos ? 2 2 ? ? ? ? ? ? 1 ? sin ? ? ? sin ? cos ? 2 2 ? ?
10.半角公式:

2

sin

?
2

? ?

1 ? cos ? 2
1 ? cos ? 2

cos

?
2

? ?

tan

?
2

? ?

1 ? cos ? 1 ? cos ?

?

sin ? 1 ? cos ?

?

1 ? cos ? sin ?

11.万能公式:

2 tan sin ? ? 1 ? tan

?
2
2

?
2

1 ? tan cos ? ? 1 ? tan

2

? ?
2 2

2

2 tan tan ? ? 1 ? tan
12.辅助角公式

?
2
2

?
2

对于一般形式 a sin ? ? b cos ? ( a 、 b 不全为零)如何将 表达式化简为只含正弦三角比的形式?

a sin ? ? b cos ? ?

a

2

?b

2

sin( ? ? ? ) ,

其中 ? (通常取 0 ? ? ? 2 ? )由 cos ? ?

a a
2

?b

2

,

sin ? ? a
2

b ?b
2

确定. 称上述公式为辅助角公式,角 ? 为辅助角.

13. 正弦定理 在 ? ABC 中, =2R. (其中 R 为三角形外接圆的直径) sin A sin B sin C 在一个三角形中,各边和它所对的角正弦比相等. 在 ? ABC 中, a : b : c = sin A : sin B : sin C ,这是正弦定理的另一种表达形式. 14. 余弦定理

a

=

b

=

c

a =b
2

2

2

?c
2

2

? 2 bc cos A
2

b

? a

?c

? 2 ac cos B

c

2

? a

2

?b

2

? 2 ab cos C

余弦定理的推论:

cos A ?

b

2

?c

2

?a

2

, cos B ?

c

2

? a

2

?b

2

, cos C ?

a

2

?b

2

?c

2

.

2 bc
15. 三角函数的图像与性质: (1)y=sinx 的定义域是 R,值域是[-1,1]

2 ac

2 ab

y max ? 1

? ? ? ,k ? Z ? 当且仅当 x ? ? x | x ? 2 k ? ? 2 ? ?

3? ? ? ,k ? Z ? y min ? ? 1 当且仅当 x ? ? x | x ? 2 k ? ? 2 ? ?
(2)y=cosx 的定义域是 R,值域是[-1,1]

y max ? 1

当且仅当 x ? ?x | x ? 2 k ? , k ? Z ?

y min ? ? 1 当且仅当 x ? ?x | x ? 2 k ? ? ? , k ? Z ?
一般地函数 y ? A sin( ? x ? ? ) ? B

当 A>0, y max ? A ? B ,此时 x 的取值可由 ? x ? ? ? 2 k ? ?

?
2

( k ? Z ) 解得

y min ? ? A ? B ,此时 x 的取值可由 ? x ? ? ? 2 k ? ?

3? 2

( k ? Z ) 解得

当 A<0, y max ? ? A ? B ,此时 x 的取值可由 ? x ? ? ? 2 k ? ?

3? 2

( k ? Z ) 解得

y min ? A ? B ,此时 x 的取值可由 ? x ? ? ? 2 k ? ?

?
2

( k ? Z ) 解得

一般地对于 y ? a sin x ? b cos x ,可化为正弦形式 y ? 求最大小值时,要注意角 x 的取值范围. (3)正切函数 y=tanx 的性质:

a

2

?b

2

sin( x ? ? ) .对于实际问题

? ? ? ,k ? z? , 1.定义域: ? x | x ? k ? ? 2 ? ?
2.值域:R 3.周期性: T ? ? 4.奇偶性: tan ? ? x ? ? ? tan x 奇函数.

? ? ? ? , k? ? 5.单调性:在开区间 ? k ? ? ? k ? z 内,函数单调递增. 2 2 ? ?
(4)余切函数 y ? co tx ( x ? k ? , k ? Z ) 的图像

y

? 2?

?

