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重庆市南开中学2015届高三上学期一诊模拟数学试卷(理科)


重庆市南开中学 2015 届高三上学期一诊模拟数学试卷(理科)
一、选择题:每小题 5 分,共 10 分.在四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)集合 A={﹣1,0,1},则满足 B?A 的集合 B 的个数为() A.4 B. 6 C. 7 D.8 2. (5 分)复数 z= A.﹣1 (其中 i 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数 的虚部为() B. 1 C. i D.﹣i ,

3. (5 分)设△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且∠A=75°,∠B=45°,b= 则边 c=() A.2 B. 3 C. D. + 4. (5 分)如图所示程序框图,若输入 N=3,则输出的 S=()

A.

B.

C.

D.

5. (5 分)下列说法正确的是() 2 2 2 2 A.命题“若 x>y,则 x >y 的否命题为“若 x>y,则 x ≤y ” B. 命题 p:“?x>0,sinx<x”.则¬p:“?x<0,sinx≥x” C. “x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件 D.命题 p:f(x)=xsinx 为奇函数,命题 q:f(x)=cosx+1 为偶函数,则“p∨q”为假命题

6. (5 分)已知双曲线



=1 的右焦点与抛物线 y =12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点

2

到其渐近线的距离等于() A. B.

C. 3

D.5

7. (5 分)如题图所示为某空间几何体的三视图,则该几何体的表面积为()

A.

B.

+6

C.

+3

D.

+3

8. (5 分)若实数 x,y 满足约束条件 A.[2,4] B.[4,6]
2 2

,则 z=|x+2|+|y﹣2|的取值范围为() C.[2,6] D.[0,6]

9. (5 分)已知圆 C:x +y ﹣2x+4y﹣11=0,在区间[﹣4,6]上任取实数 m,则直线 l:x+y+m=0 与圆 C 相交所得△ ABC 为钝角三角形(其中 A、B 为交点,C 为圆心)的概率为() A. B.
2 2

C.
2

D.
2

10. (5 分)设实数 a,b,c,d 满足 ab=c +d =1,则(a﹣c) +(b﹣d) 的最小值为() A. +1 B.3+2 C. ﹣1 D.3﹣2

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11. (5 分)不等式 >2 的解集为.
2 m

12. (5 分)已知幂函数 f(x)=(m +m﹣5)x 为定义域是 R 的偶函数,则实数 m=.

13. (5 分)已知 =(1,﹣

) ,| |=3,|2 ﹣ |=

,则向量 与 的夹角为.

14. (5 分) 已知正项等比数列{an}满足: a2015﹣a2014=2a2013, 若存在两项 am, an 使得 则 + 的最小值为.
2

=4a1,

15. (5 分)若函数 f(x)=|x +2x﹣2|﹣a|x﹣1|恰有四个不同的零点,则实数 a 的取值范围为.

三.解答题:本大题 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 16. (13 分)设 f(x)=x +alnx,其中 a∈R.曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线 l 垂直 于 y 轴. (Ⅰ)确定 a 的值并求切线 l 的方程; (Ⅱ)求函数的单调区间与极值. 17. (13 分)进入秋冬季节以来,热饮受到大众喜爱.某中学校门口一奶茶店为了了解某品牌 热饮的日销售量 y(杯)与当日气温 x(℃)之间的关系,随机统计了某 5 天该品牌热饮的日 销量和当日气温的数据如下表: 当日气温(℃)x 20 16 12 10 6 日销量(杯)y 40 45 60 59 60 利用最小二乘法估计出该组数据满足的回归直线方程为: =﹣1.5x+a(a∈R) .

(Ⅰ)试预测当气温为 4℃时,该品牌热饮的日销量? (Ⅱ)在已有的五组数据中任取两组,求至少有一组数据其日销量 y 的预测值和实际值之差 的绝对值不超过 2 的概率. 18. (13 分)公差不为 0 的等差数列{an}满足:a1=6,a2,a6,a14 分别为等比数列{bn}的第三、 四、五项. (Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)记数列{an}的前 n 项和为 Sn,{bn}的前 n 项和为 Tn,求使得 Tk> [来源:学§科§网 Z§X§X§K] 19. (12 分)已知 =(sin(x﹣ (Ⅰ)若 a∈(﹣ , ) ,cosx) , =(cos(x+ ,求 cos2a 的值; 个单位,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原 ]上的值域. ) ,cosx) ,函数 f(x)= ? 的最小 k 值.

