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函数奇偶性的性质及其应用


函数奇偶性的性质及其应用
蒋明权 邓海 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f ( ?x) ? ?f ( x) ,那么函数 f(x)叫做奇函 数;如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f ( ? x) ? f ( x) ,那么函数 f(x)叫做偶函 数。 其判定的法则是: (1) 看关系式是否出现 f ( ?x) ? ?f ( x)(此为奇函数) f ( ? x) ? f ( x) 或 (此为偶函数),(2)看定义域是否关于原点对称;(3)看图象是否关于原点对称(此 为奇函数)或关于 y 轴对称(此为偶函数)。显然,法则(1),(2)与法则(3)是等价 的。也就是说,一个函数不满足这三条法则中的任何一条,它是非奇非偶函数;如果函数 f(x)满足了法则(1),(2)或者满足法则(3),则可判定它的奇偶性。 因此,就奇偶性而言函数可以分为四类:①奇函数;②偶函数;③既是奇函数又是偶 函数;④非奇非偶函数。 设 f(x)是奇函数,如果当 x>0 时, f ( x) ? g( x) ,则

?g( x)( x ? 0) f ( x) ? ? ?? g( ? x)( x ? 0)
(证明从略,类似情况略)。 设 f(x)是奇函数,如果当 x>0 时,f(x)是增函数,则当 x<0 时,f(x)仍然是增函数(证 明从略,类似情况略)。 一. 判断函数的奇偶性 例 1. 判定函数 f ( x) ? 1 ? x 2 ? x 2 ? 1 的奇偶性。

?1 ? x 2 ? 0 ? 解:函数的定义域满足 ? 2 ,即为 {?1,1} ,函数的图象表示两个点: (-1,0), ? ?x ? 1 ? 0
(1,0)。其图象既关于原点对称,又关于 y 轴对称。从而函数 f(x)既是奇函数又是偶函数。 二. 求函数的函数值 例 3. 设 f ( x) ? 试求 f(2)的值。 解:设 g( x) ?

a x ? a ?x ? b ? log c ( x ? x 2 ? 1) ? x 2 (其中 a,b,c 为常数),且 f ( ?2) ? 5 , 2

a x ? a ?x ? b ? log c ( x ? x 2 ? 1) ,易证 g(x)是奇函数,故 2 g( ?2) ? ?g(2) ,f ( x) ? g( x) ? x 2

(1) ?f ( ?2) ? g( ?2) ? 4 于是 ? ( 2) ?f (2) ? ?g( ?2) ? 4 两式相加得: f (2) ? 8 ? f ( ?2) ? 8 ? 5 ? 3 ,即 f (2) ? 3
三. 函数的解析式 例 3. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时, f ( x) ? lg( x ? 1) ? 2 x 2 ? 1 。试求此函数 的解析式。 解:(1)当 x=0 时, f (0) ? f ( ?0) ? ? f (0) ,于是 f (0) ? 0 ;

(2)当 x<0 时, ?x ? 0 ,则 f ( ? x) ? lg( ? x ? 1) ? 2( ? x) 2 ? 1 ,由于 f(x)是定义在 R 上 的奇函数,则

f ( x) ? ? f ( ? x) ? ? l g ? x ? 1) ? 2 x 2 ? 1 (
此函数的解析式为 ?? lg( ? x ? 1) ? 2 x 2 ? 1( x ? 0) ? f ( x) ? ?0( x ? 0) ? 3 2 ?x ? 2 x ? 1( x ? 0) 例 4. 设 x ?( ?1,1) ,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, f ( x) ? g( x) ? 2x ? lg(1 ? x) ,求 f(x) 的表示式。 解:f(x)是奇函数,有 f ( ?x) ? ?f ( x) ;g(x)是偶函数,有 g( ? x) ? g( x) ,则

