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15届港尾中学高职班数学复习材料——立体几何练习

立体几何练习(高职班)
1.(2013 上海春季)若两个球的表面积之比为 1 : 4 ,则这两个球的体积之比为( A. 1 : 2 B. 1 : 4 C. 1 : 8 D. 1:16 ) )

2.【2012 广东文 7】某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为( 6 3 5 5 5 5 6 3

正视图

侧视图

俯视图 图1 A. 72? B. 48? C. 30? D. 24?

3.(2013 山东文)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正视图如右上图所示,该 四棱锥侧面积和体积分别是( A. 4 5,8 B. 4 5, )

8 3

C. 4( 5 ? 1),

8 3

D.8,8 )

4.(2006 重庆)若 P 是平面 ? 外一点,则下列命题正确的是( (A)过 P 只能作一条直线与平面 ? 相交 (C)过 P 只能作一条直线与平面 ? 平行

(B)过 P 可作无数条直线与平面 ? 垂直 (D)过 P 可作无数条直线与平面 ? 平行 )

5.(2009 广东文)给定下列四个命题,其中,为真命题的是(

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行;w.w.w.zxxk.c.o.m ④若两个平面垂直, 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ )

6.(2009 浙江文)设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是( A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? / / ? ,则 l ? ? B.若 l / /? , ? / / ? ,则 l ? ? D.若 l / /? , ? ? ? ,则 l ? ?

7.(2005 江苏)正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,若 AB=2,AA1=1,则点 A 到平面 A1 BC 的距离 为( )

A.

3 4

B.

3 3 4

C. 3

D.

3 2
.

8.(上海春)正四棱锥底面边长为 4,侧棱长为 3,则其体积为

9.(2013 上海春季)正方体 AC1 中,异面直线 A 1B 与 B 1C 所成角的大小为_______ 10.(2006 广东)棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为______. 11.将长为 4,宽为 2 的长方形折成一圆柱,则它的体积为 12. 【2012 湖北文 19】 某个实心零部件的形状是如图所示的几何体, 其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台 A1B1C1D1-ABCD,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全 等的矩形的四棱柱 ABCD-A2B2C2D2。 (1)证明:直线 B1D1⊥平面 ACC2A2; (2)现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知 AB=10,A1B1=20, AA2=30,AA1=13(单位:厘米) ,每平方厘米的加工处理费 为 0.20 元,需加工处理费多少元?

13.(2006 北京文 17)正四棱柱 AC1 中,求证:BD⊥平面 ACC1A1。
A1

D1 B1

C1

D A

C B

14.(2006 福建理 18)如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别 BD、BC 的中点,AB=AD= 2 ,

CA=CB=CD=BD=2。
(Ⅰ)求证:AO⊥平面 BCD; (Ⅱ)求点 E 到平面 ACD 的距离。

,OB,OC 两两垂直,且 OA ? 1 , 15. (2006 江西)如图,已知三棱锥 O ? ABC 的侧棱 OA

OB ? OC ? 2 , E 是 OC 的中点. (1)求 O 点到面 ABC 的距离;


O B





16.(2004 湖南文)如图,在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD 中,∠ABC=60 , PA=AC=a,PB=PD= 2a ,点 E 是 PD 的中点.求证: (I)PA⊥平面 ABCD; (II)PB∥平面 EAC E A B C P

0

D

17. (2013 北京文)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB / / CD , AB ? AD , CD ? 2 AB , 平面 PAD ? 底面 ABCD , PA ? AD , E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证: (1) PA ? 底面 ABCD ;(2) BE / / 平面 PAD ;(3)平面 BEF ? 平面 PCD

18. (2013 广东文)如图 4,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 边上的 点, AD ? AE , F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起,得到如 图 5 所示的三棱锥 A ? BCF ,其中 BC ? (1) 证明: DE //平面 BCF ; (2) 证明: CF ? 平面 ABF ; (3) 当 AD ?