)且 f(a)=

(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向左平移

来的一半(纵坐标不变) ,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)在 x∈[0,

20. (12 分) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, AB⊥AD, AC⊥CD, ∠ABC=60°, PA=AB=BC=4,E、F 分别是 PC、PD 的中点. (Ⅰ)证明:PD⊥平面 ABE; (Ⅱ)求三棱锥 P﹣AEF 的体积.

21. (12 分)已知 A、B 分别为曲线 C:

+y =1(a>0)与 x 轴的左、右两个交点,直线 l

2

过点 B 且与 x 轴垂直,P 为 l 上异于点 B 的点,连结 AP 与曲线 C 交于点 M. (1)若曲线 C 为圆,且|BP|= ,求弦 AM 的长;

(2)设 N 是以 BP 为直径的圆与线段 BM 的交点,若 O、N、P 三点共线,求曲线 C 的方程.

重庆市南开中学 2015 届高三上学期一诊模拟数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:每小题 5 分,共 10 分.在四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)集合 A={﹣1,0,1},则满足 B?A 的集合 B 的个数为() A.4 B. 6 C. 7 D.8 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: 根据 B?A,所以找出集合 A 的所有子集即可. 解答: 解:根据题意,即找 A 的所有子集为: ?,{﹣1},{0},{1},{﹣1,0},{﹣1,1},{0,1},{﹣1,0,1}.[来源:Z,xx,k.Com] 故选 D. 点评: 考查子集的概念,不要漏了空集?.

2. (5 分)复数 z= A.﹣1

(其中 i 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数 的虚部为() B. 1 C. i D.﹣i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的代数形式的乘除运算可求得 =1﹣i,从而可得答案. 解答: 解:∵z= = =1+i,

∴ =1﹣i,其虚部为﹣1, 故选:A.[来源:学科网] 点评: 本题考查复数代数形式的乘除运算,求得 =1﹣i 是关键,属于基础题. 3. (5 分)设△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且∠A=75°,∠B=45°,b= 则边 c=() A.2 B. 3 C. D. + 考点: 正弦定理的应用. 专题: 解三角形. 分析: 根据三角形的内角和定理算出 C=60°,由正弦定理 解答: 解:∵在△ ABC 中,∠A=75°,∠B=45°,b= ,C=60°, ,可得 c. ,

根据正弦定理

,得 c=

=

=3.

故选:B. 点评: 本题给出△ ABC 的两角与其中一角的对边,求另外一条边长.着重考查了三角形内 角和定 理、用正弦定理解三角形等知识,属于基中档题. 4. (5 分)如图所示程序框图,若输入 N=3,则输出的 S=()

A.

B.

C.

D.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,k 的值,当,k=3 时,不满足条件 k<N,退出循环,输出 S 的值为 . 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 N=3,k=1,S=0 S= ,满足条件 k<N,k=2,S= + 满足条件 k<N,k=3,S= + + = =

[来源:Zxxk.Com]

不满足条件 k<N,退出循环,输出 S 的值为 故选:C. 点评: 本题主要考查了程序框图和算法, 正确写出每次循环得到的 S, k 的值是解题的关键, 属于基础题. 5. (5 分)下列说法正确的是() 2 2 2 2 A.命题“若 x>y,则 x >y 的否命题为“若 x>y,则 x ≤y ”[来源:学|科|网] B. 命题 p:“?x>0,sinx<x”.则¬p:“?x<0,sinx≥x” C. “x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件[来源:学.科.网] D.命题 p:f(x)=xsinx 为奇函数,命题 q:f(x)=cosx+1 为偶函数,则“p∨q”为假命题 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据否命题的定义,结合已知中的原命题,可得判断 A 的正误;

