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§1-1集合(二)_图文

列举法
把集合的元素一一列举出来,写在大括号内, 元素之间用逗号隔开,这种表示集合的方法叫做 列举法.

描述法
利用对集合中的元素所具有的特定性质的描 述表示集合的方法叫做描述法.元素x满足性质的 集合M可以表示为M ? ?x P( x) ?.

引例:用描述法表示数轴上所有坐标不小于0,不大于 2的点所组成的集合.
x

0

1

2

观察图形可知,坐标既不小于0又不大于2的点的集合, 用描述法表述为 ?x 0 剟x 2?. 集合 x 0 剟x

?

叫做闭区间. 2?可以简单记作 [0,2],

集合?x a 剟x

b?简单记为 [ a, b], 叫做闭区间(如图).
a b

叫做开区间(如图). 集合?x a ?< x ? b?,简单记为 (a,b),

x

分别简单记为[a ,b) x ? b?, 集合?x a ? x ? b?与集合?x a ?< 和(a ,b],叫做半开半闭区间(如图).
a b

a

b

x

x

a

b

x

? ?) (符号?读作无穷大), 实数集R用区间表示为(??,  x ? b?, b?分别表示为 ?x < ? x x ?< ?x x ? a?, 集合?x x …a?, [a , ? ?)、 (a , ? ?)、 (?? ,b). (?? ,b]、 (如图)
a

x

a

x

b

x

b

x

⑴ 求不等式 3 x ? 1 ? 0的解集. ⑵ 求不等式 2 x ? 1> ?> 0的解集.
的解集. ⑶ 求不等式 ?4 剟3x ? 1 2 1
?3 x ? 1 ? 0 的解集. ⑷ 求不等式组 ? ?2 x ? 1 ? 0

1 (??, ] 3 1 (? , ??) 2 [?1, 1]
1 1 (? , ] 2 3

问题
如果A表示我们班级全体同学的集合,B表 示我们班级全体男同学的集合,那么,这两个 集合之间存在什么关系呢? 考虑到男同学肯定是我们班级的同学,此时 称集合 A 包含集合 B .

两个集合之间的这种关系叫做包含关系.

如果集合B的元素都是集合A的元素,那么集合A包含 集合B,并把集合B叫做集合A的子集,记作A ? B 或 B ? A (读作“A包含B”或“B包含于A”).

用图形可以形象地表示出集合A包含集合B的关系(如图).

B

A

集合A不包含集合B,记作 A ? B 或 B ? A. (读作“A不包含B”或“B不包含于A”). 任何一个集合A都是它自身的子集.即A ? A.

我们规定,空集? 是任何集合的子集,即 ? ? A.

填空. 例8 用符号 “ ? ”、“ ? ”、“刭”、“ ”“?”、“?”

? ?a, b?; (2)? ? ?1,3,5,7?; (4) 0 ? R; ( 3) N ? Q; [0, 7). (6)(3, 5) ? (5)d ? ?a, b, c, d?;
(1)?a, b, c, d ?

如果集合 B 的元素都是集合 A 的元素, 那么集合 A 包含集合 B,并把集合 B 叫做集 合 A 的子集,记作 A ? B 或 B ? A(读作“A 包含 B”或“B 包含于 A” ).

注意

空集是任何非空集合的真子集.

例9 设集合M ? ?0,1, 2?, 试写出 M 的所有子集并指 出M 的真子集. 解

?0,1?, ?0, 2?, ?1, 2?, ?0,1, 2?,共8个集合. 根据真子集定义,除了集合 ?0, 1, 2? 外,
其余集合都是集合 M 的真子集.

?0?, ?1?, ?2?, M 的所有子集为 ? ,

那么称 两个集合A、B,如果A ? B, 同时B ? A, 集合A与集合B相等,记作A=B .
集合A与集合B 相等时这两个集合 的元素完全相同.

注意

2 { x | x ? 2} 与集合{x | x ? 4 ? 0} 的关系. 例10 判断集合

x ? ?2 或 解:由于当 x ? 2 时,
的解为 x ? ?2 或 x

x ? 2, 且方程 x ? 4 ? 0

2

所以,两个集合相等.即 ? 2,

{x | x ? 2} ? {x | x2 ? 4 ? 0}.

注意
集合 {x | x2 ? 4 ? 0}表示方程 x 2 ? 4 ? 0的解集, 可以写作{x | x ? 2}, 还可以写作{?2, 2}. 本教材中, 这类集合要求用列举法表示.

例11

(?, ?, 茌, 选用适当的符号

,) = 填入空格.

⑴ {1,3,5} ⑵ {x | x2 ? 9} ⑷ 2

?

{1,2,3,4,5,6}; {3,-3};⑶ {2} ⑸ a

=

=


{ x| |x|=2 }; { a };



{2};

⑹ {0}

? ?; ⑻ {2,4} ? [2,4].

2 ? { ? 1,1} { x | x ? 1 ? 0}; ⑺

”,“ ”,“=” 1.用符号“茌 填空:

? N ____ N; ⑴
*

⑵ ?2, 6, 8? ____ = ?8, 6, 2?;



?

? x x 2 ? 2 ? 0 _____

?

? 2? .

2.设集合 A ? ?a, b?, 试写出A的所有子集,并指出 A的真子集.

解:所有子集: ?a, b?; ?a?, ?b?, ?, ?a?, ?b?. 真子集: ?,

1.本节内容
区间的概念 子集 包含关系 集合与集合的关系 相等关系 真子集

2.需要注意的问题
(1)不同区间的端点的表示方法; (2)集合与集合的关系表示的符号.

课后练习:习题1.1 A组:2. 作业:达标训练题1.1 A组:3、4.

选作:习题1.1 B组:2.


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