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2015-2016学年高中数学 2.4.2等比数列的性质课件 新人教A版必修5


2.4.2 等比数列的性质 栏 目 链 接 1.掌握等比数列的定义和通项公式. 2.探索发现等比数列的性质,并能应用性质灵活地解 决一些实际问题. 栏 目 链 接 题型1 等比数列的性质 例1 已知等比数列{an},若 a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求 an. 2 解析:方法一 ∵a1a3=a2 , 3 ∴a1a2a3=a2 =8,∴a2=2, ? ?a1+a3=5, 从而? ? ?a1a3=4, 栏 目 链 接 解得 a1=1,a3=4 或 a1=4,a3=1. 当 a1=1 时,q=2; 1 当 a1=4 时,q= . 2 故 an=2n-1 或 an=23-n,n∈N*. 方法二 由等比数列的定义知 a2=a1q, a3=a1q2,代入已知得 2 ? a + a q + a q ? 1 1 1 =7, ? 2 ? ?a1·a1q·a1q =8, 2 ? ?a1(1+q+q )=7, ?? 3 3 ? ?a1q =8, 3 ? ?a1(1+q+q )=7, ?? ? ?a1q=2. 栏 目 链 接 ① ② 2 将 a1= 代入①得 2q2-5q+2=0, q 1 ∴q=2 或 q= . 2 当 q=2 时,由②得 a1=1,∴an=2n-1; 1 当 q= 时,由②得 a1=4,∴an=23-n. 2 故 an=2n-1 或 an=23-n,n∈N*. 点评: 在解有关等比数列的问题时, 要注意利用等比数列的性质, 可以使问题变得简单、明了. 栏 目 链 接 1.已知等比数列{an}. 1 (1)若 a2=4,a5=- ,求通项公式; 2 (2)若 a3a4a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值. 解析:∵a5=a2q3, 1 - 2 a 1 5 3 ∴q = = =- . a2 4 8 n-4 1 a2 n-1 ? 1? ∴q=- ,∴a1= =-8,∴an=a1q =?-2? (n∈N*). q 2 ? ? (2)由 a3a4a5=8 得 a3 4=8,∴a4=2, ∴a2a3a4a5a6=a5 4=32. 栏 目 链 接 题型2 求成等比数列或等差数列的部分项 例 2 已知 a,b,c,x,y,z 都是不等于 1 的正数,且 ax=by 1 1 1 =cz,如果 , , 成等差数列,求证:a,b,c 成等比数列. x y z ?b?x 证明:证法一 ∵a =b ,∴?a? =bx-y. ? ? x y 栏 目 链 接 b x-y y 1 1 ∴ =b x =b1- =(by) - . a x y x c 1 1 同理∵by=cz,∴ =(by) - . b z y 1 1 1 1 1 1 1 b c ∵ , , 成等差数列,∴ - = - ,∴ = . x y z y x z y a b ∴a,b,c 成等比数列. 证法二 令 ax=by=cz=t, lg ax=lg by=lg cz=lg t, ∴t≠1,∴lg t≠0. ∴x=logat,y=logbt,z=logct. 1 lg a 1 lg b 1 lg c ∴ = , = , = . x lg t y lg t z lg t 1 1 2 lg a lg c 2lg b ∵ + = ,∴ + = , x z y lg t lg t lg t ∴b2=ac,∴a,b,c 成等比数列. 栏 目 链 接 点评:有关等差、等比数列的综合问题,注意恰当选择 应用等差数列与等比数列的定义或应用等差中项与等比 中项概念解题

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