利用命题的否定判断 B 的正误; 利用充要条件判断 C 的正误; 复合命题的真假判断 D 的正误; 2 2 2 2 解答: 解:对于 A,命题“若 x>y,则 x >y 的否命题为“若 x≤y,则 x ≤y ”,所以 A 不正 确; 对于 B,命题 p:“?x>0,sinx<x”.则¬p:“?x>0,sinx≥x”,所以 B 不正确; 对于 C,“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件, ∵x<0,∴x+1<1,当 x+1>0 时,ln(x+1)<0; ∵ln(x+1)<0,∴0<x+1<1,∴﹣1<x<0,∴x<0, ∴“x<0”是 ln(x+1)<0 的必要不充分条件.所以 C 正确. 对于 D,命题 p:f(x) =xsinx 为奇函数,正确;命题 q:f(x)=cosx+1 为偶函数,正确, 则“p∨q”为假命题,所以 D 不正确. 故选:C. 点评: 本题考查充要条件,命题的真假的判断,命题的否定以及四种命题的关系,基本知 识的考查.

6. (5 分)已知双曲线



=1 的右焦点与抛物线 y =12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点

2

到其渐近线的距离等于() A. B.

C. 3

D.5

考点: 双曲线的简单性质;抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 确定抛物线 y =12x 的焦点坐标,从而可得双曲线的一条渐近线方程,利用点到直线 的距离公式,即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离. 2 解答: 解:抛物线 y =12x 的焦点坐标为(3,0) ∵双曲线 ∴4+b =9 2 ∴b =5 ∴双曲线的一条渐近线方程为 ,即
2 2

的右焦点与抛物线 y =12x 的焦点重合

2

∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 故选 A. 点评: 本题考查抛物线的性质,考查时却显得性质,确定双曲线的渐近线方程是关键. 7. (5 分)如题图所示为某空间几何体的三视图,则该几何体的表面积为()

A.

B.

+6

C.

+3

D.

+3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由题意,几何体为半个圆台,上底半径为 1,下底半径为 2,高为 ,母线长为 2, 即可求出该几何体的表面积. 解答: 解:由题意,几何体为半个圆台,上底半径为 1,下底半径为 2,高为 ,母线长为 2 半个圆台的侧面积为 轴截面的面积为 所以几何体的表面积为 =3 , , =3π,上底面积为 ,下底面积为 =2π,

故选:D. 点评: 本题考查求几何体的表面积,考查学生的计算能力,确定几何体的形状是关键.

8. (5 分)若实数 x,y 满足约束条件 A.[2,4] B.[4,6]

,则 z=|x+2|+|y﹣2|的取值范围为() C.[2,6] D.[0,6]

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 则﹣2≤x≤2,﹣2≤y≤2, 则 z=|x+2|+|y﹣2|=x+2﹣(y﹣2)=x﹣y+4, 由 z=x﹣y+4 得 y=x﹣z+4,平移直线 y=x﹣z+4, 由平移可知当直线 y=x﹣z+4 经过点 A(0,2)时, 直线 y=x﹣z+4 的截距最大,此时 z 取得最小值,为 z=0﹣2+4=2, 当直线 y=x﹣z+4 经过点 B(2,0)时, 直线 y=x﹣z+4 的截距最小,此时 z 取得最大值,为 z=2﹣0+4=6 则 2≤z≤6, 故选:C

点评: 本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义,将目标函数进行化 简是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法. 9. (5 分)已知圆 C:x +y ﹣2x+4y﹣11=0,在区间[﹣4,6]上任取实数 m,则直线 l:x+y+m=0 与圆 C 相交所得△ ABC 为钝角三角形(其中 A、B 为交点,C 为圆心)的概率为() A. B. C. D.
2 2

考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 求出圆心到直线 l:x+y+m=0 的距离为 d= 交所得△ ABC 为钝角三角形,可得 <4× ,利用直线 l:x+y+m=0 与圆 C 相 ,求出 m 的范围,以长度为测度,即可求

