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2018届北师大版 绝对值不等式 检测卷

第一部分 专题八 第2讲 1.(2016· 山东青岛模拟)已知 a,b,c 均为正实数. b2 c2 a2 求证: + + ≥c a b c b +a a c +b b a c 证明:∵a,b,c 均为正实数, b2 c2 ∴ + ≥2 a b b2 c2 · =2c a b b , a a , c c +b b a . c c2 a2 同理, + ≥2a b c c a2 b2 , + ≥2b b c a b +a a b2 c2 a2 三式相加可得 + + ≥c a b c 2.(2016· 辽宁沈阳质检)设函数 f(x)=|2x+1|-|x-4|. (1)解不等式 f(x)>0; (2)若 f(x)+3|x-4|>m 对一切实数 x 均成立,求实数 m 的取值范围. 解析:(1)当 x≥4 时,f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0, 得 x>-5,所以 x≥4. 1 当- ≤x<4 时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0, 2 得 x>1,所以 1<x<4. 1 当 x<- 时,f(x)=-x-5>0,得 x<-5,所以 x<-5. 2 综上,原不等式的解集为{x|x<-5 或 x>1}. (2)f(x)+3|x-4|=|2x+1|+2|x-4| ≥|2x+1-(2x-8)|=9, 1 当- ≤x≤4 时等号成立, 2 所以 m<9,即实数 m 的取值范围是(-∞,9). 3.(2016· 河北唐山二模)设 f(x)=|x-1|-2|x+1|最大值为 m. (1)求 m; (2)若 a,b,c∈(0,+∞),a2+2b2+c2=m,求 ab+bc 的最大值. 解析:(1)当 x≤-1 时,f(x)=3+x≤2; 当-1<x<1 时,f(x)=-1-3x<2; 当 x≥1 时,f(x)=-x-3≤-4. 故当 x=-1 时,f(x)取得最大值 m=2. (2)2=a2+2b2+c2=(a2+b2)+(b2+c2) ≥2ab+2bc=2(ab+bc), 当且仅当 a=b=c= 2 时,等号成立. 2 此时,ab+bc 取得最大值 1. 4.设函数 f(x)=|x+2|-|x-2|. (1)解不等式 f(x)≥2; (2)当 x∈R,0<y<1 时,证明:|x+2|-|x-2|≤ 1 1 + . y 1-y 解析:(1)当 x≥2 时,由 f(x)≥2, 得 4≥2,故 x≥2; 当-2<x<2 时,由 f(x)≥2,得 2x≥2,故 1≤x<2; 当 x≤-2 时,由 f(x)≥2,得-4≤2,无解. 所以 f(x)≥2 的解集为{x|x≥1}. (2)证明:因为|x+2|-|x-2|≤4, 1 1 ? 1-y 1 1 1 y 当且仅当y= 时取等号?, 又因为 + =? + [y+(1-y)]=2+ + ≥4? 2 ? ? y 1-y ?y 1-y? y 1-y 1 1 所以|x+2|-|x-2|≤ + . y 1-y 5.(2016· 河南郑州模拟)已知函数 f(x)=m-|x-1|-2|x+1|. (1)当 m=5 时,求不等式 f(x)>2 的解集; (2)若二次函数 y=x2+2x+3 与函数 y=f(x)的图象恒有公共点,求实数 m 的取值范围. 解析:(1)当 m=5 时, f(x)=5-|x-1|-2|x+1|. 当 x<-1 时,由 f(x)>2,得 3x+6>2, 4 4 解得 x>- ,故- <x<-1; 3 3 当-1≤x≤1 时,由 f(x)>2,得-x+2>2, 解得 x<0,故-1≤x<0; 2 当 x>1 时,由 f(x)>2,得 4-3x>2,解得 x< ,无解. 3 ? ? 4 ? 所以 f(x)>2 的解集为?x? ?-3<x<0 . ? ? (2)y=x2+2x+3=(x+1)2+2, 该函数在 x=-1 处取得最小值 2, 3x+1+m,x<-1, ? ? 因为 f(x)=?-x-3+m,-1≤x≤1, ? ?-3x+m-1,x>1, 所以 f(x)在 x=-1 处取得最大值 m-2, 所以要使二次函数 y=x2+2x+3 与函数 y=f(x)的图象恒有公共点,只需 m-2≥2,解 得 m≥4. 所以实数 m 的取值范围是[4, +∞). 6.(2016· 吉林长春质检)(1)已知 a,b 都是正数,且 a≠b, 求证:a3+b3>a2b+ab2; a2b2+b2c2+c2a2 (2)已知 a,b,c 都是正数,求证: ≥abc. a+b+c 证明:(1)(a3+b3) -(a2b+ab2)=(a+b)· (a-b)2. 因为 a,b 都是正数,所以 a+b>0. 又因为 a≠b,所以(a-b)2>0. 于是(a+b) (a-b)2>0, 即(a3+b3)-(a2b+ab2 )>0, 所以 a3+b3>a2b+ab2. (2)因为 b2+c2≥2bc,a2>0,所以 a2(b2+c2)≥2a2bc,① 同理 b2(a2+c2)≥2ab2c,② c2(a2+b2)≥2abc2.③ ①②③相加得 2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2a2bc+2ab2c+2abc2,从而 a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a +b+c). 由 a,b,c 都是正数,得 a+b+c>0, a2b2+b2c2+c2a2 因此 ≥abc. a+b+c 3 2 1 7.已知正数 x,y,z 满足 x+2y+3z=1,求 + + 的最小值. x y z 解析:因为 x,y,z>0, 3 2 1 所以 + + x y z ?3+ 2+ 1? =(x+2y+3z)· ?x y z ? ≥? x· ? 3 2 1?2 + 2y· + 3 z· x y z? =( 3+2+ 3)2=16+8 3. x 2y 3z 当且仅当 = = , 3 2 1 x y z 即 x?y?z=3? 3?1 时等号成立. 3 2 1 所以 + + 的最小值为 16+