3? 2

?

?
2

o ?
2

3? 2

2?

x

观察余切函数的图像,得余切函数的性质:

1.定义域: ? x | x ? k ? , k ? z ? 4.奇偶性:奇函数 ? co t ( ? x ) ? ? co tx .

2.值域:R

3.周期性: T ? ?

5.单调性:在开区间 ? k ? , k ? ? ?

?k ? Z

内,函数单调递增.

一般地,函数 y=Asin(ωx+ ? ),x∈R(其中 A>0,ω>0)的图像,可以看作用下面的方法得到: 先把正弦曲线上所有的点向左(当

?

>0 时)或向右(当

?

<0 时)平行移动| ? |个单位长度, 再把

所得各点的横坐标缩短(当ω>1 时)或伸长(当 0<ω<1 时)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变),再把所得各点的纵
王新敞
奎屯 新疆

坐标伸长(当 A>1 时)或缩短(当 0<A<1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变)

另外,注意一些物理量的概念:

A :称为振幅;T=

2?

?

:称为周期;f=

1 T

:称为频率;

ωx+ ? :称为相位,x=0 时的相位 ? 称为初相
[说明]:由 y=sinx 的图像变换出 y=sin(ωx+ ? )的图像一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才 能灵活进行图像变换
王新敞
奎屯 新疆

途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 y=sinx 的图像向左( ? >0)或向右( ? <0)平移| ? |个单位,再将图像上各点的横坐标变为原 来的

1

?

倍(ω>0),便得 y=sin(ωx+ ? )的图像

王新敞
奎屯

新疆

途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换

王新敞
奎屯

新疆

先将 y=sinx 的图像上各点的横坐标变为原来的 移

1

?

倍(ω>0),再沿 x 轴向左( ? >0)或向右( ? <0)平

|? |

?

个单位,便得 y=sin(ωx+ ? )的图像

反正弦函数的定义:

函数 y=sinx, x∈[-

?
2



?
2

]的反函数叫做反正弦函数,记作 y=arcsinx,x∈[-1,1].

16. 反三角函数 (1)反正弦函数的性质: ①图像
? 2 1 y y=arcsinx

y=x

y=sinx

o

1

? 2

x

②定义域[-1,1]

③值域[-

?
2



?
2

]

④奇偶性:奇函数,即 arcsin(-x)=-arcsinx,x∈[-1,1] ⑤单调性:增函数

(1)反余弦函数和反正切函数的定义: 余弦函数 y=cosx, x∈[0,π]的反函数叫做反余弦函数,记作 y=arccosx,x∈[-1,1];

正切函数 y=tanx, x∈(-

?
2



?
2

)的反函数叫做反正切函数,记作 y=arctanx,x∈(-∞,∞);

(2)反余弦函数与反正切函数的性质: ①图像

y=arccosx

y= arctanx

②定义域:函数 y=arccosx 的定义域是[-1,1];函数 y= arctanx 的定义域是 R.

③值域:函数 y=arccosx 的值域是[0,π];函数 y= arctanx 的值域是(-

?
2



?
2

).

④奇偶性:函数 y=arccosx 既不是奇函数也不是偶函数,但有 arccos(-x)=π-arccosx,x∈[-1,1];函数 y= arctanx 是奇函数,即 arctan(-x)=-arctanx. ⑤单调性:函数 y=arccosx 是减函数;函数 y= arctanx 是增函数. 17. 最简三角方程的解集,见下表: 方程 方程的解集

a ?1
sin x ? a

?

a ?1 a ?1

?x

x ? 2 k ? ? arcsin a , k ? Z ?
k

?x

x ? k ? ? ( ? 1) a rc sin a , k ? Z

?

a ?1

?

co s x ? a

a ?1 a ?1
tan x ? a

?x ?x ?x

x ? 2 k ? ? arcco s a , k ? Z ? x ? 2 k ? ? arcco s a , k ? Z ? x ? k ? ? arctan a , k ? Z ?


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