出概率. 2 2 解答: 解:圆 C:x +y ﹣2x+4y﹣11=0 的圆心为(1,﹣2) ,半径为 4, ∴圆心到直线 l:x+y+m=0 的距离为 d= ∵直线 l:x+y+m=0 与圆 C 相交所得△ ABC 为钝角三角形, ∴ <4× ,

∴﹣3<m<5,长度为 8, ∵区间[﹣4,6]的长度为 10, ∴所求的概率为 = ,

故选:B. 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,考查几何概型,属于中档题. 10. (5 分)设实数 a,b,c,d 满足 ab=c +d =1,则(a﹣c) +(b﹣d) 的最小值为() A. +1 B.3+2 C. ﹣1 D.3﹣2
2 2 2 2

考点: 基本不等式. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 如图所示,分别画出函数 y=x,y= ,圆 x +y =1 的图象.由于对称性,只考虑第一 象限内的最小距离即可.联立方程解出点 A,B 的坐标,再利用两点间的距离公式即可得出. 解答: 解:如图所示,画出函数 y=x,y= ,圆 x +y =1 的图象. 由于对称性,只考虑第一象限内的最小距离即可. 联立 解得 x=y=1;
2 2 2 2

联立
2

,解得
2



∴(a﹣c) +(b﹣d) 的最小值= 故选:D.

=3



点评: 本题考查了圆锥曲线的图象、方程组的解法、两点间的距离公式等基础知识与基本 技能方法,考查了推理能力和计算能力,考查了数形结合的思想方法,属于难题. 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上.[来 源:学*科*网] 11. (5 分)不等式 >2 的解集为(﹣3,﹣1) .

考点: 其他不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 将分式不等式转化为不等式组进行求解即可. 解答: 解:不等式等价为 或 ,

解得





即﹣3<x<﹣1, 故不等式的解集为(﹣3,﹣1) , 故答案为: (﹣3,﹣1) 点评: 本题主要考查分式不等式的解法,利用不等式的性质转化为不等式组是解决本题的 关键,是中档题. 12. (5 分)已知幂函数 f(x)=(m +m﹣5)x 为定义域是 R 的偶函数,则实数 m=2. 考点: 幂函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂函数的定义和性质建立方程关系即可求解. 2 m 解答: 解:∵幂函数 f(x)=(m +m﹣5)x 为定义域是 R 的偶函数, 2 ∴m +m﹣5=1, 2 即 m +m﹣6=0, 解得 m=﹣3 或 m=2. 当 m=﹣3 时,幂函数为 f(x)=x 为奇函数,不满足条件. 2 当 m=2 时,幂函数为 f(x)=x 为偶函数,满足条件. 故答案为:2. 点评: 本题主要考查幂函数的定义和性质,根据幂函数的定义确定 m 的值是解决本题的关 键.
﹣3

2

m

13. (5 分)已知 =(1,﹣

) ,| |=3,|2 ﹣ |=

,则向量 与 的夹角为 120°.

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的模,通过向量的数量积求出结果即可. 解答: 解:设向量 与 的夹角为 θ. ∵ =(1,﹣ ) ,可得| |=2, ,

∵| |=3,|2 ﹣ |= ∴(2 ﹣ ) =37, ∴4
2 2

﹣4 ? + .

2

=16﹣4×2×3cosθ+9=37,

∴cosθ=

∴θ= 120°. 故答案为:120°.

点评: 本题考查向量的数量积是运算,向量的模的求法,考查计算能力. 14. (5 分) 已知正项等比数列{an}满足: a2015﹣a2014=2a2013, 若存在两项 am, an 使得 则 + 的最小值为 . =4a1,

考点: 等比数列的性质;基本不等式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析: 根据题意和等比数列的通项公式求出 q,代入 =4a1,利用指数的运算化简得

m+n=6,利用 1 的代换化简要求的式子,由基本不等式可 求出最小值. 解答: 解:设正项等比数列{an}的公比为 q,则 q>0, 2 由于 a2015﹣a2014=2a2013,q ﹣q=2, 解得 q=2 或 q=﹣1(舍去) , ∵存在两项 am、an 使得 ∴ 即2
m+n﹣2 4

