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【世纪金榜】2016秋人教版高一数学必修1课件:1.2.2+函数的表示法+第1课时+函数的表示法+探究导学课型_图文

1.2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法

【自主预习】 主题1:函数的表示法——解析法 某种茶杯的单价为10元,购买的个数为x,所花费用为

y,则购买茶杯的个数x与所花费用y之间存在怎样的函
数关系?y与x的关系能否用一个式子表示?

用文字语言描述:所花费用y等于单价10乘以购买个数x. ?

用符号语言描述:_____________. y=10x,x∈N. ?
解析法的定义:___________________________________ ___________. 用数学表达式表示两个变量之间的对应

关系的方法

主题2:函数的表示法——列表法与图象法 1.如图是某省本科一批(理科)分数线变化曲线,根据

图象回答下面的问题:

(1)图中的图象能表示两个变量之间存在函数关系吗? 如果能,自变量是什么? 提示:能,表示一批分数线是年份的函数,其中年份 为自变量. (2)图中的函数关系能用解析式表示吗? 提示:不能,因为自变量年份与本科一批分数线的对 应关系比较复杂.

2.下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表

与污染源距离 氰化物浓度

50 0.678

100 0.398

200 0.121

300 0.05

500 0.01

请根据表格回答下面的问题. (1)表格中两变量存在函数关系吗?

提示:存在,它表示浓度是距离的函数.
(2)自变量的取值集合是什么?函数的值域是什么? 提示:自变量的取值集合为{50,100,200,300, 500}.值域为{0.678,0.398,0.121,0.05,0.01}.

通过以上两个实例试着概括你对图象法、列表法的认识. 图象法:________________________________________ 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法. 列表法:_________________________________________ 列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方 ____ 法.

【深度思考】 结合教材P19例3你认为三种表示方法各有怎样的适用

范围?
列表法:____________________________ 适用于定义域为有限集的情况. 图象法:____________________________________ 适用于任何函数,但复杂函数不易画图. 解析法:____________________________________

适用于对应关系有明显数量关系的情况.

【预习小测】 1.已知f(x)=2x+3,则f(a)= ( )

A.2a+5

B.2a+3

C.2a+1

D.2a-1

【解析】选B.因为f(x)=2x+3,所以f(a)=2a+3.

2.若 f( 1 ) ? x ? 1 ,则f(2)= ( ) x A.2 B.1 C.3 D.3 2 2 【解析】选D.令t= ,则x= , 1 1 所以f(t)= +1,即x f(x)= +1 t ,所以f(2)= +1= . 1 1 3 1 2 t 2 x

3.已知反比例函数f(x)满足f(3)=-6,f(x)的解析式
为 .

【解析】设反比例函数f(x)= (k≠0), k 则f(3)= =-6,解得k=-18,所以 x f(x)=- . k 18 答案:f(x)=3 x 18 x

4.已知函数f(x)由下表给出,求f(3).(仿照教材P19例 3的解析过程)

x f(x)

1≤x<2 1

2 2

2<x≤4 3

【解析】由表格知,当2<x≤4时,f(x)=3,故f(3)=3.

【备选训练】1.已知函数f(x)由下表给出,则f(2)= ( )

x A.1

1

2 C.3

3

4

f(x) B.2

2

3

4

1 D.4

【解析】选C.根据函数的表格表示法可知f(2)=3.

2.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,则f(f(3))= .

【解析】由题意知f(3)=1,f(1)=2,故f(f(3))=f(1)=2. 答案:2

【互动探究】

1.若已知函数的类型,求函数的解析式通常用什么方法? 提示:若已知函数的类型,常用待定系数法求解. 2.根据函数的图象,是否可以精确求出每一自变量对应

的函数值?
提示:不能,只能近似求出函数值且有时误差较大.

3.根据表格能否得出定义域中每一自变量对应的函数 值?

提示:不能,列表法仅能表示自变量取有限个值的对
应关系.

【探究总结】 知识归纳:

方法总结:求函数解析式的方法 (1)待定系数法:函数类型已知时设出函数一般形式,

然后利用条件求待定系数.
(2)换元法:将含变量的代数式用新变量表示,进而求 得解析式.

注意事项:(1)换元法求函数的解析式时,要注意换元 后自变量的取值范围.

(2)用待定系数法求解析式是针对已知函数类型的问题 .

【题型探究】 类型一:函数解析式的求法

【典例1】(2016·杭州高一检测)若二次函数f(x)=x2+bx
+c满足f(2)=f(-2),且方程f(x)=0的一个根为1.求函数

f(x)的解析式.
【解题指南】由f(2)=f(-2)及x2+bx+c=0的一根为1建立

关于b,c的关系式求解.

【解析】由f(2)=f(-2)得: 22+2b+c=(-2)2-2b+c,即b=0.………………………①

由x2+bx+c=0的一个根为1,
则b+c+1=0.…………………………………………② 由①②得b=0,c=-1.所以f(x)=x2-1.

