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宁夏银川一中2017届高三上学期第一次月考数学(文)试题Word版含解析

第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的。

1.若复数 (m2 ? 3m) ? (m2 ? 5m ? 6)i ( m?R )是纯虚数,则 m 的值为

A.0

B.2

C.0 或 3

D.2 或 3

【答案】A 【解析】

试题分析:由题意

??m2 ???m2

? ?

3m 5m

? ?

0 6

?

0

,解得

m

?

0

.故选

A.KS5U

考点:复数的概念.

2.设 U=R,A={x|x2-3x-4>0},B={x|x2-4<0} ,则 (CU A) ? B ?

A.{x|x≤-1,或 x≥2} B.{x|-1≤x<2} C.{x|-1≤x≤4} D.{x|x≤4}

【答案】B



考点:集合的运算.

3.已知? 是第三象限角, tan? ? 4 ,则 cos? = 3

A. 4 5

B. 3 5

C. ? 3 5

【答案】C

【解析】

D. ? 4 5

试题分析:由题意

??tan ? ?

?

sin ? cos?

?

4 3

,因为 ?

是第三象限角, cos?

? 0 ,所以

??sin2 ? ? cos2 ? ? 1

cos? ? ? 3 .故选 C. 4
考点:同角间的三角函数关系.

4.已知命题 p : 对任意 x ? R ,总有 2x ? 0 ; q :" x ? 1" 是" x ? 2" 的充分不必要条件,则

下列命题为真命题的是

A. p ? ?q

B.?p ? ?q

C.?p ? q

D. p ? q

【答案】A

考点:复合命题的真假.

5.曲线 y ? x 在点(1, ? 1)处的切线方程为 x?2

A.y=x ? 3

B.y= ? 2x+1

C.y=2x ? 4

【答案】B

【解析】

D.y= ? 2x-3

试题分析:

y'?

?2 (x ? 2)2

,k

?

y'

x?1 ?

?

(1

2 ? 2)2

? ?2 ,切线方程为

y ?1 ? ?2(x ?1) ,

即 y ? ?2x ?1.故选 B

考点:导数的几何意义.

6.函数

f

(x)

?

?

1 x

?

log

2

x

的一个零点落在下列哪个区间

[KS5UKS5UKS5U]

A. (0,1)

B. (1,2)

C. (2,3)

D. (3,4)

【答案】B 【解析】
试题分析: f (1) ? ?1, f (2) ? 1 ,即 f (1) f (2) ? 0 ,所以在 (1, 2) 上有一个零点.故选 B. 2
考点:函数的零点.KS5U 考点:

7.已知函数 y ? f (x2 ?1) 定义域是 ??0, 5 ?? ,则 y=f(2x+1)的定义域

A.[0, 5] 2

B.[?4,7]

C. [?4,4]

D. [?1, 3] 2

【答案】D

【解析】
试题分析:由 x ?[0, 5] ? x2 ?1?[?1, 4] ,因此 ?1? 2x ?1? 4 ,解得 ?1 ? x ? 3 ,即所 2
求定义域为[?1, 3] .故选 D. 2
考点:函数的定义域.

【名师点睛】函数 f (x) 与 f [g(x)] 中的“ x ”含义不同,它们是用同一字母表示两个不同

的自变量,因此它们的取值范围不一定相同,但它们之间又有联系,即 f (x) 中“ x ”与

f [g(x)] 中的“ g(x) ”取相同的值时,它们对应的函数值相同,所以在求定义域时, f (x)

中“ x ”与 f [g(x)] 中的“ g(x) ”取值范围相同.

8.将函数 y ? 3 cos(2x ? ? ) 的图像向右平移 m ?m ? 0? 个长度单位后,所得到的图像关于原点 3

对称,则 m 的最小值是

A. ? 4

B. ? 3

C. 5? 6

D. 5? 12

【答案】D

考点:三角函数图象的平移,三角函数的对称性.
9.函数 f (x) ? loga (2 ? ax) 在 ?0,3?上为增函数,则 a 的取值范围是

A. ?? 2 ,1?? ?3 ?

B.(0,1)

C. ?? 0, 2 ?? ? 3?

D. ?3,?? ?

【答案】C

【解析】

试题分析:由题意

?0 ??2

? a ?1 ? 3a ? 0

,解得

0

?

a

?