=4a1, =4a1,化简得 q
m+n﹣2

=16,

=16=2 ,∴m+n=6,

则 + = (m+n) ( + ) = (5+ + 当且仅当 = )≥ (5+2 时取等号, )= ,

∴最小值是 , 故答案为: . 点评: 本题考查等比数列的通项公式,涉及基本不等式求最小值以及 1 的代换,属中档题. 15. (5 分)若函数 f(x)=|x +2x﹣2|﹣a|x﹣1|恰有四个不同的零点,则实数 a 的取值范围为 (0,2) . 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 2 2 分析: 函数 f(x)=|x +2x﹣2|﹣a|x﹣1|恰有四个不同的零点可化为函数 y=|x +2x﹣2|与函数 2 y=a|x﹣1|的图象恰有四个不同的交点;作函数 y=|x +2x﹣2|与函数 y=a|x﹣1|的图象,由数形结 合求解. 2 解答: 解:∵函数 f(x)=|x +2x﹣2|﹣a|x﹣1|恰有四个不同的零点, 2 ∴函数 y=|x +2x﹣2|与函数 y=a|x﹣1|的图象恰有四个不同的交点; 2 作函数 y=|x +2x﹣2|与函数 y=a|x﹣1|的图象如下,
2

当 a=2 时,函数 y=|x +2x﹣2|与函数 y=a|x﹣1|的图象如下,

2

故不成立; 结合两个图象可得, 实数 a 的取值范围为(0,2) ; 故答案为: (0,2) . 点评: 本题考查了数形结合的思想应用及学生作图能力的培养,同时考查了函数的零点与 函数图象的交点的关系应用,属于中档题. 三.解答题:本大题 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 16. (13 分)设 f(x)=x +alnx,其中 a∈R.曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线 l 垂直 于 y 轴. (Ⅰ)确定 a 的值并求切线 l 的方程; (Ⅱ)求函数的单调区间与极值. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点 切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求导函数,利用曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线垂直于 y 轴,可得 f ′(1)=0,从而可求 a 的值;然后求解切线方程.

(Ⅱ)求出函数的定义域,令 f′( x)大于 0 求出 x 的范围即为函数的增区间;令 f′(x)小于 0 求出 x 的范围即为函数的减区间,然后求解函数的极值. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)=x +alnx,其中 a∈R.函数的定义域为 x>0,函数的导数为: f′(x)=2x+ ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线 l 垂直于 y 轴. 可得:f′(x)|x=1=2+a=0, 解得 a=﹣2. (Ⅱ)函数 f(x)=x ﹣2lnx 的定义域为(0,+∞) , 当 f′(x)= 当 f′(x)= >0,可得 x>1 时,函数递增; <0,可得 0<x<1 时,函数递减,
2 2

则 f(x)的单调递增区间为(1,+∞) ,单调递减区间(0,1) . 2 x=1 时函数取得极小值:f(1)=1 ﹣2ln1=1.[来源:学科网 ZXXK] 点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,函数的单调性与极值的求法,考 查分析问题解决问题的能力. 17. (13 分)进入秋冬季节以来,热饮受到大众喜爱.某中学校门口一奶茶店为了了解某品牌 热饮的日销售量 y(杯)与当日气温 x(℃)之间的关系,随机统计了某 5 天该品牌热饮的日 销量和当日气温的数据如下表:[来源:学|科|网] 当日气温(℃)x 20 16 12 10 6 日销量(杯)y 40 45 60 59 60 利用最小二乘法估计出该组数据满足的回归直线方程为: =﹣1.5x+a(a∈R) .

(Ⅰ)试预测当气温为 4℃时,该品牌热饮的日销量? (Ⅱ)在已有的五组数据中任取两组,求至少有一组数据其日销量 y 的预测值和实际值之差 的绝对值不超过 2 的概率. 考点: 线性回归方程. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (I)首先求出 x,y 的平均数,利用最小二乘法做出线性回归方程的系数,根据样本 中心点满足线性回归方程,代入已知数据求出 a 的值,写出线性回归方程. (II)求出基本事件的个数,即可求至少有一组数据其日销量 y 的预测值和实际值之差的绝对 值不超过 2 的概率. 解答: 解: (Ⅰ)由题意, = ∵ =﹣1.5x+a, =12.8, = =52.8,

∴52.8=﹣1.5×12.8+a,[来源:学科网] ∴a=72, ∴ =﹣1.5x+72, =66;

∴x=4 时,

(Ⅱ)基本事件: (40,45) , (40,60) , (40,59) , (40,60) , (45,60) , (45,59) , (45, 60) , (60,59) , (60,60) , (59,60)共 10 个 两组数据其 预测值与实际值之差的绝对值不超过 2: (60,59) , (60,60) , (59,60) 所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过 2 的概率为 .

