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直线与双曲线的位置关系课件_图文

直线与双曲线的位置关系

复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法

相离
判断方法
(1)联立方程组

相切

相交

(2)消去一个未知数 (3)

?<0

?=0

?>0

点与双曲线的位置关系
x2 y2 点P( x0 , y0 )与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的位置关系 a b
x y 点P( x0 , y0 )在双曲线上 ? 02 ? 02 ? 1; a b
x0 y0 点P( x0 , y0 )在双曲线内 ? 2 ? 2 ? 1; (含焦点) a b
2 2

2

2

y
B2 A1 O A2 B1

点P( x0 , y0 )在双曲线外 ?

x0 y0 ? ? 1; 2 2 a b

2

2

x

含 焦 点 区 域 内

含 焦 点 区 域 外

含 焦 点 区 域 内

P

P

当点P在双曲线上时,能 作3条直线与双曲线只有 一个公共点。

P

当点P在其中一条渐近 线上(中心除外)时, 一条是切线,一条是与 另一条渐近线平行。

P

当点P在含焦点区域 内时,两条是分别与 两条渐近线平行。

P

当点P在双曲线的中 心时,不可能作出一 条直线与双曲线只有 一个公共点。

P

过点P且与双曲线只有一个 公共点的直线最多有4条

也就是说过点P作与双曲线 只有一个公共点的直线条数 可能是4条、3条、2条、0条

判断直线与双曲线位置关系的处理程序
把直线方程代入双曲线方程

得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交

相切

相离

?y = kx + m ? 2 消去y,得 : (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 ? x y2 ? 2 - 2 =1 ?a b

理论分析:

b 1.二次项系数为0时,直线L(K= ? a

)与双曲

线的渐近线平行或重合。

重合:无交点;平行:有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程, Δ>0 Δ=0 Δ<0 直线与双曲线相交(两个交点) 直线与双曲线相切 直线与双曲线相离

特别注意:
直线与双曲线的位置关系中:

一解不一定相切,相交不一定 两解,两解不一定同支

2 y 过点P(0,3)的直线l与双曲线C:x 2 ? ? 1仅有 4 一个公共点,求直线 l的方程。

设l的方程为: y ? kx ? 3
? y ? kx ? 3 ? 由? 2 y 2 ? 4 ? k 2 x 2 ? 6kx ? 13 ? 0 x ? ?1 ? 4 ?

?

?

?1?当4 ? k 2 ? 0时, k ? ?2, 此时l : y ? ?2x ? 3
?2?当4 ? k 2 ? 0时,由? ? ?? 6k ?2 ? 4?4 ? k 2 ??? 13? ? 0,
得k ? ? 13, 此时l : y ? ? 13x ? 3

x2 y2 ? ? 1 只有 一个 2.过点P(1,1)与双曲线 9 16 Y 4 交点的直线 共有_______ 条. ( 1, 1)


变式:将点P(1,1)改为

O

X

1.A(3,4)
2.B(3,0)

3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的? 1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.


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