简单线性规划问题(公开课)

y

o

x

复习回顾（一）

1.画二元一次不等式表示的平面区域， 常采用“直线定界，特殊点定域”的方 法，当边界不过原点时，常把原点作为 特殊点.
2. 包括边界的区域将边界画成实线，不 包括边界的区域将边界画成虚线. 3. 不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区 域位置与A、B的符号有关（同为正，异 为负），相关理论不要求掌握.

二元一次不等式表示的区域及判定方法：
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角 直线Ax+By+C=0某一侧 坐标系中表示 ______________________ 所有点组成的平面区域。 ___________________

确定区域步骤： 直线定界 特殊点定域(或A>0,左负,右正) ________、______________________
直线定界 、_________. 原点定域 若C≠0，则 _________

理论迁移（一）

例1: 画出下列不等式表示的平面区域. （1）x＋4y＜4； (2) 4x－3y≤12.
y

1
4 O

4x－3y≤12
x O

y x 3

x＋4 y＜4

－4

复习回顾（二）

1.不等式组表示的平面区域是各个不等 式所表示的平面区域的交集，即各个不 等式所表示的平面区域的公共部分.
2.不等式组表示的平面区域可能是一个 多边形，也可能是一个无界区域，还可 能由几个子区域合成.若不等式组的解 集为空集，则它不表示任何区域.

理论迁移（二）

例2.请画出下 列不等式组表 示的平面区域. ? 4 x ? y ? 10 ?6 x ? 5 y ? 22 ? ? x ? 0 ? ? y?0 ?

y

x O 4x＋y＝10 6x＋5y＝22

例3. 如何画出如右不等 式组表示的平面区域？
y

2x＋y＝15

? 2x ? y ? 15 ? x +2y ? 18 ? ? ? x +3y ? 27 ? ? x ? 0, y ? 0

x＋3y＝27

O

x＋2y＝18

x

复习回顾（三）

一、基本概念
一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件。 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关 于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题， 统称为线性规划问题。 满足线性约束的解（x，y）叫做可行解。 由所有可行解组成的集 合叫做可行域。 可行域 使目标函数取得 最大值或最小值的可行解 叫做这个问题的最优解。 y

最优解
x

o

C

目标函数所 表示的几何 线性目 意义——在 标函数 y轴上的截 距或其相反 数。

线性约 束条件

? x ? 4 y ? ?3 ? 设z=2x+y,求满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 最优解 ? 任何一个满足
时,求z的最大值和最小值. 线性规 划问题
所有的

不等式组的 （x,y） 可行解

可行域

解线性规划问题的步骤：
1.找: 找出线性约束条件、目标函数； 2.画：画出线性约束条件所表示的可行域； 3.移：在线性目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线； 4.求：通过解方程组求出最优解； 5.答：作出答案。
13

理论迁移（三） 例4.设z=2x－y，变量x、y满足下列条件
X-4y ≤ -3 3X+5y≤25
X ≥ 1 y
5

，求z的最大值和最小值.
x=1

4
3 2 1

x-4y+3=0

3x+5y-25=0
1

0

2

3

4

5

6

7

X

例4. 设z=2x－y，变量x、y满足下列条件
X-4y ≤ -3 3X+5y ≤25 X ≥ 1 y 5 x=1 A B C 1 2x-y=0

，求z的最大值和最小值.

4
3 2 1 0

代入点B得最大为8， 代入点A得 12 最小值为 . 5
x-4y+3=0 A（1，4.4） 3x+5y-25=0 B（5，,2）

2

3

4

5

6

7

X

C（1,1）

? x ? 4 y ? ?3 例5. 已知 ? ? 3 x ? 5 y ? 25 ，z=2x+y，求z的最大值和最小值。 ?x ? 1 ? y x=1 解：不等式组表示的平
面区域如图所示： A(5,2), B(1,1), 22 C (1, )。 5 作斜率为-2的直线 ?

6
5 ? C 4 3 2 B 1 ? ? A

x-4y+3=0

l： 2x ? y ? 0，
平移，使之与平面区域有公共点， 由图可知,当 z的值最大， 所以，

l 过B(1,1)时，
l
过A(5,2)时，

3x+5y-25=0
1 2 3 4 5 6 7 x

ｚ的值最小，当

-1 O -1

zmin ? 2 ?1 ? 1 ? 3 zmax ? 2 ? 5 ? 2 ? 12

l

l1

l2

l3

变题：上例若改为求z=x-2y的最大值、最小值呢？
分析：令目标函数z为0， 作直线
y x=1
6

x ? 2y ? 0

平移，使之与可行域有交点。 5? 22 最大截距为过C (1, ) C? 5 4 的直线 l1 最小截距为过A(5,2)
3

的直线 l 2

l1

2 1 B 1 ? 2

?

A

x-4y+3=0

注意：此题y的系数为 负，当直线取最大截 距时，代入点C，则z 有最小值

3x+5y-25=0

-1 O

3

4

5

6

7

x

z min

22 39 ? 1? 2? ?? 5 5

l0 l 2

-1

同理，当直线取最小截距时，代入点A，则z有最大值

zmax ? 5 ? 2 ? 2 ? 1

例6、求z＝3x＋5y的最大值，使x、y满足约束条件：
?5 x＋3 y ? 1 5 ? 1 ? y ? x＋ 作出直线3x＋5y ＝z 的图 ? x－5 y ? 3 像，可知直线经过A点时， ?
y A o C x

Z取最大值；直线经过B点 时，Z取最小值。 求得A（1.5，2.5），B （－2，－1），Zmax=17， Zmin=－11。

B

思考:(1)若求z＝5x＋3y的最大值？

(2)若求z＝5x-3y的最大值？

例7
1、已知x、y满足的条件，求x、y满足的区域： 并求z＝2x＋y的最大值， 解析： ?y ? x ? ? x＋y ? 1 Z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z， ? y ?－ 它表示斜率为－2，在y轴上的截距 1 ?
为z的一组直线系。
y 由图可以看出，当直线经过可行域上 的点C时，截距z最大。 x o C

可知z要求最大值，即直线经过C点时。

求得C点坐标为（2，－1）， 则Zmax=2x＋y＝3

归纳小结

1.在线性约束条件下求目标函数的最大 值或最小值，是一种数形结合的数学思 想，它将目标函数的最值问题转化为动 直线在y轴上的截距的最值问题来解决.
2. 对于直线 l ： z ＝ Ax ＋ By ，若 B ＞ 0 ，则 当直线l在y轴上的截距最大(小)时，z取 最大 ( 小 ) 值；若 B ＜ 0 ，则当直线 l 在 y 轴 上的截距最大(小)时，z取最小(大)值.