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北师大版数学必修一《对数函数》参考课件(1)_图文

回顾指数函数图象及性质
a>1 图 象
1.定义域:R 2.值域:(0,+∞)

0<a<1


3.过定点(0,1),即x=0时,y=1 4. 当x>0时, y>1; 当x<0时,0<y<1; 当 x>0 时 , 0<y<1; 当x<0时,y>1; 在R上是减函数



5.在 R上是增函数

现在有一张纸,我把这张纸对折一次就变成了两层; 我对折两次纸就变成了四层;如果我们设把纸对折的次 数为x,对折后纸的层数为y,那么,试建立y关于x的函数 关系式。 解:y ? 2 x

提问:如果我发现对折后的纸有4层,那么我对折了多少次? 2次
如果我发现对折后的纸有8层,那么我对折了多少次? 3次 …… 16层呢,32层呢 ……

我们可以发现:x关于y也可以建立一个函数。
你能写出这个X关于Y的函数的关系表达式吗? 解: y ? 2 x 指数式化对数式

x ? log2 y 这个就是我们要的函数关系 y ? log2 x 交换X和Y,以符合习惯

对数函数的定义
一般地,函数 y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 就叫做对数函数。x为它的自变 量,函数的定义域为 (0,??).

y ? log5 x,

y ? log1 x
3

以上两个函数也是对数函数!

x y ? 2 我们知道,函数 和 y ? log2 x互为反函数。

提问:
x y ? a 函数 和 y ? loga x 是什么关系呢?

x y ? a 函数 和 y ? loga x 互为反函数!

2.利用对称性画图.
因为指数函数y=ax (0<a≠1) 与对数函数y=logax(0<a≠1)的图

象关于直线y=x对称.

Y
5

Y=ax (a>1)
Y=X ● ●

4
3 2 ● ● 1●




Y=logax (a>1)

-1 O -1

● ● ● 1 2

3

4

5

6

7 X

-2

Y
5 Y=X

4
3 ● ● 2 ● 1●

-1 O -1

● 1 2 ●



y ? a x (0 ? a ? 1)

3

4

5

6

7 X

-2



y ? loga x(0 ? a ? 1)

y ? 2x
1

y?x
y ? log2 x

1 y ? ( )x 2
1

y?x

1 1

y ? log 1 x
2

a>1 请同学们:

0<a<1

根据对数函数的图象描述对数函数的性质:

a ?1
y ? loga x

x ?1

图像的特征
1.图像位于y轴右侧;

函数性质

定义域:x>0 2. 图像在y轴的投影占满了整个y轴; 值域: R 当x=1时,y=0。 3. 过(1.0)点 4. 单调性: a>1时,图像上升; 增函数 5. 函数值分布:
a>1: 当:x>1时, 图像在y轴上方; 当0<x<1时,图像在y轴下方; a>1:

当x>1, 则 y>0 ,0<x<1, 则y<0; 当

0 ? a ?1

y ? loga x

x ?1

图像的特征

函数性质

1.图像位于y轴右侧; 定义域:x>0 2. 图像在y轴的投影占满了整个y轴; 值域: R 3. 过(1.0)点 当x=1时,y=0。 4. 单调性: 0<a<1时,图像下降; 5. 函数值分布: 0<a<1:

减函数

0<a<1:

当:x>1, 图像在y轴下方; 当 0<x<1, 图像在轴上方;

当:x>1, 则y<0 当:0<x<1, 则y>0;

图像的特征
1.图像位于y轴右侧; 2. 图像在y轴的投影占

函数性质
定义域:x>0 值域: R 当x=1时,y=0。 增函数 减函数

满了整个y轴; 3. 过(1.0)点
4. 单调性: a>1时,图像上升;

0<a<1时,图像下降; 5. 函数值分布: a>1: a>1: 当:x>1时, 图像在y轴上方; 当x>1,

当0<x<1时,图像在下方;
0<a<1: 0<a<1:

则 y>0, 当0<x<1, 则y<0; 则y<0

当:x>1, 图像在y轴下方; 当 0<x<1, 图像在轴上方;

当:x>1,

当0<x<1,

则y>0;

对数函数图像及性质
a ?1
0 ? a ?1

图 象

y ? loga x

y ? loga x

x ?1
定义域: 值域:

x ?1
(0, ??)