点评: 本题考查回归分析的初步应用,考查求线性回归方程,考查预报 y 的值,是一个综 合题目,解此类题,关键是理解线性回归分析意义. 18. (13 分)公差不为 0 的等差数列{an}满足:a1=6,a2,a6,a14 分别为等比数列{bn}的第三、 四、五项. (Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)记数列{an}的前 n 项和为 Sn,{bn}的前 n 项和为 Tn,求使得 Tk> 的最小 k 值.

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;数列与不等式的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ) 由已知得 (6+5d)= (6+d) (6+13d) , 由此求出公差 d=2, 从而能求出 an=2n+4. 进 n 而利用等比数列的通项公式列出方程组求出首项和公差,由此能求出 bn=2 . (Ⅱ)由 Sn=n +5n,Tn=2 > 的最小 k 值.
2 2 n+1 2

﹣2,利用 Tk>

,得

,由此能求出使得 Tk

解答: 解: (Ⅰ)由已知得(6+5d) =(6+d) (6+13d) , 由 d≠0,解得 d=2, ∴an=6+(n﹣1)×2=2n+4. ∵a1=6,a2,a6,a14 分别为等比数列{bn}的第三、四、五项, ∴b3=a2=8,b4=a6=16,b5=a14=32, ∴ ∴bn=2 . (Ⅱ)Sn=6n+
n+1 n

,解得 b1=2,q=2,

×2=n +5n,

2

Tn=

=2

﹣2,

∵Tk>

,∴
k+2


2

整理,得 2

>k +5k+4,
*

解得 k>2,∵k∈N ,∴使得 Tk>

的最小 k 值为 3.

点评: 本题主要考查数列的通项公式的求法、前 n 项和公式的求法,考查等差数列、等比 数列等基础知识,考查抽象概括能力,推理论证能力,运算求解能力,考查化归与转化思想、 函数与方程思想,解题时要注意等价转化思想的合理运用.

19. (12 分)已知 =(sin(x﹣ (Ⅰ)若 a∈(﹣ ,

) ,cosx) , =(cos(x+ ,求 cos2a 的值;

) ,cosx) ,函数 f(x)= ?

)且 f(a)=

(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向左平移

个单位,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原 ]上的值域.

来的一半(纵坐标不变) ,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)在 x∈[0,

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的 图象变换;平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换 应用. 专题: 三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)由题意先求解析式 f(x)=
2

sin(2x+

) ,可得 sin2a=

﹣cos2a,两边平

方整理可得:50cos 2a﹣30 cos2a﹣7=0,从而可解得 cos2a 的值. (Ⅱ)由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换得到函数解析式,根据余弦函数的图象和性质即可 求值域. 解答: 解: (Ⅰ) ∵f (x) = ? =sin (x﹣ (sin2x+cos2x)= ∵f(a)= sin(2x+ )=
2

) cos (x+

) +cos x=﹣ (sinx﹣cosx) +cos x=

2

2

2

) , ,整理可得:sin2a= cos2a﹣7=0, ) ﹣cos2a,

sin(2a+

∴两边平方整 理可得:50cos 2a﹣30 ∵a∈(﹣ , )∴2a∈(﹣ . ,

∴可解得:cos2a=

(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向左平移 + ]= cos(2x+ ) ,

个单位,得到的函数解析式为:y=

sin[2(x+



再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变) ,得到函数解析式为:y=g (x)= ∵x∈[0, ∴4x+ ∈[ cos(4x+ ] , ] ] , ]. ) ,