2 3

.故选

C.KS5U

考点:函数的单调性. 10.函数 y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为

A

B

C

D

【答案】D

考点:函数的图象.

11.设 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增加的,又 f(-3)=0,

则 x·f(x)<0 的解集是

A.{x|-3<x<0,或 x>3}

B.{x|x<-3,或 0<x<3}

C.{x|-3<x<0,或 0<x<3}

D. {x|x<-3,或 x>3}

【答案】C 【解析】

试题分析:由 f (x) 是奇函数,得 f (3) ? ? f (?3) ? 0 ,又 f (x) 在 (0, ??) 上是增函数,则

x ? (0,3) 时, f (x) ? 0,当 x ?(3, ??) 时, f (x) ? 0 ,再由 f (x) 是奇函数知 x ?(??, ?3)

时,

f

(x) ?

0,当 x ? (?3,0)

时,

f

(x)

? 0 , xf

(x) ?

0?

?x

? ?

f

?0 (x)

?

0



?x

? ?

f

?0 (x)

?

0

,所以

x ?(?3, 0) (0,3) .故选 C.

考点:函数的奇偶性与单调性.

【名师点睛】1.奇函数 f (x) 在 (a, b) 和 (?b, ?a) 上的单调性相同,偶函数 f (x) 在 (a, b) 和

(?b, ?a) 上的单调性相反,KS5U

2.奇函数 f (x) 在关于原点对称的两点的函数值正负相反,偶函数 f (x) 在关于原点对称的

两点的函数值正负相同.因此奇函数 f (x) 在 (a, b) 上函数值恒为正,则在 (?b, ?a) 上函数

值恒为负.
12.已知函数 y ? f (x) 的定义在实数集 R 上的奇函数,且当 x ?(??, 0) 时,xf '(x) ? f (?x)

( 其 中 f ' (x )是 f (x) 的 导 函 数 ), 若 a ? 3 f ( 3) , b ? (lg 3) f (lg 3) ,

c

?

(log2

1) 4

f

(log2

1) 4

,则

A. c ? a ? b B. c ? b ? a

C. a ? b ? c

D. a ? c ? b

【答案】A

考点:函数的奇偶性,单调性.导数的应用. [KS5UKS5UKS5U]
【名师点睛】1.奇函数 f (x) 在 (a, b) 和 (?b, ?a) 上的单调性相同,偶函数 f (x) 在 (a, b) 和 (?b, ?a) 上的单调性相反, 2.对于已知不等式中既有 f (x) 又有 f '(x) ,一般不能直接确定 f '(x) 的正负,即不能确定 f (x) 的单调性,这时要求我们构造一个新函数,以便利用已知不等式判断其导数的的正负,

常见的构造新函数有 g(x) ? xf (x) , g(x) ?

f (x) , g(x) ? ex f (x) , g(x) ? x

f (x) 等 ex

等.KS5U

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须

做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13.将函数 y ? 2sin(2x ? ? )的图像向右平移 1 个周期后,所得图像对应的函数为

3

4

_________.

【答案】 y ? 2sin(2x ? ? ) 6
【解析】

试题分析:由题意 y ? 2sin[2(x ? 1 ? ) ? ? ] ? 2sin(2x ? ? ) .

43

6

考点:三角函数图象的平移,三角函数的周期.

14.已知偶函数 f ? x? 在 ?0, ??? 单调递减,若 f(x-2)>f(3),则 x 的取值范围是

__________.

【答案】 ??1,5?

考点:函数的奇偶性与单调性.

15.已知直线 y=ex+1 与曲线 y ? ln(x ? a) 相切,则 a 的值为



【答案】 3 e
【解析】

试题分析: y ? ln(x ? a) ? y ' ? 1 ,由 y ' ? 1 ? e , x ? 1 ? a ,此时

x?a

x?a

e

y ? ln(1 ? a ? a) ? ?1,所以 ?1 ? e(1 ? a) ?1, a ? 3 .

e

e

e

考点:导数的几何意义.

