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备战2020年高考文数一轮复习课时跟踪检测(二十四) 三角函数图象与性质的综合问题

课时跟踪检测(二十四) 三角函数图象与性质的综合问题

1.(2018·漯河高级中学二模)已知函数 y=sin??π3x+π6??在[0,t]上至少取得 2 次最大值,则正整数 t 的最小值为

() A.6 C.8

B.7 D.9

解析:选 B 函数 y=sin??π3x+π6??的周期 T=6,当 x=0 时,y=12,当 x=1 时,y=1,所以函数 y=sin( π3x+

π 6

)在[0,t]上至少取得

2

次最大值,有

t-1≥T,即

t≥7,所以正整数

t

的最小值为

7.故选

B.

2.(2019·合肥高三调研)已知函数 f(x)=sin??ωx+π6??的图象向右平移π3个单位长度后,所得的图象关于 y 轴对称,

则 ω 的最小正值为( ) A.1 C.3

B.2 D.4

解析:选 B 将函数 f(x)=sin??ωx+π6??的图象向右平移π3个单位长度后得到函数 g(x)=sin??ωx-ω3π+π6??的图象,

因为函数 g(x)的图象关于 y 轴对称,所以-ω3π+π6=kπ+π2(k∈Z),即 ω=-3k-1.易知当 k=-1 时,ω 取最

小正值 2,故选 B.

3.(2018·东北五校协作体模考)已知函数 f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,A(a,0),B(b,0)是其图象上

两点,若|a-b|的最小值是 1,则 f??16??=( )

A.2

B.-2

3 C. 2

D.-

3 2

解析:选 B 因为函数 f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,所以 cos φ=0(0<φ<π),所以 φ=π2,所以 f(x)

=-4sin ωx,又 A(a,0),B(b,0)是其图象上两点,且|a-b|的最小值是 1,所以函数 f(x)的最小正周期为 2,所

以 ω=π,所以 f(x)=-4sin πx,所以 f??16??=-4sin π6=-2,故选 B.

4.(2019·武昌调研)已知函数 f(x)=2sin??ωx+π6??-1(ω>0)的图象向右平移23π个单位后与原图象重合,则 ω 的最

小值是( )

A.3

B.32

4

2

C.3

D.3

解析:选 A 将 f(x)的图象向右平移23π个单位后所得到的图象对应的函数解析式为 y=2sin??ω??x-23π??+π6??-1

=2sin??ωx-2ω3 π+π6??-1,由题意知2ω3 π=2kπ,k∈Z,所以 ω=3k,k∈Z,因为 ω>0,所以 ω 的最小值为 3,

1

故选 A.

5.(2019·衡水中学月考)将函数 f(x)=sin 2x 图象上的所有点向右平移π4个单位长度后得到函数 g(x)的图象.若

g(x)在区间[0,a]上单调递增,则 a 的最大值为( )

π

π

A.8

B.4

π

π

C.6

D.2

解析:选 D f(x)的图象向右平移π4个单位长度得到 g(x)=sin[ 2??x-π4?? ]=-cos 2x 的图象.根据余弦函数的

图象可知,当 0≤2x≤π,即 0≤x≤π2时,g(x)单调递增,故 a 的最大值为π2.

6.(2019·郴州一中月考)已知函数 f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,0<φ<π)的图象经过点??-1π2,0??和??1π2,32??,当 x∈

??0,π2??时,方程 f(x)=2a- 3有两个不等的实根,则实数 a 的取值范围是( )

A.[ 3,2]

B.??12, 3??

C.[1,2]

D.??34 3, 3??

解析:选 D ∵点??-1π2,0??在函数图象上,∴Asin[ 2×??-1π2??+φ ]=0.∵0<φ<π,∴φ=π6.又点??1π2,32??在函

数图象上,∴Asin??2×1π2+π6??=32,∴A= 3,∴f(x)= 3sin??2x+π6??.∵x∈??0,π2??,∴2x+π6∈??π6,76π??,当方

程 f(x)=2a-

3有两个不等的实根时,函数 y=f(x)的图象与直线 y=2a-

3有两个不同的交点,由图象可知

3 2

≤2a- 3< 3,∴3 4 3≤a< 3.故选 D.

7.(2018·湖北部分重点中学第一次联考)已知函数 f(x)=x+1 a,若存在 φ∈??π4,π2??,使 f(sin φ)+f(cos φ)=0,

则实数 a 的取值范围是( )

A.??12,

2? 2?

B.??- 22,-12??

C.??0,12??

D.??-21,0??

解析:选 B

由题意, sin

φ1+a+cos

1φ+a=0

有解,∴sin

φ+a+cos

φ+a=0,∴-2a=sin

φ+cos

φ=

2

sin??φ+π4??.∵φ∈??π4,π2??,∴φ+π4∈??π2,34π??,∴sin( φ+π4 )∈?? 22,1??,∴ 2sin??φ+π4??∈(1, 2),∴-2a∈

(1, 2),∴a∈??- 22,-12??.当- 22<a<-12时,∵sin φ> 22,∴sin φ+a≠0.又∵(sin φ+a)+(cos φ+a)=0,

∴cos φ+a≠0.故当 a∈??- 22,-21??时,方程sin φ1+a+cos 1φ+a=0 有解.故选 B.