(0, ??)



R
(1, 0)
增函数

R
(1, 0)
减函数

特殊点:

单调性:



函 数值 的

当x>1,

则y>0;

当x>1,

则y<0;

分 布

当0<x<1, 则y<0 :

当0<x<1, 则y>0:

指数函数与对数函数对比
名 称

指数函数
y ? ax

对数函数 对数函数
y ? loga x

一般形式 定义域 值域 单调性

(??, ??)

(0, ??)
(??, ??)
a>1, 增函数 0<a<1, 减函数 a>1: x>1, y>0 0<x<1, y<0 0<a<1: x>1, y<0 0<x<1, y>0

(0, ??)
a>1, 0<a<1, a>1: x>0, x<0, 0<a<1: x>0, x<0, 增函数 减函数 y>1 0<y<1 0<y<1 y>1

函数值 变 化情况
图像关系

x y=x对称 y ? a x的图像于 y ? loga的图像关于直线

按要求回答问题
2 +1) (2) y=log (x (1) y=log3 (x- 2) 2

(1)以上函数的定义域。

(2)以上函数如果底数为
a(a>0且a ≠1)时,函数必过那一点。

例二:判断下列各组数中两个值的大小:

(1) log30.8, (2) log0.54.2, (3) loga5.9,

log33.7 log0.52.9

loga3.1

(0<a≠1)

课堂小结:
1. 对数函数是指数函数的反函数,对数函 数的定义域、值域分别为相应的指数函数的值域 ?x 和定义域,它们的图象关于 y 成轴对称 .
2. 当a>1,
y ? loga x 在

(0, ??)为增函数.

当0<a<1, y ? loga x在 (0, ??) 为减函数.

作业:略

以下函数是对数函数吗?
(1)y=log3 (x- 2)

(2)y=log3 (-x) (3)y

NO!

? loga x

2

判断一个函数是不是对数函数,我们必须 严格按照定义的形式去判断!

(1) y=log3 (x- 2) (2) y=log2(x2 +1)
(1)由x- 2>0 ,得 x ? 2 ,∴函数 y ? log ( x ? 2) 解: ? x x ? 0? 的定义域是;
3

(2)因为真数恒大于零,所以函 数的定义域为R。

返回

2 +1) (2) y=log (x (1) y=loga (x- 2) a

(1)由于函数 y ? loga x 必过(1,0)点 因此,当 x- 2=1 即x=3时, y 必然 等于0, 所以此函数必过(3,0) 点。
x 1,0)点 (2)由于函数必过 y ? loga (

因此,当x2 +1=1,即x=0时,y 必然 等于0,所以此函数必过(0,0)点。

返回

(1) log30.8,

log33.7

考察对数函数 y=log3x ,因为它的底 数3>1,所以它在(0, +?)上是增函数,于 是

log30.8

<

log33.7
返回

(2) log0.54.2,

log0.52.9

考察对数函数 y=log0.5x ,因为它 的底数0.5<1,所以它在(0, +?)上 是减函数,于是

log0.54.2 < log0.52.9
返回

(3) loga5.9,
分析:

loga3.1

(0<a≠1)

对数中函数的增减性决定于对数的底数是 大于还是小于1,而由已知条件中并未明确指出 底数中a于1的大小,因此需要对底数a进行讨论:

当a>1时,函数y=logax在(0,+?)上是 增函数,于是 loga5.9 > loga3.1 当0<a<1时,函数y=logax在(0,+?)上是 增函数,于是 loga5.9<loga3.1 返回


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