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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-2教案:第2章 典型例题:导数与切线方程


导数与切线方程
函数 y ? f ? x ? 在点 x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y ? f ? x ? 在点

P ? x0 , f ? x0 ?? 处的切线的斜率,因此求曲线在某点处的切线方程,可以先求出函数
在该点的导数,即曲线在该点的切线的斜率,再用直线的点斜式,写出直线的方 程。 例、已知函数 f ? x ? ? x3 ? x ?16 . ⑴求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 2, ?6? 处的切线的方程; ⑵直线 L 为曲线 y ? f ? x ? 的切线,且经过原点,求直线 L 的方程及切点坐标;
1 ⑶如果曲线 y ? f ? x ? 的某一切线与直线 y ? ? x ? 3 垂直, 求切点坐标与切线方 4

程。 解析:⑴∵ f ? ? x ? ? ? x3 ? x ? 16?? ? 3x 2 ? 1 ∴在点 ? 2, ?6? 处的切线的斜率为 k ? f ? ? 2? ? 3? 22 ?1 ? 13 , ∴切线的方程为: y ? 13? x ? 2? ? ? ?6? ,即 y ? 13x ? 6 。
2 ⑵法一、设切点为 ? x0 , y0 ? ,则直线 L 的斜率为 f ? ? x0 ? ? 3x0 ?1
2 2 ? 1? ? x ? x0 ? ? x0 ? x0 ? 16 ∴直线 L 的方程为 y ? ? 3x0 2 2 ? 1? ? ? x0 ? ? x0 ? x0 ? 16 又∵直线 L 过点 ? 0, 0 ? ,∴ 0 ? ? 3 x0

3 整理得, x0 ? ?8 ,∴ x0 ? ?2 ,∴ y0 ? ? ?2 ? ? ? ?2 ? ? 16 ? ?26 ,∴ k ? 13
3

∴直线 L 的方程为 y ? 13x ,切点坐标为 ? ?2, ?26? 。
3 y0 ? 0 x0 ? x0 ? 16 法 2、设直线 L 的方程为 y ? kx ,切点为 ? x0 , y0 ? ,则 k ? ? x0 ? 0 x0

3 又∵ k ? f ? ? x0 ? ? 3x0 ? 1,∴

3 x0 ? x0 ? 16 3 ? 3x0 ? 1 ,解得 x0 ? ?2 , x0

∴ y0 ? ? ?2 ? ? ? ?2 ? ? 16 ? ?26 , k ? 13
3

∴直线 L 的方程为 y ? 13x ,切点坐标为 ? ?2, ?26? 。

-1-

1 ⑶∵切线与直线 y ? ? x ? 3 垂直,∴斜率 k ? 4 4
2 ∴设切点为 ? x0 , y0 ? ,则 f ? ? x0 ? ? 3x0 ? 1 ? 4 ,∴ x0 ? ?1

?x ? 1 ? x ? ?1 ∴? 0 或? 0 ,∴切线方程为 y ? 4 ? x ?1? ?14 或 y ? 4 ? x ?1? ?18 ? y0 ? ?14 ? y0 ? ?18
∴即 y ? 4 x ? 14 或 y ? 4 x ? 18 点评:根据条件列方程或方程组是解决该问题的主要方法,灵活运用 x ? x0 处的 导数就是该点处的切线的斜率是解决有关问题的关键,由导数的几何意义可 知,点 ? x0 , f ? x0 ?? 处的切线方程 y ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? ? f ? x0 ?

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