( ? f ( x) ? g( x) ? 2 x ? l g 1 ? x) ? ( ? f ( ? x) ? g( ? x) ? 2( ? x) ? l g 1 ? x) ?f ( x) ? g( x) ? 2 x ? lg(1 ? x) 即? ?? f ( x) ? g( x) ? ?2 x ? lg(1 ? x) 1 1? x 两式相减得 f ( x) ? 2 x ? lg( ) 2 1? x
四. 解不等式 例 5. 解不等式 ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) ? 120 解: f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) , f ( ? x) ? f ( x) , 设 因 则 f(x)是偶函数,即 f(x)的奇数次方为 0,可设 f ( x) ? 2 x 4 ? Ax 2 ? 48 ,以 x=1 代入,得

2 ? 14 ? A ? 12 ? 48 ? (1 ? 1)(1 ? 2)(1 ? 3)(1 ? 4) ? (1 ? 1)(1 ? 2)(1 ? 3)(1 ? 4)
解得 A=70,即 f ( x) ? 2 x 4 ? 70x 2 ? 48 ,原不等式可化为:

2x 4 ? 70x 2 ? 48 ? 120 即 x 4 ? 35x 2 ? 36 ? 0 即 ( x 2 ? 36)( x 2 ? 1) ? 0
因而 x 2 ? 1,x ? ?1 或 x>1 例 6. (2004 年上海卷)设奇函数 f(x)的定义域是[-5,5]。当 x ?[0,5] 时,f(x)的图 象如图 1,则不等式 f(x)<0 的解是______________。

图1 解:根据奇函数图象关于原点成中心对称的性质,画出函数 y ? f ( x) 在区间[-5,5] 上的图象如图 2,易知不等式 f ( x) ? 0 的解是 ( ?2 ,0) ? (2 ,5] 。

图2 五. 在二项式的展开式中的应用 例 7. 若 (1 ? 2 x ? 3x 2 ? 4 x 3 ) 11 (1 ? 2 x ? 3x 2 ? 4 x 3 ) 11 ? a 66 x 66 ? a 65 x 65 ???a 1 x ? a 0 ,求

a 65 ? a 1 的值。
解:设 f ( x) ? (1 ? 2 x ? 3x 2 ? 4 x 3 ) 11 (1 ? 2 x ? 3x 2 ? 4 x 3 ) 11 ,则 f(x)是偶函数 则 f ( x) ? a 66 x 66 ? a 65 x 65 ???a 1 x ? a 0 的奇数次方的系数

a 65 ? a 63 ?? ? a 3 ? a 1 ? 0 则 a 65 ? a 1 ? 0
六. 函数的奇偶性的综合应用题 例 8. 已知函数 f ( x) ?

ax 2 ? 1 (a ? 0,b ? 0) 是奇函数,当 x>0 时,f(x)有最小值 2,其中 bx ? c

5 2 (1)试求 f(x)的解析式; (2)问函数 f(x)的图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐 标;若不存在,说明理由。 解:知函数 y ? f ( x)(a ? 0,b ? 0) 是奇函数, f ( ?x) ? ?f ( x) ,则 c=0
b ? N ? ,且 f (1) ?
由 于 f ( x) ?

a 1 a a ?1 5 x? ? 2 2 , 所 以 a ? b 2 , 又 a ? b 2 , 又 f (1) ? ? ,于是 b bx b 2 b

2b 2 ? 5b ? 2 ? 0 1 解得 ? b ? 2 ,又 b ? N ? 2 所以 b=1,a=1 1 所以 f ( x) ? x ? x
(2) (x0, 0) 设点 y 存在关于点 (1, 对称点 2 ? x 0 , 0) 此两点均在函数 y ? 0) ( y , 的图象上,则 y 0 ?

x2 ? 1 x

x02 ? 1 (2 ? x 0 ) 2 ? 1 , ? y0 ? 2 2 ? x0
2

联 立 以 上 两 式 得 x 0 ? 2x 0 ? 1 ? 0 , 即 x 0 ? 1 ? 2 , 从 而 , 当 x 0 ? 1 ? 2 时 , 得

y 0 ? 2 2 ;当 x 0 ? 1 ? 2 时,得 y 0 ? ?2 2
即存在点( 1 ? 2 ,2 2 ),( 1 ? 2 , ? 2 2 )关于点(1,0)对称。 湖南省永州市第一中学(425006)

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函数奇偶性的性质及其应用 函数奇偶性的性质及其应用 韩秋荣 一校 胡丹 二校

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