2 . 2
A

A

2 时 , 求 三 棱 锥 3
B

G

E

D

G

E

D F C

F ? DEG 的体积 VF ? DEG .
F 图 4 C
B

图 5

立体几何练习(高职班)答案
CCBD DCD 12.【答案】

16 3

? 3

27?

4

?



8

?

13. 证明: (1)∵ABCD—A1B1C1D1 是正四棱柱, ∴CC1⊥平面 ADCD,∴BD⊥CC1 ∵ABCD 是正方形∴BD⊥AC 又∵AC,CC1 ? 平面 ACC1A1, 且 AC∩CC1=C, ∴BD⊥平面 ACC1A1。 14.(1)证明:连结 OC。 ∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD。 ∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD。 在△AOC 中,由已知可得 AO=1,CO= 3 。 而 AC=2,∴AO +CO =AC
2 2 2,

∴∠AOC=90°,即 AO⊥OC。

? BD ? OC ? 0, ∴AB ? 平面 BCD。

(Ⅱ)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h.

?VA? ACD ? VA?CDE ,


1 1 h ·S△ACD = ·AO·S△CDE. 3 3

在△ACD 中,CA=CD=2,AD= 2 ,

? 2? 1 7 ? ? ∴S△ACD= ? 2 ? 2 2 ? ? , ? ? 2 2 ? 2 ?
而 AO=1, S△CDE=

3

1 3 3 ? ? 22 ? , 2 4 2
1? 3 2 ? 21 , 7 7 2

∴h=

AO ? S ?CDE ? S ?ACD

∴点 E 到平面 ACD 的距离为

21 。 7

15.解析:.(1) (由 V ?

1 1 2 6 S?ABC ? OH ? OA ? OB ? OC ? 知, OH ? .) 3 6 3 3

16. (2004 湖南文) (Ⅰ)证法一 因为底面 ABCD 是菱形,∠ABC=60°, 所以 AB=AD=AC=a, 在△PAB 中, 由 PA +AB =2a =PB
2 2 2 2

知 PA⊥AB.

同理,PA⊥AD,所以 PA⊥平面 ABCD. (II)连结 BD, 设 BD ? AC=O,则 O 为 BD 的中点. 连结 OE,因为 E 是 PD 的中点,所以 PB//OE. 又 PB ? 平面 EAC,OE ? 平面 EAC,故 PB//平面 EAC.

17.(I)因为平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA 垂直于这个平面的交线 AD 所以 PA 垂直底面 ABCD. (II)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点 [来源:学,科,网] 所以 AB∥DE,且 AB=DE 所以 ABED 为平行四边形, 所以 BE∥AD,又因为 BE ? 平面 PAD,AD ? 平面 PAD 所以 BE∥平面 PAD. (III)因为 AB⊥AD,而且 ABED 为平行四边形 所以 BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知 PA⊥底面 ABCD, 所以 PA⊥CD,所以 CD⊥平面 PAD 所以 CD⊥PD,因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点 所以 PD∥EF,所以 CD⊥EF,所以 CD⊥平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PCD.
A

18.(1)在等边三角形 ABC 中, AD ? AE

?

AD AE ? DB EC ,在折叠后的三棱锥 A ? BCF 中
DE ? 平面 BCF ,
B

D

G

E

也成立,? DE / / BC ,

BC ? 平面 BCF ,? DE / / 平面 BCF ;
(2)在等边三角形 ABC 中, F 是 BC 的中点,所以 AF ? BC ,

F 图 4

C

BF ? CF ?

1 2.

在三棱锥 A ? BCF 中,

BC ?

2 2 ,? BC 2 ? BF 2 ? CF 2 ?CF ? BF

BF ? CF ? F ?CF ? 平面ABF ;
(3)由(1)可知 GE / / CF ,结合(2)可得 GE ? 平面DFG .

1 1 1 1 1 ?1 3 ? 1 3 ?VF ? DEG ? VE ? DFG ? ? ? DG ? FG ? GF ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 2 3 ? 3 2 ? 3 324


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