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简单线性规划问题(公开课)


y

o

x

复习回顾(一)

1.画二元一次不等式表示的平面区域, 常采用“直线定界,特殊点定域”的方 法,当边界不过原点时,常把原点作为 特殊点.
2. 包括边界的区域将边界画成实线,不 包括边界的区域将边界画成虚线. 3. 不等式Ax+By+C>0表示的平面区 域位置与A、B的符号有关(同为正,异 为负),相关理论不要求掌握.

二元一次不等式表示的区域及判定方法:
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角 直线Ax+By+C=0某一侧 坐标系中表示 ______________________ 所有点组成的平面区域。 ___________________

确定区域步骤: 直线定界 特殊点定域(或A>0,左负,右正) ________、______________________
直线定界 、_________. 原点定域 若C≠0,则 _________

理论迁移(一)

例1: 画出下列不等式表示的平面区域. (1)x+4y<4; (2) 4x-3y≤12.
y

1
4 O

4x-3y≤12
x O

y x 3

x+4 y<4

-4

复习回顾(二)

1.不等式组表示的平面区域是各个不等 式所表示的平面区域的交集,即各个不 等式所表示的平面区域的公共部分.
2.不等式组表示的平面区域可能是一个 多边形,也可能是一个无界区域,还可 能由几个子区域合成.若不等式组的解 集为空集,则它不表示任何区域.

理论迁移(二)

例2.请画出下 列不等式组表 示的平面区域. ? 4 x ? y ? 10 ?6 x ? 5 y ? 22 ? ? x ? 0 ? ? y?0 ?

y

x O 4x+y=10 6x+5y=22

例3. 如何画出如右不等 式组表示的平面区域?
y

2x+y=15

? 2x ? y ? 15 ? x +2y ? 18 ? ? ? x +3y ? 27 ? ? x ? 0, y ? 0

x+3y=27

O

x+2y=18

x

复习回顾(三)

一、基本概念
一组关于变量x、y的一次不等式,称为线性约束条件。 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数,因为它是关 于变量x、y的一次解析式,又称线性目标函数。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题, 统称为线性规划问题。 满足线性约束的解(x,y)叫做可行解。 由所有可行解组成的集 合叫做可行域。 可行域 使目标函数取得 最大值或最小值的可行解 叫做这个问题的最优解。 y

最优解
x

o

C

目标函数所 表示的几何 线性目 意义——在 标函数 y轴上的截 距或其相反 数。

线性约 束条件

? x ? 4 y ? ?3 ? 设z=2x+y,求满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 最优解 ? 任何一个满足
时,求z的最大值和最小值. 线性规 划问题
所有的

不等式组的 (x,y) 可行解

可行域

解线性规划问题的步骤:
1.找: 找出线性约束条件、目标函数; 2.画:画出线性约束条件所表示的可行域; 3.移:在线性目标函数所表示的一组平行线 中,利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线; 4.求:通过解方程组求出最优解; 5.答:作出答案。
13

理论迁移(三) 例4.设z=2x-y,变量x、y满足下列条件
X-4y ≤ -3 3X+5y≤25
X ≥ 1 y
5

,求z的最大值和最小值.
x=1

4
3 2 1

x-4y+3=0

3x+5y-25=0
1

0

2

3

4

5

6

7

X

例4. 设z=2x-y,变量x、y满足下列条件
X-4y ≤ -3 3X+5y ≤25 X ≥ 1 y 5 x=1 A B C 1 2x-y=0

,求z的最大值和最小值.

4
3 2 1 0

代入点B得最大为8, 代入点A得 12 最小值为 . 5
x-4y+3=0 A(1,4.4) 3x+5y-25=0 B(5,,2)

2

3

4

5

6

7

X

C(1,1)

? x ? 4 y ? ?3 例5. 已知 ? ? 3 x ? 5 y ? 25 ,z=2x+y,求z的最大值和最小值。 ?x ? 1 ? y x=1 解:不等式组表示的平
面区域如图所示: A(5,2), B(1,1), 22 C (1, )。 5 作斜率为-2的直线 ?

6
5 ? C 4 3 2 B 1 ? ? A

x-4y+3=0

l: 2x ? y ? 0,
平移,使之与平面区域有公共点, 由图可知,当 z的值最大, 所以,

l 过B(1,1)时,
l
过A(5,2)时,

3x+5y-25=0
1 2 3 4 5 6 7 x

z的值最小,当

-1 O -1

zmin ? 2 ?1 ? 1 ? 3 zmax ? 2 ? 5 ? 2 ? 12

l

l1

l2

l3

变题:上例若改为求z=x-2y的最大值、最小值呢?
分析:令目标函数z为0, 作直线
y x=1
6

x ? 2y ? 0

平移,使之与可行域有交点。 5? 22 最大截距为过C (1, ) C? 5 4 的直线 l1 最小截距为过A(5,2)
3

的直线 l 2

l1

2 1 B 1 ? 2

?

A

x-4y+3=0

注意:此题y的系数为 负,当直线取最大截 距时,代入点C,则z 有最小值

3x+5y-25=0

-1 O

3

4

5

6

7

x

z min

22 39 ? 1? 2? ?? 5 5

l0 l 2

-1

同理,当直线取最小截距时,代入点A,则z有最大值

zmax ? 5 ? 2 ? 2 ? 1

例6、求z=3x+5y的最大值,使x、y满足约束条件:
?5 x+3 y ? 1 5 ? 1 ? y ? x+ 作出直线3x+5y =z 的图 ? x-5 y ? 3 像,可知直线经过A点时, ?
y A o C x

Z取最大值;直线经过B点 时,Z取最小值。 求得A(1.5,2.5),B (-2,-1),Zmax=17, Zmin=-11。

B

思考:(1)若求z=5x+3y的最大值?

(2)若求z=5x-3y的最大值?

例7
1、已知x、y满足的条件,求x、y满足的区域: 并求z=2x+y的最大值, 解析: ?y ? x ? ? x+y ? 1 Z=2x+y变形为y=-2x+z, ? y ?- 它表示斜率为-2,在y轴上的截距 1 ?
为z的一组直线系。
y 由图可以看出,当直线经过可行域上 的点C时,截距z最大。 x o C

可知z要求最大值,即直线经过C点时。

求得C点坐标为(2,-1), 则Zmax=2x+y=3

归纳小结

1.在线性约束条件下求目标函数的最大 值或最小值,是一种数形结合的数学思 想,它将目标函数的最值问题转化为动 直线在y轴上的截距的最值问题来解决.
2. 对于直线 l : z = Ax + By ,若 B > 0 ,则 当直线l在y轴上的截距最大(小)时,z取 最大 ( 小 ) 值;若 B < 0 ,则当直线 l 在 y 轴 上的截距最大(小)时,z取最小(大)值.


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