∴cos(4x+ ∴ sin(2x+

)∈[﹣1, )∈[﹣

点评: 本题主要考查了函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,平面向量数量积的运算,三角函 数中的恒等变换应用,综合性强,属于中档题. 20. (12 分) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, AB⊥AD, AC⊥CD, ∠ABC=60°, PA=AB=BC=4,E、F 分别是 PC、PD 的中点. (Ⅰ)证明:PD⊥平面 ABE; (Ⅱ)求三棱锥 P﹣AEF 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)利用线面垂直的判定与性质定理可得:AE⊥平面 PCD,得到 AE⊥PD;同理可 证 AB⊥平面 PAD,得到 AB⊥PD,即可证明 PD⊥平面 ABE; (2)由 E、F 分别是 PC、PD 的中点,可得三棱锥 P﹣AEF 的体积 V= = = ,即可得出.

解答: (I)证明:∵PA⊥底面 ABCD, ∴CD⊥PA,又 AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC, 又∵AE?平面 PAC,∴CD⊥AE. ∵∠ABC=60°,AB=BC=4, ∴△ABC 是正三角形, ∴AC=4=PA, ∵PA⊥平面 ABC, ∴PA⊥AC, 又 E 是 PC 的中点,∴AE⊥PC, 又 PC∩CD=C,∴AE⊥平面 PCD, ∴AE⊥PD. ∵PA⊥平面 ABC, ∴PA⊥AB, 又 AB⊥AD,PA∩AD=A,∴AB⊥平面 PAD, ∴AB⊥PD, 又 AB∩AE=A,∴PD⊥平面 ABE; (2)解:∵E、F 分别是 PC、PD 的中点, ∴三棱锥 P﹣AEF 的体积 V= = = =

= = .

点评: 本题考查了正三角形与直角三角形的性质、线面面面平行垂直的判定与性质定理、 三棱锥的体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

21. (12 分)已知 A、B 分别为曲线 C:

+y =1(a>0)与 x 轴的左、右两个交点,直线 l

2

过点 B 且与 x 轴垂直,P 为 l 上异于点 B 的点,连结 AP 与曲线 C 交于点 M. (1)若曲线 C 为圆,且|BP|= ,求弦 AM 的长;

(2)设 N 是以 BP 为直径的圆与线段 BM 的交点,若 O、N、P 三点共线,求曲线 C 的方程.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 向量与圆锥曲线. 分析: (1)先求出 A、B、P 的坐标,从而求出直线 AP 的方程,进而求出弦 AM 的长; (2)设出直线 AP 的方程,联立方程组,求出 M 点的坐标,结合 BM⊥OP,求出 a 的值,从 而求出曲线 C 的方程. 2 2 解答: 解: (1)∵曲线 C 为圆,则曲线 C 为 x +y =1, ∴A(﹣1,0) ,B(1,0) ,P(1,± ∴直线 AP 的方程为:y=± (x+1) , ) ,

∴圆心到直线 AP 的距离为 d= , ∴弦 AM=2 =2 = ;

(2)由已知得 A(﹣a,0) ,B(a,0) , 由于点 N 在以 BP 为直径的圆上,且 O、N、P 三点中线,故 BM⊥OP, 显然,直线 AP 的斜率 k 存在且 k≠0,可设直线 AP 的方程为 y=k(x+a) ,
2 2 2 3 2 4 2 2



得: (1+a k )x +2a k x+a k ﹣a =0,

设点 M(xM,yM) ,∴xM?(﹣a)=



故 xM=

,从而 yM=k(xM+a)=



∴M(



) ,

∵B(a,0) ,∴

=(



) ,

由 BM⊥OP,可得
4 2 2 2

?

=

=0,

即﹣2a k +4a k =0, ∵k≠0,a>0,∴a= , 经检验,当 a= 时,O、N、P 三点共线, ∴曲线 C 的方程是: +y =1.
2

点评: 本题考察了直线和圆锥曲线的问题,第一问中求出 AP 的方程是解题的关键,第二问 中求出 M 点的坐标,利用向量垂直的性质是解题的关键,本题是一道难题.


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