【名师点睛】求函数曲线 y ? f (x) 在点 (x0 , f (x0 )) 处的切线方程,根据导数的几何意义,

只要求出导数 f '(x) ,则切线方程为 y ? f (x0 ) ? f '(x0 )(x ? x0 ) .要注意所求是在某点处的

切线,还是过某点的切线,如果是求过某点的切线,一般设切线为 (x1, y1) ,求出切线方程

y ? y1 ? f '(x1)(x ? x1) ,然后把点坐标代入求出 x1 即得.

16.已知函数

f(x)=

??2e ?

x

,

x

?

0

(其中

e

为自然对数的底数),则函数

y=f(f(x))的零点等

?ln x, x ? 0



.

【答案】 e

【解析】

试题分析:当 x ? 0 时, f (x) ? ?2ex ? 0 ,由 f ( f (x)) ?0 得 f (x) ?1 ,ln x ?1, x ? e .

考点:函数的零点.

【名师点睛】函数的零点,根据零点的定义,函数 f (x) 零点就是函数 f (x) 的图象与 x 交

点的横坐标,也是方程 f (x) ? 0 根,因此求函数零点可以通过解方程 f (x) ? 0 求得,讨论

零点个数,可以通过研究函数 f (x) 图象与 x 轴交点个数,经常变化为函数图象与直线交点

个数问题.本题是分段函数,在解方程时一般可分段解方程,当然象本题已经得出其中一段

函数值恒为负时,零点一定在另一段取得.KS5U

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分 12 分)

已知函数 f (x) ? Asin(?x ??) ?1( A ? 0,? ? 0 , ? ? ? ? ? ? )的图像关于直线 x

2

2

=π3对称,最大值为 3,且图像上相邻两个最高点的距离为? .

(1)求 f (x) 的最小正周期;

(2)求函数 f ( x) 的解析式;[KS5UKS5U.KS5U

(3)若 f (? ? ? ) ? 7 ,求 sin? . 23 5

【答案】(1)π;(2) f (x) ? 2sin(2x ? ? ) ?1;(3) ? 2 6 .

6

5

(3)∵ f (? ? ? ) ? 2sin[2(? ? ? ) ? ? ] ?1 ? 2sin(? ? ? ) ?1 ? 2cos? ?1 ? 7 ,

23

23 6

2

5

∴ cos? ? 1 , ∴ sin? ? ? 1? cos2 ? ? ? 1? (1)2 ? ? 2 6 . …………12 分

5

5

5

考点:函数 y ? Asin(?x ??) 的图象和性质,同角间的三角函数关系.
18. (本小题满分 12 分)
设 f (x) ? 4sin(2x ? ? ) + 3 . 3
(1)求 f (x) 在[0, ? ]上的最大值和最小值; 2
(2)把 y ? f (x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再把得到 的图象向左平移 2? 个单位,得到函数 y ? g(x) 的图象,求 g(x)的单调减区间.
3

【答案】(1) f ? x? 的最大值是 4+ 3 ,最小值是 ? 3 ;(2)单调减区间是

[2k? ? ? , 2k? ? 7? ](k ? Z ).

6

6

考点:函数 y ? Asin(?x ??) 的最值,图象变换,单调性.
19.(本小题满分 12 分)
已知定义域为 R 的单调函数 f ? x? 是奇函数,当 x ? 0 时, f ? x? ? x ? 2x .
3
(1)求 f ? x? 的解析式;

(2)若对任意的t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范
围.

【答案】(1)

f

(x)

?

? ? ?

x 3

?

?0, x

? ?

x

?

2x, x ? 0

?0

;(2) k

2?x, x ? 0

?

?

1 3



?3

? ? (2)? f (?1) ? 1 ? f (0) ? 0 , f x 为 R 的单调函数 6
? f ? x? 在 R 上单调递减.

