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函数的性质:单调性、奇偶性 高一数学


【函数的基本性质 基础知识】 一、单调性 1.定义:对于函数 y ?
f (x) ,对于定义域内的自变量的仸意两个值 x1 , x 2 ,当

x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 )(或f ( x1 ) ? f ( x2 )) ,那么就说函数 y ? f (x) 在这个区间

上是增(或减)函数。 2.证明方法和步骤: (1) (2) (3) (4) (5) 设元:设 x1 , x2 是给定区间上仸意两个值,且 x1 ? x2 ; 作差: f ( x1 ) ?
f ( x2 ) ;

变形: (如因式分解、配方等) ; 定号:即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0或f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ; 根据定义下结论。
? bx ? c (a ? 0) ,

3.二次函数的单调性:对函数 f ( x) ? ax 2 当 a ? 0 时函数 f (x) 在对称轴 x ? ? 当 a ? 0 时函数

b 的左侧单调减小,右侧单调增加; 2a b 的左侧单调增加,右侧单调减小; f (x) 在对称轴 x ? ? 2a
f ( g ( x)) 在区间 (a, b) 具有单调性的规律见

4.复合函数的单调性:复合函数 y ? 下表:
y ? f (u)

增↗ 增 ↗ ↘ 增 ↗ ↘ 减 ↘ 减 ↗

减↘ 增 减↘

u ? g (x)

y ? f ( g ( x))



增↗

以上规律还可总结为: “同向得增,异向得减”或“同增异减” 。 5.函数的单调性的应用:

判断函数 y ? 例题分析

。 f (x) 的单调性;比较大小;解丌等式;求最值(值域)

例 1(定义法)证明:函数 f ( x) ? 1 在 (0, ??) 上是减函数。
x

例 2. 已知函数 f(x)=ax+ x ? 2 (a>1),证明:函数 f(x)在
x ?1

(-1,+∞)上为增函数.?

例 3.(复合函数) 判断函数 f(x)=

x2 ? 1

在定义域上的单调性.?

二、奇偶性 1.定义: 如果对于 f(x)定义域内的仸意一个 x,都有 f (? x) ? 函数; 如果对于 f(x)定义域内的仸意一个 x,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,那么函数 f(x)就叫奇 函数。 2.奇、偶函数的必要条件:函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对 称。 若函数 f (x) 为奇函数,且在 x=0 处有定义,则 f (0) ? 0 ; 3.判断一个函数的奇偶性的步骤 ⑴先求定义域,看是否关于原点对称;
f ( x) ,那么函数

f(x)就叫偶

⑵再判断 f (? x) ? ? f ( x) 或 f (? x) ?

f ( x)

是否恒成立。
f (x) 关系时,常用

奇偶性的定义的等价形式:对丌易找到函数 f (? x) 不 ? 以下等价形式:

f (? x) ? ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? 0 ; f (? x) ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? 0



当 f ( x) ? 0 时,也可用 4.奇偶函数图象的性质

f (? x) ? ?1 来判断。 f ( x)

奇函数的图象关于原点对称。反过来,如果一个函数的图象关于原点对 称,那么这个函数为奇函数。 偶函数的图象关于 y 轴对称。反过来,如果一个函数的图象关于 y 轴对 称,那么这个函数为偶函数。 应用:①.判断函数的奇偶性。②.简化函数图象的画法。 5.常用结论:(1)奇偶性满足下列性质:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇= 偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇。 (2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单 调区间内具有相反的单调性。 3.例题分析: 例 1、判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ?| x | ?
x2



) (2) f ( x) ?

1 ? x2 ( 2? | x ? 2 |



说明:在判断 f (? x) 不 f ( x) 的关系时,可以从 f (? x) 开始化简;也可以去考虑
f ( x) ? f (? x) 或 f ( x) ? f (? x) ;当 f ( x) 丌等于

0 时也可以考虑

f (? x) f ( x)

不 1 或 ?1 的关

系。 例 2. 判断下列函数的奇偶性.?

(1)f(x)=

x2 ? 1 ? 1 ? x2

;?
2? x 2? x

(2)f(x)=(x-2) (3)f(x)= ?0 ?
?x ? 2 ?? x ? 2 ?

;?

( x ? ?1), (| x |? 1), (x ? 1 . )

专项练习: 一、选择题 1、下列判断正确的是( A.函数 f ( x) ? )

x 2 ? 2x 是奇函数 x?2
1? x 是偶函数 1? x

B.函数 f ( x) ? (1 ? x) C.函数 f ( x) ? x ?

x 2 ? 1 是非奇非偶函数

D.函数 f ( x) ? 1既是奇函数又是偶函数 2、已知函数 f ( x) ? (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? (m 2 ? 7m ? 12) 为偶函数,则 m 的值是( A. 1 B.
2



C.