【延伸探究】 1.(变换条件)若将条件“f(2)=f(-2)”改为f(0)=2,

求f(x)的解析式.
【解析】由f(0)=2,所以c=2. 又x2+bx+c=0的一个根为1,故b+c+1=0, 所以b=-3.故f(x)=x2-3x+2.

2.(改变问法)本例条件不变,求f(x+1)的解析式. 【解析】由f(2)=f(-2)及x2+bx+c=0的一个根为1得:
2 2 ? ?2 ? 2b ? c ? ? ?2 ? ? 2b ? c, ?b ? 0, 得? ? 2-1,故f(x+1)=(x+1) 2-1=x2+2x. c ? ? 1. 所以 f(x)=x 1 ? b ? c ? 0, ? ? ?

【规律总结】待定系数法及换元法的适用条件及步骤 (1)待定系数法 适用条件:函数的类型已知. 一般步骤: ①设出解析式; ②依据条件列出方程(组); ③解方程(组)写出解析式.

(2)换元法 适用类型:已知f(g(x)),求f(x)的解析式.

一般步骤:
①换元:令t=g(x),并写出t的范围; ②求解:用t表示x; ③代入:将用t表示的x代入原式,写出解析式.

【巩固训练】(2016·成都高一检测)若函数 f(x)满足 f(3x+2)=9x+8,则f(x)的解析式是 ( )

A.f(x)=9x+8
B.f(x)=3x+2 C.f(x)=-3x-4 D.f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4

【解析】选B.设t=3x+2,所以x= t ? 2 ,所以函数式转 3 化为f(t)=3(t-2)+8=3t+2,所以函数式为f(x)=3x+2.

类型二:函数的图象及简单应用 【典例2】(2016·广州高一检测)已知二次函数

f(x)=ax2+bx+3(a≠0)满足f(3)=f(-1)=0,
(1)求f(x)的解析式. (2)画出f(x)的图象. (3)写出其值域.

【解题指南】先由f(3)=f(-1)=0建立方程组求a,b,

再利用描点法画f(x)的图象,由图得f(x)的值域.

【解析】(1)由f(3)=f(-1)=0得:?9a ? 3b ? 3 ? 0, ? ?a ? b ? 3 ? 0, ?3a ? b ? ?1, ?a ? ?1, 即? 解得: ? a?b ? ?3, ? 2, 2+2x+3. ?f(x) ?bf(x)=-x 所以 的解析式为

(2)列表如下: x y -1 0 0 3 1 4 2 3 3 0

描点,连线得f(x)的图象如图所示:

(3)由图可知:其值域为(-∞,4].

【规律总结】 1.作函数图象的三个步骤

2.图象平移变换的一般方法

(1)左右平移:y=f(x)的图象
y=f(x+h)的图象.

(2)上下平移:y=f(x)的图象
y=f(x)+k的图象.

【巩固训练】1.如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其 中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),

则f(f(3))的值等于

.

【解析】由图知f(3)=1,f(1)=2,故f(f(3))=f(1)=2.

答案:2

2.(2016·潍坊高一检测)函数y= 图象中的 ( )

?1 的图象是下列 ?1 x ?1

【解析】选A.由解析式可知函数图象是由y=- 1 的图象 x 向右平移1个单位长度(纵坐标不变),然后向上平移1 个单位长度(横坐标不变)得到的.

类型三:列表法及简单应用
【典例3】已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出 x f(x) x 1 2 1 2 1 2 3 3 3 1.

则f(g(1))=

g(x) ,g(f(2))= 3 2

【解题探究】求f(g(1))的顺序是什么? 提示:求f(g(1))时遵循先里后外的原则,即先求g(1),

再求f(g(1)).
【解析】由表可知g(1)=3,所以f(g(1))=f(3)=3; f(2)=1,g(f(2))=g(1)=3. 答案:3 3

【规律总结】列表法表示函数的适用范围及生活中的 实例 (1)适用范围:列表法主要适用于自变量个数较少,并 且自变量的取值为孤立的实数.同时当变量间的关系无 规律时,也常采用列表法表示两变量之间的关系. (2)生活中的实例:生活中经常见到的银行利率表、列 车时间表、国民生产总值表等都是采用列表法.

【巩固训练】1.(2016·广州高一检测)已知函数f(x)由

下表给出,则f(f(3))=

.

x

-1

1

3

f(x)

1

0

-1

【解析】由表格可知f(3)=-1,f(-1)=1, 所以f(f(3))=f(-1)=1. 答案:1

2.已知函数f(x),g(x)的对应关系如下表所示,则

f(g(1))+g(f(1))=

.

x f(x) g(x)

1 2 3

2 3 1

3 1 2

【解析】g(1)=3,所以f(g(1))=f(3)=1, f(1)=2,所以g(f(1))=g(2)=1. 所以f(g(1))+g(f(1))=1+1=2.

答案:2


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