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高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词1.3.3非not学案新人教A版选修2

1.3.3 学习目标 非 (not) 1.理解逻辑联结词“非”的含义,能写出简单命题的“綈 p”命题.2.了解逻辑 联结词“且”“或”“非”的初步应用.3.理解命题的否定与否命题的区别. 知识点一 逻辑联结词“非” 思考 观察下列两组命题,看它们之间有什么关系?逻辑联结词“非”的含义是什么? (1)p:5 是 25 的算术平方根;q:5 不是 25 的算术平方根. (2)p:y=tan x 是偶函数;q:y=tan x 不是偶函数. 答案 两组命题中,命题 q 都是命题 p 的否定. “非”与日常用语中的“非”含义一致, 表示“否定”“不是”“问题的反面”等; 也可以 从集合的角度理解“非”:若命题 p 对应集合 A,则綈 p 对应集合 A 在全集 U 中的补集?UA. 梳理 (1)命题的否定:一般地,对一个命题 p 全盘否定,就得到一个新命题,记作綈 p, 读作“非 p”或“p 的否定”. (2)命题綈 p 的真假:若 p 是真命题,则綈 p 必是假命题;若 p 是假命题,则綈 p 必是真命 题. 知识点二 “p∧q”与“p∨q”的否定 1.对复合命题“p∧q”的否定,除将简单命题 p、q 否定外,还需将“且”变为“或”.对复 合命题“p∨q”的否定,除将简单命题 p、q 否定外,还需将“或”变为“且”. 复合命题的真假,主要利用真值表来判断,其步骤如下: (1)确定复合命题的构成形式; (2)判断其中各简单命题的真假; (3)利用真值表判断复合命题的真假. 2.语句“a∈A 或 a∈B”的否定形式是“a?A 且 a?B”,语句“a∈A 且 a∈B”的否定形式是 “a?A 或 a?B”.对有些不含“且”“或”的命题进行否定,要注意准确把握该命题的含义, 1 1 1 1 1 然后进行否定,如“ >0”的含义是“ 有意义且 >0”,故其否定应为“ 无意义或 ≤0”, x x x x x 1 即“x=0 或 <0”. x 知识点三 命题的否定与否命题 思考 已知命题 p:平行四边形的对角线相等,分别写出命题 p 的否命题和命题 p 的否定, 并结合本题说明一个命题的否命题与其否定有何区别? 答案 命题 p 的否命题:如果一个四边形不是平行四边形,那么它的对角线不相等; 1 命题 p 的否定:平行四边形的对角线不相等. 命题的否命题与命题的否定有着本质的区别, 命题的否定只否定原命题的结论, 不能否定原 命题的条件,而否命题是对原命题的条件和结论都否定. 梳理 (1)命题的否定:“非”命题是对原命题结论的否定. ①“非 p”是否定命题 p 的结论,不否定命题 p 的条件,这也是“非 p”与否命题的区别; ②p 与“非 p”的真假必须相反; ③“非 p”必须包含 p 的所有对立面. (2)否命题:求一个命题的否命题时,要对原命题的条件和结论同时否定. 类型一 綈 p 命题及构成形式 例 1 写出下列命题的否定形式. (1)面积相等的三角形都是全等三角形; (2)若 m +n =0,则实数 m、n 全为零; (3)若 xy=0,则 x=0 或 y=0. 解 (1)面积相等的三角形不都是全等三角形. (2)若 m +n =0,则实数 m、n 不全为零. (3)若 xy=0,则 x≠0 且 y≠0. 反思与感悟 綈 p 是对命题 p 的全盘否定, 对一些词语的正确否定是写綈 p 的关键, 如“都” 的否定是“不都”, “至多两个”的反面是“至少三个”、 “p∧q”的否定是“綈 p∨綈 q” 等. 跟踪训练 1 写出下列命题的否定形式. (1)p:y = sin x 是周期函数; (2)p:3<2; (3)p:空集是集合 A 的子集; (4)p:5 不是 75 的约数. 解 (1) 綈 p:y = sin x 不是周期函数. (2) 綈 p:3≥2. (3) 綈 p:空集不是集合 A 的子集. (4) 綈 p:5 是 75 的约数. 类型二 命题的否定的真假应用 例 2 已知命题 p:方程 x +2ax+1=0 有两个大于-1 的实数根,命题 q:关于 x 的不等式 2 2 2 2 2 ax2-ax+1>0 的解集为 R,若“p∨q”与“綈 q”同时为真命题,求实数 a 的取值范围. 解 命题 p:方程 x +2ax+1=0 有两个大于-1 的实数根,等价于 2 2 Δ =4a -4≥0, ? ? ?x1+x2>-2, ? ??x1+1??x2+1?>0, 2 a -1≥0, ? ? ??-2a>-2 ? ?2-2a>0, 2 2 ,解得 a≤-1. 命题 q:关于 x 的不等式 ax -ax+1>0 的解集为 R, ? ?a>0, 等价于 a=0 或? ?Δ <0. ? ? ?a>0 由于? ?Δ <0 ? ?? ? ?a>0, ?a -4a<0, ? 2 解得 0<a<4, 所以 0≤a<4. 因为“p∨q”与“綈 q”同时为真命题,即 p 真且 q 假, 所以? ?a≤-1, ? ? ?a<0或a≥4, 解得 a≤-1. 故实数 a 的取值范围是(-∞,-1]. 反思与感悟 由真值表可判断 p∨q、p∧q、綈 p 命题的真假,反之,由 p∨q,p∧q,綈 p 命题的真假也可判断 p、 q 的真假情况.一般求满足 p 假成立的参数范围, 应先求 p 真成立的 参数的范围,再求其补集. 跟踪训练 2 已知命题 p:|x -x|≤2,q:x∈Z,若“p∧q”与“綈 p”同时为假命题,则 2 x 的取值范围为________. 答案 {x|-1<x<2 且 x≠0,1} 解析 由 p 得-1≤x≤2,又 q:x∈Z,得 p∧q:x∈{-1,0,1,2}. 綈 p: x<-1 或 x>2, 因为“p∧q”与“綈 p”同时为假, 所以 p 真且 q 假, 故-1<x<2 且 x≠0, 1. 1.已知命题 p:所有有理数都是实数,命题 q:正数的对数都是负数,则下列命

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