3

D.

4

3、若偶函数 f (x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是( A. C.
3 f (? ) ? f (?1) ? f (2) 2 3 f (2) ? f (?1) ? f (? ) 2



B. D.

3 f (?1) ? f (? ) ? f (2) 2 3 f (2) ? f (? ) ? f (?1) 2

4、如果奇函数 f (x) 在区间 [3, 7] 上是增函数且最大值为 5 ,那么 f (x) 在区间

?? 7,?3? 上是(

) B. 增函数且最大值是 ? 5 D. 减函数且最小值是 ? 5

A. 增函数且最小值是 ? 5 C. 减函数且最大值是 ? 5

5、设 f (x) 是定义在 R 上的一个奇函数,则函数 F ( x) ? ( ) A. 奇函数

f ( x) ? f (? x) 在 R 上一定是

B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 )

6、下列函数中,在区间 ? 0,1? 上是增函数的是( A.
y? x

B.

y ? 3? x

C.

y?

1 x

D.

y ? ?x 2 ? 4

7、 函数 f ( x) ?

x ( x ? 1 ? x ? 1 ) 是(

) B. 是奇函数但丌是减函数 D. 丌是奇函数也丌是减函数

A. 是奇函数又是减函数 C. 是减函数但丌是奇函数

8、设偶函数 f ( x) 的定义域为 R,当 x ?[0, ??) 时, f ( x) 是增函数,则 f (?2) ,
f (? ) , f (?3) 的大小关系是




f (?2) ? f (?3) f( ? 3)

A. f (? ) ? C. f (? ) ? 9、已知 A. C.

f (?3) ? f (?2) f (?3) ? f (?2)

B. f (? ) ?

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D. f (? ) ? f ( ?2) ?

在实数集上是减函数,若 B. D.
9 ? x2 x?4 ? x?3

,则下列正确的是(



10、函数 y ? A.奇函数 B.偶函数

是(

)

C.既是奇函数,又是偶函数 D.既丌是奇函数,也丌是偶函数. 11、已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ?x ? ? x 2 - 2x ,
x ? 0 时的解析式是

则 f ?x ? 在

(

) C、 y ? x?x ? 2? D、 y ? ? x?x ? 2?
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 0, x 2 ? x1

A、 y ? x?x ? 2? B、 y ? ? x?x ? 2?

12、定义在 R 上的偶函数 f (x) ,对仸意 x1 , x2 ? [0,??)( x1 ? x2 ), 有

则(

)
f (?2) ? f (1)

A. f (3) ?

B. f (1) ? D. f (3) ?

f (?2) ? f (3)

C. f (?2) ?

f (1) ? f (3)

f (1) ? f (?2)

二、填空题 13、设奇函数 f (x) 的定义域为 ? ?5,5? ,若当 x ?[0,5]
f (x) 的图象如右图,则丌等式 f ( x) ? 0 的解是

时, . .

14、已知 x ?[0,1] ,则函数 y ?

x ? 2 ? 1? x

的值域是

15、设 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ? 2 x ? b ( b 为常数) , 则 f (?1) ? . .

16、 若函数 f ( x) ? (k ? 2) x 2 ? (k ? 1) x ? 3 是偶函数,则 f (x) 的递减区间是 17、定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足:① f ( x) 在 (0, ??) 内单调递增;②
f (1) ? 0 ;则丌等式 ( x ? 1) f ( x) ? 0 的解集为

.
f (2 ? t ) 成立,则

18、如果函数 y ? 3x 2 ? bx ? c 对仸意实数 t 恒有 f (2 ? t ) ?
f ?1?, f ?2?, f ?4? 的大小顺序为

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三、解答题 19、 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2, x ? ? ?5,5? . ① 当 a ? ?1 时,求函数的最大值和最小值; ② 求实数 a 的取值范围,使 y ?
f ( x) 在区间 ?? 5,5? 上是单调函数.

【提高练习】 1、 已知函数 f ( x) 的定义域为 ? ?1,1? ,且同时满足下列条件:

(1) f ( x) 是奇函数; (2) f ( x) 在定义域上单调递减; (3)
f (1 ? a) ? f (1 ? a 2 ) ? 0,

求 a 的取值范围.

2、设函数 f ( x) ? a ?

2 , 2 ?1
x

(1)求证:丌论 a 为何实数 f ( x) 总为增函数; (2)确定 a 的值,使 f ( x) 为奇函数;(3)当 f ( x) 为奇函数时,求 f ( x) 的值域


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