由 f (t 2 ? 2t) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 得 f (t2 ? 2t) ? ? f (2t2 ? k)

f (x) 是奇函数

? f (t2 ? 2t) ? f (k ? 2t 2 )

又 f (x) 是减函数 ? t2 ? 2t ? k ? 2t2

即 3t2 ? 2t ? k ? 0 对任意 t ? R 恒成立 ?? ? 4 ?12k ? 0 得 k ? ? 1 即为所求.
3

……………………12 分

考点:函数的奇偶性与解析式,单调性,不等式恒成立. 20.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? x ? a2 , g(x) ? x ? ln x ,其中 a ?1 . x
(1)若 x=2 是函数 f(x)的极值点,求 h(x) ? f (x) ? g(x) 在(1,h(1))处的切线方程;

? ? (2)若对任意的 x1, x2 ? 1, e ( e 为自然对数的底数)都有 f (x1 ) ? g(x2 ) 成立,求实
数 a 的取值范围.

【答案】(1)

y

?

?x

?

7

;(2)

? ??

e

?1 2

,

??

? ??



(2)解:对任意的 x1, x2 ??1,e?都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立等价于对任意的 x1, x2 ??1,e?都
有 ?? f ? x???min ≥ ??g ? x???max . ……5分 当 x ?[1, e ]时, g?? x? ? 1? 1 ? 0 .
x
∴函数 g ?x? ? x ? ln x 在?1,e?上是增函数.

∴ ??g ? x???max ? g ?e? ? e ?1 .

? ? ? ?? ? ? ? ∵ f ? x

?1?

a2 x2

?

x?a x?a x2

x? 1,e a ? 0 ,且



. [KS5UKS5U]

① 当1≤ a ≤ e 时,

若1≤

x



a

,则

f

??

x?

?

?x

?

a??
x2

x

?

a?

?

0,



a



x



e

,则

f

??

x?

?

?

x

?

a??
x2

x

?

a?

?

0



∴函数 f ? x? ? x ? a2 在?1, a? 上是减函数,在 ?a,e?上是增函数.
x

∴ ?? f ? x???min ? f ?a? ? 2a .

由 2a ≥ e ?1,得 a ≥ e ?1 , 又 1≤ a ≤ e ,∴ e ?1 ≤ a ≤ e . …………9 分

2

2

②.当 a

?

e且

x

? [1, e

]时,

f

??x?

?

?x

?

a??x
x2

?

a?

?

0,

∴函数 f ? x? ? x ? a2 在?1,e?上是减函数.
x

∴ ?? f

? x???min

?

f

?e? ? e?

a2 e

.由 e ?

a2 e

≥ e ?1,得 a ≥

e,

又 a ? e ,∴ a ? e .

综上所述,

a

的取值范围为

? ??

e

? 2

1

,

??

? ??



…………12 分

考点:导数的几何意义,导数与单调性、极值、最值.

【名师点睛】设在区间 I 上函数 f (x) 的最大值为 M ,最小值为 m ,函数 g(x) 的最大值为

N ,最小值为 n ,含有量词的不等式恒成立问题的等价转化:

(1) ?x1, x2 ? I , f (x1) ? g(x2 ) ? m ? N ;

(2) ?x1 ? I , ?x2 ? I , f (x1) ? g(x2 ) ? m ? n ;

(3) ?x1, x2 ? I , f (x1) ? g(x2 ) ? M ? n ;

(4) ?x1 ? I ,?x2 ? I , f (x1) ? g(x2 ) ? M ? N .
21.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x ) ? 1 x2 ? 2a ln x ? ( a ? 2 )x 2

(1)当 a=1 时,求函数 f(x)在[1,e]上的最小值和最大值;

(2)当 a≤0 时,讨论函数 f(x)的单调性;

(3)是否存在实数 a,对任意的 x1,x2?(0,+∞),且 x1≠x2,都有

f ( x2 ) ? f ( x2 ? x1

x1

)

?

a 恒成立.若存

在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由.