2

8.(2018·广雅中学、东华中学、河南名校第一次联考)已知函数 f(x)=(1-2cos2x)sin??32π+θ??-2sin xcos xcos( π2-θ )??|θ|≤π2??在??-38π,-π6??上单调递增.若 f??π8??≤m 恒成立,则实数 m 的取值范围为( )

A.?? 23,+∞??

B.??12,+∞ ??

C.[1,+∞)

D.?? 22,+∞??

解析:选 C ∵f(x)=(1-2cos2x)sin??32π+θ??-2sin x·cos xcos??π2-θ??=-cos 2x(-cos θ)-sin 2xsin θ=cos(2x+

??? θ),当 x∈??-38π,-π6??时,-34π+θ≤2x+θ≤-π3+θ,∴由函数递增知

-π≤-34π+θ, -π3+θ≤0,

解得-π4≤θ≤π3.

∵f??π8??=cos??π4+θ??,0≤π4+θ≤71π2,∴f??π8??≤1.∵f??π8??≤m 恒成立,∴m≥1.故选 C. 9.(2018·江西师大附属中学月考)已知函数 f(x)=sin??ωx+π6??,其中 ω>0.若|f(x)|≤f??1π2??对 x∈R 恒成立,则 ω
的最小值为________. 解析:由题意得1π2ω+π6=2kπ+π2(k∈Z),即 ω=24k+4(k∈Z),由 ω>0 知,当 k=0 时,ω 取到最小值 4. 答案:4

10.(2018·新余一中模拟)已知函数 f(x)=2sin??ωx+π4??(ω>0)的图象在区间[0,1]上恰有 3 个最高点,则 ω 的取

值范围为________.

解析:由 0≤x≤1 得π4≤ωx+π4≤ω+π4,若函数 f(x)=2sin??ωx+π4??(ω>0)的图象在区间[0,1]上恰有 3 个最高点,

根据正弦函数图象可知,应满足 4π+π2≤ω+π4<6π+π2,解得174π≤ω<254π.

答案:??174π,254π??

11.(2018·山东、湖北部分重点中学联考)已知函数 f(x)=cos2??ωx-π6??+ 3sin??ωx-π6??cos??ωx-π6??-12(ω>0)的

最小正周期为 π.

(1)求 ω 的值.

(2)将函数 y=f(x)的图象向左平移π6个单位长度,再将所得图象上的各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标

不变,得到函数 g(x)的图象.求函数 g(x)在[-π,π]上的单调递减区间和零点.

解 : (1)f(x) = cos2 ??ωx-π6?? +

3 sin ??ωx-π6?? cos (

ωx



π 6

)



1 2



1 2

[

cos ??2ωx-π3?? +

3 sin (

2ωx



π 3

)

]=

sin??2ωx-π6??,由 T=22ωπ=π 得 ω=1.

3

(2)∵f(x)=sin??2x-π6??,∴g(x)=sin??x+π6??,
g(x)在[-π,π]上的单调递减区间为( -π,-23π ),??π3,π??,零点为 x0=kπ-π6(k∈Z).

又∵x0∈[-π,π],∴g(x)在[-π,π]上的零点是-π6,56π. 12.(2018·阳江调研)已知 a,b∈R,a≠0,函数 f(x)=- 2(sin x+cos x)+b,g(x)=asin xcos x+a2+1a+2.

(1)若 x∈(0,π),f(x)=-2 5 5+b,求 sin x-cos x 的值; (2)若不等式 f(x)≤g(x)对任意的 x∈R 恒成立,求 b 的取值范围.

解:(1)依题意得 sin x+cos x= 510,∴sin2x+cos2x+2sin xcos x=25,即 2sin xcos x=-35,∴1-2sin xcos x
=85,即 sin2x+cos2x-2sin xcos x=(sin x-cos x)2=85,由 2sin xcos x=-35<0,x∈(0,π),得 x∈??π2,π??,∴

sin

x>0,cos

x<0,∴sin

x-cos

x>0,∴sin

x-cos

x=2

10 5.

(2)不等式 f(x)≤g(x)对任意的 x∈R 恒成立,即不等式 b≤asin x·cos x+ 2(sin x+cos x)+a2+1a+2 对任意的 x

∈R 恒成立,

即 b≤??asin xcos x+ 2?sin x+cos x?+2a+1a+2??min.

设 y=asin xcos x+ 2(sin x+cos x)+a2+1a+2,

令 t=sin x+cos x,则 t= 2sin??x+π4??∈[- 2, 2],
且 sin xcos x=t2-2 1.
令 m(t)=a?t22-1?+ 2t+a2+1a+2=a2t2+ 2t+1a+2=a2??t2+2 a 2t??+1a+2=a2??t+ a2??2+2.

1°当- a2<- 2,即 0<a<1 时,m(t)在区间[- 2, 2]上单调递增,∴m(t)min=m(- 2)=a+1a.

2°当- 2≤- a2<0,即 a≥1 时,m(t)min=m??- a2??=2.

3°当 0<- a2≤ 2,即 a≤-1 时,m(t)min=m(- 2)=a+1a.

4°当-

2 a>

2,即-1<a<0 时,m(t)min=m(-

2)=a+1a.∴ymin=?????2a, +1aa≥ ,1a, <1且a≠0,

∴当 a≥1 时,b≤2;当 a<0 或 0<a<1 时,b≤a+1a.

4


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