【答案】(1)最小值为 f(2)=-2ln2,最大值为 f (1) ? ? 1 ;(2)①当 ?2 ? a ? 0 时,f(x)在(0, 2
-a)上是增函数,在(-a,2)上是减函数,在 (2, ??) 上是增函数;②当 a=-2 时,在 (0, ??) 上是增函数;a ? ?2 时, 则 f(x)在(0,2)上是增函数,在(2,-a)上是减函数,在 (?a, ??) 上是增函数;(3) a ? (??, ? 1] .
2

试题解析:(1)当 a=1 时, f ( x ) ? 1 x2 ? 2ln x ? x . 2

则 f ?( x ) ? x ? 2 ?1 ? x2 ? x ? 2 ? ( x ?1)( x ? 2 ) . x ?[1,e]

x

x

x

∴当 x ? (1, 2) 时, f ?(x) ? 0, 当 x ? (2, e) 时, f ?(x) ? 0. [KS5UKS5U]

∴f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,e)上是增函数.

∴当 x=2 时,f(x)取得最小值,其最小值为 f(2)=-2ln2. …………2 分

又 f (1) ? ? 1 , f (e) ? e2 ? e ? 2.

2

2

f (e) ? f (1) ? e2 ? e ? 2 ? 1 ? e2 ? 2e ? 3 ?0 , ∴ f (e) ? f (1)

2

2

2



f

( x)max

?

f

(1)

?

? 1 . …………4 2



(2) f(x)的定义域为 (0, ??) ,

f ?(x) ? x ? a ? a ? 2 ? x2 ? (a ? 2)x ? 2a ? (x ? 2)(x ? a) .

x

x

x

①当 ?2 ? a ? 0时,

f(x)在(0,-a)上是增函数,在(-a,2)上是减函数,在 (2, ??) 上是增函数.

考点:导数与函数的极值、最值、单调性. 【名师点睛】1 求函数的单调区间的“两个”方法
(1)方法一:①确定函数 y=f(x)的定义域; ②求导数 y′=f′(x); ③解不等式 f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; ④解不等式 f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. (2)方法二:①确定函数 y=f(x)的定义域; ②求导数 y′=f′(x),令 f′(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根; ③把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺
序排列起来,然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间; ④确定 f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性. 2.求函数 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值; (2)求函数在区间端点的函数值 f(a),f(b); (3)将函数 f(x)的各极值与 f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小 值.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答 时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
如图所示,已知 PA 与⊙O 相切,A 为切点,PBC 为割线,弦 CD∥AP,AD、BC 相交于 E 点,F 为 CE 上一点,且 DE2=EF·EC?

A

P

·O

B

FE

C

D

(1)求证:?P=?EDF; (2)求证:CE·EB=EF·EP. 【答案】证明见解析.

考点:相似三角形的判断与性质,相交弦定理. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程。

在平面直角坐标系

xOy

中,已知曲线

C1

:

?x

? ?

y

? ?

cos? sin?

(?为参数)

,以平面直角坐标系

xOy

的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线
l : ?(2cos? ? sin? ) ? 6 .

(1)将曲线 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 3 、2 倍后得到曲线 C2 , 试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程;
(2)在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值.

【答案】(1)直线

l

:2x

?

y

?

6

?

0

,曲线

C2

:??? x ?? y

? ?

3 cos? 2 sin ?

(?为参数)

;(2)点

P(

?

3 2

,1

),

此时 dmax

?

|

4

?6| 5

?

2

5.

考点:极坐标方程与直角坐标方程的互化,相关点法求轨迹方程,点到直线的距离公式. 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲
已知函数 f (x) ?| x ? a | ? 2x ?1 (a ? R). (1)当 a = 1时,求不等式 f (x) ? 2 的解集;

(2)若

f (x)

?

2x

的解集包含

?1 ?? 2

,1???

,求 a

的取值范围.

【答案】(1)

? ?

x

?

x

?

0, 或x

?

2 3

? ? ?

;(2)

????

3 2

, 0???



(2)因为

f

(x)

?

2

的解集包含

?1 ?? 2

,1???

不等式可化为| x ? a |? 1,………………………………………7 分

解得 ?a ?1? x ? ?a ?1,

由已知得

???a ?

?1

?

1 2

,……………………………………9



???a ?1 ? 1

解得 ? 3 ? a ? 0 2

所以

a

的取值范围是

????

3 2

,

0???

.…………………………………10



考点:绝对值不等式.


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